苏教版六年级上册数学知识点.docx

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苏教版六年级上册数学知识点

新苏教版六年级数学上册知识点总结

（一）长方体和正方体

长方体和正方体的特征:

长方体和正方体的表面积：

概念：

长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积

计算公式：

长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2或S表=（abacbc）

正方体表面积=棱长×棱长×6或2S=aa66a

注：

不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等等。

体积（容积）单位进率换算：

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1m³=1000dm³1dm³=1000cm³1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1L=1000mL1dm³=1L1cm³=1mL

长方体和正方体的体积（容积）：

概念：

物体所占空间的大小叫做它们的体积（容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积）。

计算公式：

长方体体积公式=长×宽×高或Vabh

正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或3Vaaaa

长方体和正方体的体积=底面积×高或VS底×h

（二）分数乘法

分数与整数相乘及实际问题：

1.分数与整数相乘：

用整数与分数的分子相乘的积作为分子，分数的分母作为分母，最后约分成最简分数。

或者先将整数与分数的分母进行约分，再应用前面计算法则。

注：

【任何整数都可以看作为分母是1的分数】

2.求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。

3.解题时可以根据表示几分之几的条件，确定单位1的量，想单位1的几分之几是哪个数量，找出数量关系式，再根据数量关系式列式解答。

分数与分数相乘及连乘：

1.分数与分数相乘：

用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母，最后约分成最简分数。

2.分数连乘：

通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算

3.一个数与比1小的数相乘，积小于原数；一个数与比1大的数相乘，积大于原数。

倒数的认识：

1.乘积是1的两个数互为倒数。

2.求一个数（不为0）的倒数，只要将这个数的分子与分母交换位置。

【整数是分母为1的分数】

3.1的倒数是1，0没有倒数。

4.假分数的倒数都小于或等于1（或者说不大于1）；真分数的倒数都大于1。

（三）分数除法

分数除法：

1.分数除法计算法则：

甲数除以乙数（不为0）等于甲数乘乙数的倒数。

2.分数连除或乘除混合计算：

可以从左向右依次计算，但一般是遇到除以一个数，把它改写成乘这个数的倒数来计算。

【转化成分数的连乘来计算】

3.除数大于1，商小于被除数；除数小于1，商大于被除数；除数等于1，商等于被除数。

4.分数除法的意义：

已知一个数的几分之几是多少，求这个数？

可以用列方程的方法来解，也可以直接用除法。

注：

在单位换算中，要弄清需要换算的单位之间的进率是多少

比的认识：

1.比的意义：

比表示两个数相除的关系。

2.比与分数、除法的关系：

a:

b=a÷b=a/b（b≠0）

3.比值：

比的前项除以比的后项，所得的商就叫比值。

注：

比值是一个数，可以是整数、分数、小数，不带单位名称。

4.比的基本性质：

比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。

5.最简整数比：

比的前项和后项是互质数。

也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。

6.化简：

运用比的基本性质对比进行化简，方法：

先把比的前、后项变成整数，再除以它们的最大公因数。

注：

化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同，方法不同，结果不同】

7.按比例分配问题：

将一个数量按照一定比例，分成几个部分，求每个部分是多少，这类问题称为按比例分配问题。

解决方法：

先求出总份数，再求各部分数占总数的几分之几，转化成分数乘法来计算。

（四）解决问题的策略

用“替换”策略解决实际问题：

问题：

小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满，已知小杯的容量是大杯的13，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

如果把720毫升果汁全部倒入小杯，需要（6+3）个小杯。

如果把720毫升果汁全部倒入大杯，需要（1+2）个大杯。

用“假设”策略解决实际问题：

问题：

在1个大盒和5个同样的小盒中装满球，正好是80个，每个大盒比每个小盒多装8个，大盒里装了多少个球？

小盒呢？

分析：

假设6个全是小盒球的总数比80小，把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个小盒：

（80-8）÷6=12大盒：

12+8=20检验

先假设再比较（与条件不符）进行调整得出结果检验

（五）分数四则混合运算

分数四则混合运算的顺序：

分数四则混合运算的顺序与整数相同。

先算乘除法，后算加减法；有括号的先算括号里面的，后算括号外面的。

分数四则混合运算的运算律：

加法的交换律：

abba

加法的结合律：

（ab）ca（bc）

乘法的交换律：

abba

乘法的结合律：

（ab）ca（bc）

乘法的分配律：

（ab）cacbc

稍复杂的分数乘法实际问题：

1.甲占（是）乙的几分之几

几分之几=甲÷乙；甲=乙×几分之几；乙=甲÷几分之几；

2.甲占（是）总量的几分之几，求乙？

乙=总量-甲×几分之几

3.甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几几分之几=（甲-乙）÷乙；甲=乙×（1+几分之几）；乙=甲÷（1+几分之几）

4.乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几几分之几=（甲-乙）÷甲；甲=乙÷（1-几分之几）；乙=甲×（1-几分之几）

