《运筹学》习题集汇总.docx
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《运筹学》习题集汇总
第一章线性规划
1.1将下述线性规划问题化成标准形式1minz=-3x1+4x2-2x3+5x4
st.
4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2-x3+2x4≤14-2x1+3x2+x3-x4≥2x1,x2,x3≥0,x4无约束
2minz=2x1-2x2+3x3
-x1+x2+x3=4-2x1+x2-x3≤6x1≤0,x2≥0,x3无约束
st。
1.2
用图解法求解LP问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1minz=2x1+3x2
4x1+6x2≥6
st2x1+2x2≥4x1,x2≥0
2maxz=3x1+2x22x1+x2≤2st3x1+4x2≥12
x1,x2≥0
3maxz=3x1+5x26x1+10x2≤120st5≤x1≤10
3≤x2≤8
4maxz=5x1+6x22x1-x2≥2
1.3找出下述LP问题所有基解,指出哪些是基可行解,并确定最优解
(1)minz=5x1-2x2+3x3+2x4
1
st-2x1+3x2≤2x1,x2≥0
x1+2x2+3x3+4x4=7st2x1+2x2+x3+2x4=3
x1,x2,x3,x4≥0
1.4分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题,并对照指出最优解所对应的顶点。
1maxz=10x1+5x2
3x1+4x2≤9st5x1+2x2≤8x1,x2≥0
2maxz=2x1+x2
3x1+5x2≤15st6x1+2x2≤24
x1,x2≥0
1.5分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。
1minz=2x1+3x2+x3x1+4x2+2x3≥8
st3x1+2x2≥6x1,x2,x3≥0
2maxz=4x1+5x2+x3
。
3x1+2x2+x3≥18
St.2x1+x2≤4
x1+x2-x3=5
3maxz=5x1+3x2+6x3x1+2x2-x3≤18st2x1+x2-3x3≤16x1+x2-x3=10x1,x2,x3≥0
4maxz=10x1+15x2+12x3≤9⎧5x1+3x2+x3
⎪—5x+6x+15x≤15⎪123st。
⎨
x3≥5⎪2x1+x2+
⎪x,x,x≥0⎩123
1.6
2
1.7某班有男生30人,女生20人,周日去植树。
根据经验,一天男生平均每人挖坑20个,或栽树30棵,或给25棵树浇水;女生平均每人挖坑10个,或栽树20棵,或给15棵树浇水。
问应怎样安排,才能使植树(包括挖坑、栽树、浇水)最多?
请建立此问题的线性规划模型,不必求解。
1。
8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量,原料成本,各种原料的每月限制用量,三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示.
问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克,使该厂获利最大?
试建立此问题的线性规划的数学模型.
甲乙丙原料成本(元/千克每月限量(千克)
A≥60≥152.002000B1.502500C≤20≤60≤501.001200加工费(元/千克0.500.400。
30售价3.402.852。
25
1。
9某商店制定7-12月进货售货计划,已知商店仓库容量不得超过500件,6月底已存货200件,以后每月初进货一次,假设各月份此商品买进售出单价如下表所示,问各月进货售货各多少,才能使总收入最多?
请建立此问题的线性规划模型。
月份789101112买进单价282425272323
1.10某厂接到生产A、B两种产品的合同,产品A需200件,产品B需300件。
这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。
在毛坯制造阶段,产品A每件需要2小时,产品B每件需要4小时。
机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序,每件产品A需粗加工4小时,精加工10小时;每件产品B需粗加工7小时,精加工12小时。
若毛坯生产阶段能力为1700小时,粗加工设备拥有能力为1000小时,精加工设备拥有能力为3000小时。
又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。
此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产,但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元.试根据以上资料,为该厂制订一个成本最低的生产计划。
1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。
第一项工作可由一个技工单独完成,或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。
第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。
第三项工作可由五个力工组成的小组完成,或由一个技工领着三个力工来完成。
已知技工和力工每周工资分别为100元和80元,他们每周都工作48小时,但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。
为完成这三项工作任务,该公司需要每周总有效工作小时数为:
第一项工作10000小时。
第二项工作20000小时,第三项工作30000小时。
又能招收到的工人数为技工不超过400人,力工不超过800人。
试建立数学模型,确定招收技工和力工各多少人。
使总的工资支出为最少(
3
第二章对偶与灵敏度分析
2.1写出以下线性规划问题的DLP1minz=2x1+2x2+4x3
st
x1+3x2+4x3≥22x1+x2+3x3≤3x1+4x2+3x3=5x1,x2≥0,x3无约束x1+2x2+2x3=5-x1+5x2-x3≥34x1+7x2+3x3≤8x1无约束,x2≥0,x3≤0
2maxz=5x1+6x2+3x3
st
3maxz=c1x1+c2x2+c3x3
st
a11x1+a12x2+a13x3≤b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3≥b3x1≥0,x2≤0,x3无约束
2.2st
对于给出的LP:
minz=2x1+3x2+5x3+6x4x1+2x2+3x3+x4≥2-2x1+x2-x3+3x4≤-3
xj≥0(j=1,2,3,4)1写出DLP;
2用图解法求解DLP;
3利用2)的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。
2.3对于给出LP:
maxz=x1+2x2+x3
st
x1+x2-x3≤2x1-x2+x3=12x1+x2+x3≥2x1≥0,x2≤0,x3无约束
1写出DLP;
2利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1
2.4已知LP:
maxz=x1+x2
st-x1+x2+x3≤2
-2x1+x2-x3≤1xj≥0
4
试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。
2.5给出LP:
maxz=2x1+4x2+x3+x4x1+3x2+x4≤8
2x1+x2≤6st.x2+x3+x4≤6
x1+x2+x3≤9xj≥0
1写出DLP;
2已知原问题最优解X=(2,2,4,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。
2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划问题1minz=4x1+12x2+18x3
st
x1+3x3≥3
2x2+2x3≥5xj≥0(j=1,2,3
2minz=5x1+2x2+4x3⎧3x1+x2+2x3≥4⎪
st。
⎨6x1+3x2+5x3≥10⎪x,x,x≥0⎩123
2.7考虑如下线性规划问题
minz=60x1+40x2+80x33x1+2x2+x3≥2
st
4x1+x2+3x3≥4
2x1+2x2+2x3≥3xj≥0
1写出DLP;
2用对偶单纯形法求解原问题;3用单纯形法求解其对偶问题;4对比以上两题计算结果.