（六）百分数

百分数的意义及读写：

1.百分数的意义：

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分比或百分率。

2.百分数的读写：

百分数不写成分数形式，先写分子，再写百分号。

注：

百分数后面不带单位名称。

（常出现在判断题中）

百分数与小数的互化：

百分数与分数的互化：

求一个数是另一个数的百分之几的实际问题：

公式：

（一个数÷另一个数）×100%

生活中常见的一些百分率：

合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

命中率＝命中次数÷总次数×100%

及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%

纳税问题：

求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少，也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几，就求出了应纳税额。

利息问题：

利息=本金×利率×存期

折扣问题：

折扣=实际售价÷原售价×100%

列方程解决稍复杂的百分数实际问题：

1．解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。

2．用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。

根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。

3．“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。

4．灵活运用本单元所学知识，解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分数应用题之间的联系。

【典型例题】

例1、（列方程解答和倍问题）一根绳子长48米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的60％。

甲、乙两绳各长多少米？

分析与解：

乙绳长度是甲绳的60％，把甲绳长度看作单位“1”。

等量关系式：

甲绳长度+乙绳长度=总长度

解答：

设甲绳长ｘ米，则乙绳长60％ｘ米。

ｘ+60％ｘ=48

1.6ｘ=48

ｘ=30

60％ｘ=30×60％=18

答：

甲绳长30米，则乙绳长18米。

检验：

30+18=48（米），符合甲、乙两绳共长48米。

18÷30=60％，符合乙绳长度是甲绳的60％。

例2、（列方程解答差倍问题）体育馆内排球的个数是篮球的75％，篮球比排球多6个。

篮球和排球各有多少个？

分析与解：

排球的个数是篮球的75％，是把篮球个数看作单位“1”。

等量关系式：

篮球–排球=6个

解答：

设篮球有ｘ个，则排球有75％ｘ个。

ｘ-75％ｘ=6

0.25ｘ=6

ｘ=24

75％ｘ=24×0.75=18

答：

篮球有24个，排球有18个。

你会自己检验吗？

检验：

24-18=6（个），符合篮球比排球多6个。

18÷24=75％，符合排球的个数是篮球的75％。

点评：

在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况下设单位“1”的量为ｘ，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出另一个量，最后根据它们的和或差列出方程。

例3、六年级男生比女生少40人，六年级女生人数相当于男生人数的140％，六年级男生有多少人？

错误解法：

设：

女生有ｘ人，男生就有140％ｘ人。

140％ｘ-ｘ=40

0.4ｘ=40

ｘ=100

140％ｘ=100×1.4=140

分析与解：

根据“六年级女生人数相当于男生人数的140％”，可以把男生人数看作单位“1”的量，设男生人数为ｘ人，女生人数就是140％ｘ人，再根据“六年级男生比女生少40人”，可以得出数量关系式：

“女生人数–男生人数=40”，根据此数量关系式列出方程。

正确解答：

设男生有ｘ人，女生就有140％ｘ人。

140％ｘ-ｘ=40

0.4ｘ=40

ｘ=100

答：

男生有100人。

点评：

解错此题的原因是单位“1”的量找错了，要记住找单位“1”的量时候，首先要去找分率（百分率），因为没有分率就没有单位“1”的量，就不能看到“比”，而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。

例4、（列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题）白兔有36只，比灰兔少20％。

灰兔有多少只？

分析与解：

白兔比灰兔少20％，把灰兔看作单位“1”。

等量关系式：

灰兔的只数–白兔比灰兔少的只数=白兔的只数

解答：

设灰兔有ｘ只。

ｘ-20％ｘ=36

0.8ｘ=36

ｘ=45

答：

灰兔有45只。

检验：

45–45×20％=36或（45–36）÷45=20％，符合题意。

点评：

和前面例题一样，都是去求单位“1”的量。

在解题时同样要注意找准单位“1”的量，看问题求什么，确定用什么方法计算。

例6、（难点突破）某商品如果按现价18元出售，则亏了25％，原来成本是多少元？

如果想盈利25％，应按多少元出售该商品？

分析与解：

不管是亏25％，还是盈利25％，单位“1”都是这件商品的成本。

所以要先求这件商品的成本。

18元亏25％，说明18元比成本少25％，即是成本的（1-25％）。

盈利25％，说明盈利的是原来成本的25％，实际售价是原来成本的（1+25％）。

解答：

设原来成本是ｘ元。

ｘ-25％ｘ=18

0.75ｘ=18

ｘ=2424×（1+25％）=30（元）

答：

原来成本是24元，应按30元出售该商品。

点评：

通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的。

解答这道题目的关键是确定好单位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。

例7、（考点透视）水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的22％，第二次运进1.5吨，两次共运进这批水果的62％，这批水果一共有多少吨？

分析与解：

根据题意可以画出下面的线段图：

从图中可以看出：

两次一共运的吨数-第一次运的吨数=1.5吨，单位“1”的量是这批水果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了62％ｘ吨，第一次运进了22％ｘ吨。