2.8已知LP:
maxz=2x1-x2+x3x1+x2+x3≤6
st-x1+2x2≤4x1,x2,x3≥0
1用单纯形法求最优解
2分析当目标函数变为maxz=2x1+3x2+x3时最优解的变化;3分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。
5
2.9给出线性规划问题maxz=2x1+3x2+x3
1/3x
1+
1/3x2+1/3x3≤1st1/3x1+4/3x2+7/3x3≤3xj≥0
1目标函数中变量x3的系数变为6;
2分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变;3约束条件的右端由1变为2;33
2。
10某厂生产甲、乙两种产品,需要A、B两种原料,生产消耗等参数如下表(表中的消耗系数为千克/件)。
(2)原料A、B的影子价格各为多少。
(3)现有新产品丙,每件消耗3千克原料A和4千克原料B,问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。
(4)工厂可在市场上买到原料A。
工厂是否应该购买该原料以扩大生产?
在保持原问题最优基的不变的情况下,最多应购入多少?
可增加多少利润?
3.5某玩具公司分别生产三种新型玩具,每月可供量分别为1000、2000、2000件,它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售.已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件,由于经营方面原因,各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表.又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件,而拒绝进A玩具。
求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案.
甲乙丙可供量
A54-1000
B16892000C1210112000
第三章运输问题
3.1
3.2
3.3
3。
4某市有三个面粉厂,他们供给三个面食加工厂所需的面粉,各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价,均式于下表。
假定在第1,2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元,试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位)。
3.5光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的.已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表:
如果当月生产出来的机器当月不交货,则需要运到分厂库房,已知上年末库存103台绣花机,
每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0。
2万元.在7-—8月份销售淡季,全厂停产1个月,因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台.加班生产机器每台增加成本1万元。
问应如何安排1-—6月份的生产,可使总的生产费用(包括运输、仓储、维护)最少?
3。
6设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥.假设效果相同,有关数据如下表:
试求总费用为最低的化肥调拨方案
第四章动态规划
4.1
现有天然气站A,需铺设管理到用气单位E,可以选择的设计路线如下图,B、C、D
各点是中间加压站,各线路的费用如图所标注(单位:
万元),试设计费用最低的线路.4.2
一艘货轮在A港装货后驶往F港,中途需靠港加油、加淡水三次,从A港到F港全部可能的航运路线及两港之间距离如图,F港有3个码头F1,F2,F3,试求最合理停靠的码头及航线,使总路程最短。
F
4.3
某公司有资金4万元,可向A、B、C三个项目投资,已知各项目的投资回报如下,求最大回报。
4.4某厂有1000台机器,高负荷生产,产品年产量S1与投入机器数Y1的关系为S1=8Y1,机器完好率为0。
7;低负荷生产,产品年产量S2与投入机器数Y2的关系为S2=5Y2,机器完好率为0。
9;请制定一个五年计划,使总产量最大。
4.5某厂准备连续3个月生产A种产品,每月初开始生产.A的生产成本费用为x2,其中x是A产品当月的生产数量。
仓库存货成本费是每月每单位为1元。
估计3个月的需求量分别为d1=100,d2=110,d3=120.现设开始时第一个月月初存货s0=0,第三个月的月末存货s3=0。
试问:
每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小.