解：

设这批水果一共有ｘ吨。

62％ｘ-22％ｘ=1.5

40％ｘ=1.5

ｘ=3.75

答：

这批水果一共有3.75吨。

点评：

在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：

使题目的条件变得简洁，找数量关系式时更加容易、方便。

画图的时候，要先找准单位“1”的量，用一根线段表示出单位“1”的量之后，再去表示其他的量。

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一、基本训练：

1、找出下列各题中的单位“1”。

①男生人数占女生人数60%。

②男生人数比女生人数多20%。

③女生人数比男生人数少25%。

④加工一批零件，已完成了80%。

⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。

2、根据所给信息，说出数量间的相等关系

①一条路，已修了全长的60%

②一种彩电，现价比原价降低10%

③松树的棵数比柏树多

3、看图列式。

4、列式计算：

（1）一个数的75%比30的25%多1.5，求这个数。

（2）一个数的25%比它的75%少30，求这个数。

二、解决问题：

1、对比练习

（1）某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少吨？

（2）某工厂六月份用煤60吨，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少吨？

2、一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的60%，课桌和椅子的单价各是多少元？

3、果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。

苹果树和梨树各有多少棵？

4、一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子的30%。

桌子和椅子的价格各是多少元？

5、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，两次共剪去6米，这条绳子共长多少米？

6、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，第二次比第一次多剪了1米，这条绳子长多少米？

7、根据问题列式。

平山茶场去年原计划种茶20公顷，实际种茶25公顷，________?

①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？

②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？

③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？

④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？

8、根据算式填条件

果园里有苹果树200棵，-------，梨树有多少棵？

①200÷20%

②200×20%

③200÷（1+20%）

④200÷（1-20%）

⑤200×（1-20%）

⑥200×（1+20%）

【试题答案】

一、基本训练：

1、找出下列各题中的单位“1”。

①男生人数占女生人数60%。

把女生人数看作单位“1”

②男生人数比女生人数多20%。

把女生人数看作单位“1”

③女生人数比男生人数少25%。

把男生人数看作单位“1”

④加工一批零件，已完成了80%。

把一批零件看作单位“1”

⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。

把去年的猪肉单价看作单位“1”

2、根据所给信息，说出数量间的相等关系

①一条路，已修了全长的60%全长×60%=已修

②一种彩电，现价比原价降低10%原价×10%=降价

原价×（1-10%）=现价

③松树的棵数比柏树多柏树×=松树比柏树多的棵数

柏树×（1+）=松树

3、看图列式。

4、列式计算：

（1）一个数的75%比30的25%多1.5，求这个数。

75％ｘ–30×25%=1.5

ｘ=12

（2）一个数的25%比它的75%少30，求这个数。

75％ｘ–25%ｘ=30

ｘ=60

二、解决问题：

1、对比练习

（1）某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少吨？

解：

设五月份用煤ｘ吨。

ｘ–25%ｘ=60

ｘ=80

（2）某工厂六月份用煤60吨，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少吨？

60+60×25%=75（吨）

2、一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的60%，课桌和椅子的单价各是多少元？

解：

设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是60%ｘ元。

ｘ–60%ｘ=10

ｘ=25

25×60%=15（元）或25–10=15（元）

答：

课桌的单价是25元，椅子的单价是15元。

3、果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。

苹果树和梨树各有多少棵？

解：

设梨树的棵树是ｘ棵，苹果树的棵树是20%ｘ棵。

ｘ+20%ｘ=360

ｘ=300

300×20%=60（棵）或360–300=60（棵）

答：

梨树的棵树是300棵，苹果树的棵树是60棵。

4、一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子的30%。

桌子和椅子的价格各是多少元？

解：

设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是30%ｘ元。

ｘ+30%ｘ=78

ｘ=60

60×30%=18（元）或78–60=18（元）

答：

课桌的单价是60元，椅子的单价是18元。

5、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，两次共剪去6米，这条绳子共长多少米？

解：

设这条绳子共长ｘ米。

25%ｘ+35%ｘ=6ｘ=10

答：

这条绳子共长10米。

6、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，第二次比第一次多剪了1米，这条绳子长多少米？

解：

设这条绳子共长ｘ米。

35%ｘ-25%ｘ=1ｘ=10

答：

这条绳子共长10米。

7、根据问题列式。

平山茶场去年原计划种茶20公顷，实际种茶25公顷，________?

①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？

25÷20=125%

②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？

20÷25=80%

③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？

（25–20）÷20=25%

④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？

25–20）÷25=20%

8、根据算式填条件

果园里有苹果树200棵，------，梨树有多少棵？

①200÷20%苹果树是梨树的20%

②200×20%梨树是苹果树的20%

③200÷（1+20%）苹果树比梨树多20%

④200÷（1-20%）苹果树比梨树少20%

⑤200×（1-20%）梨树比苹果树少20%

⑥200×（1+20%）梨树比苹果树多20%