4.6某公司为主要电力公司生产大型变压器,由于电力采取预订方式购买,所以该公司可以预测未来几个月的需求量。
为确保需求,该公司为新的一年前四个月制定一项生产计划,这四个月的需求如表1所示。
生产成本随着生产数量而变化.调试费为4,除了调度费用外,每月生产的头两台各花费为
2,后两台花费为
1
。
最大生产能力每月为4台,生产成本如2所示。
表1
表2
4.7某工厂生产三种产品,各种产品重量与利润关系如下表,现将此三种产品运往市场出售,运输能力总重量不超过6t,问应运输每种产品各多少件可使总利润最大。
4.8用动态规划方法求解
2
maxz=4x1+9x2+2x3
⎧2x1+4x2+3x3≤10⎨
⎩x1,x2,x3≥0
第五章存储论
5.1某建筑工地每月需用水泥800t,每t定价2000元,不可缺货。
设每t每月保管费率为0.2%,每次订购费为300元,求最佳订购批量、经济周期与最小费用.
5.2一汽车公司每年使用某种零件150,000件,每件每年保管费0.2元,不允许缺货,试比较每次订购费为1,000元或100元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。
5.3某拖拉机厂生产一种小型拖拉机,每月可生产1000台,但对该拖拉机的市场需要量为每年4,000台。
已知每次生产的准备费用为15,000元,每台拖拉机每月的存贮费为10元,允许缺货(缺货费为20元/台月),求经济生产批量、经济周期与最小费用.
5.4某产品每月需求量为8件,生产准备费用为100元,存贮费为5元/月件。
在不允许缺货条件下,比较生产速度分别为每月20件和40件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。
5.5对某种电子元件每月需求量为4,000件,每件成本为150元,每年的存贮费为成本的10%,每次订购费为500元。
求:
(1)不允许缺货条件下的最优存贮策略;
(2)允许缺货(缺货费为100元/件年)条件下的最优存贮策略。
5.6某农机维修站需要购一种农机配件,其每月需要量为150件,订购费为每次400元,存贮费为0。
96元/件月,并不允许缺货。
(1)求经济订购批量、经济周期与最小费用;
(2)该厂为少占用流动资金,希望进一步降低存贮量.因此,决定使订购和存贮总
费用可以超过原最低费用的10%,求这时的最优存贮策略。
5.7某公司每年需电容器15,000个,每次订购费80元,保管费1元/个年,不允许缺货。
若采购量少于1000个时,每个单价为5元,当一次采购1000个以上时每个单价降为4。
9元。
求该公司的最优采购策略.
5.8某工厂对某种物料的年需要量为10,000单位,每次订货费为2,000元,存贮费率为20%.该物料采购单价和采购数量有关,当采购数量在2,000单位以下时,单价为100元;当采购数量在2,000及以上单位时,单价为80元.求最优采购策略。
《运筹学》习题集5.9.某制造厂在装配作业中需用一种外购件,全年需求量为300万件,不允许缺货;一次订购费为100元;存贮费为0.1元/件月。
该外购件进货单价和订购批量Q有关,具体如下表,求最佳订购策略.批量(件)0≤Q<10000单价(元)1。
0010000≤Q<300000.9830000≤Q<500000。
96Q≥500000.945.10.试证明:
一个允许缺货的EOQ模型的费用,决不会超过一个具有相同存贮费、订购费、但又不允许缺货的EOQ模型的费用。
5.11.下表:
某时装屋在某年春季欲销售某种流行时装.据估计,该时装可能的销售量见1500。
051600。
11700。
51800.31900.05销售量r(套)概率P(r)该款式时装每套进价180元,售价200元。
因隔季会过时,故在季末需低价抛售完,较有把握的抛售价为每套120元。
问该时装屋在季度初时一次性进货多少为宜?
第六章6.1排队论某店仅有一个修理工人,顾客到达过程为Poisson流,平均3人/h,修理时间服从负指数分布,平均需10min。
求:
(1)店内空闲的概率;
(2)有4个顾客的概率;(3)至少有1个顾客的概率;(4)店内顾客的平均数;(5)等待服务的顾客的平均数;(6)平均等待修理时间;(7)一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率。
设有一单人打字室,顾客的到达为为Poisson流,平均到达时间间隔为20min,打字时间服从负指数分布,平均为15min。
求:
(1)顾客来打字不必等待的概率;
(2)打字室内顾客的平均数;(3)顾客在打字室内的平均逗留时间;(4)若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h,则主人将考虑增加设备及打字员.问顾客的平均到达率为多少时,主人才会考虑这样做.汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡,通过关卡的平均时间为38s.由于驾驶人员反映等待时间太长,主管部门打算采用新装置,使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。
但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的.根据这一要求,分析采用新装置是否合算。
6.26.311
《运筹学》习题集6。
4有一个M/M/1/5系统,平均服务率µ=10。
就两种到达率λ=6,λ=15已得到相应的概率pn,如下表所示,试就两种到达率分析:
(1)有效到达率和系统的服务强度;
(2)系统中顾客的平均数;(3)系统的满员率;(4)服务台应从哪些方面改进工作,理由是什么?
系统中顾客数n0123451(λ=6)pn,0.420.250.150。
090.050。
04(λ=15)pn,0.050.070。
110。
160。
240。
3712