等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx
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等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习
（含答案）
1.如图：
已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB二AC,AD二AE,求证：
BD二CE。
证明：
作AF丄BC,垂足为F,则AF丄DE。
TAB二AC,AD=AE
又TAF丄BC,AF±DE,ABF=CF,DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
・・・BD二CE.
2.如图，在三角形ABC中，AB二AC,AF平行BC于F,D是AC边上任意一点，延长BA到E,使AE二AD,连接DE,试判断直线AF与DE的位置关
系，并说明理由解：
AF1DE.理由：
延长ED交BC于G,TAB二AC,AE二AD/.ZB=ZC,
ZE=ZADE.IZB+ZE二ZC+ZADEVZADE=ZCDGAZB+ZE=ZC+Z
CDGVZB+ZE=ZDGC,ZC+ZCDG二ZBGE,ZBGE+ZCGD=180°AZ
BGE二ZCGD二90°AEG±BC.VAF/7BC・・.AF丄DE.
E
解法2：
过A点作AABC底边上的高，
再用ZBAC二ZD+AED二Z2ZADE,即ZCAG二ZAED,证明AG〃DE利用AF〃
BC证明AF丄DE
G
3•如图，ZXABC中，BA-BC,点D
是AB延长线上一点，DF丄AC交BC于
E,求证：
ADBE是等腰三角形。
证明：
在Z\ABC中，VBA=BC,
/.ZA二"VDF1AC,二ZC+Z
FEC二90°,ZA+ZD二90°,
ZFEC二ZDTZFEC二ZBED,ZBED二
ZD,・・・BD二BE,即ADBE是等腰三角形.
4.如图，ZXABC中，AB二AC,E在AC±,且AD二AE,DE的延长线与BC相交于F。
求证：
DF丄BC.
证明：
VAB=AC,AZB=ZC,又VAD=AE,AZD=ZAED,
・•・ZB+ZD二ZC+ZAED,/.ZB+ZD二ZC+ZCEF,
AZEFC=ZBFE=180°X1/2=90°,.'.DF丄BC;
若把“AD二AE”与结论“DF丄BC”互换，结论也成立。
若把条件“AB二AC”与结论“DF丄BC”互换，结论依然成立。
5.如图，AB二AE,BC二ED,ZB二ZE,AM丄CD,A求证：
CM二MD.
证明：
连接AC,AD
VAB=AE,ZB二ZE,BC二EDAAABC^AAED（SAS）
・・・AC二AD
TAM丄CDAZAMC=ZAMD=90°TAM二AM（公共边）ARTAACM^RTA
ADM（HL）
・・・CM=DM
6.如图，已知AD是AABC的中线，BE交AC于F,且AE二EF,求证：
BF二AC证明：
过B点做AC的平行线，交AD的延长线于G点
TAD为中线…・・BD二CDTBG平行于AC,AZFGB=ZCAF,ZDBG=ZACD在AAFE和AGFR中，TZFGB二ZCAF,ZGFB二ZAFEAAAFE^AGFB・•・ZFGB=ZFAE
TAE二EF,・•・ZFAE=ZAFE
・・・ZBFG=ZGAGFB为等腰三角形，且BF二BG在AADC和△GBD中T
ZDBG=ZACD,BD=CD,ZBDG二ZCDAAAADC^AGBD.\BG=AC
・•・BF二AC
7•已知：
如图，△ABC（ABHAC）中，D、E在BC上，且DE二EC,过D点作
DF〃BA,交AE于点F,DF二AC,求证：
AE平分ZBAC
证明：
延长AE,过D作DMIIAC交AE延长线于MAZM=Z1,ZC=Z2在
ADEM与Z\CEA中ZM=Z1,ZC=Z2,DE二CE/.ADEM^ACEA/.DM-CA
又VDF-CA,.\DM=DF,.\ZM=Z3TABIIFD,AZ3=Z4,AZ4=Z1.\AE
平分ZBAC
A
殳线于M
8.已知：
如图，AABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
求证：
BD二CE
证明：
过D作DF〃AC交BC于F,VDF/7AC（已知）,ZDFC=ZFCE,ZDFB二ZACB（平行线的性质）TAB二AC（已知），/.ZB=ZACB（等边对等角）,AZB=ZDFB（等量代换），・・・BD=DF（等角对等边）,VBD=CE（已知）,:
.DF=CE（等量代换），
VZDFC=ZFCE,ZDGF二ZCGE（已证），
AADFG^AECG（AAS）,
・・・DG二GE（对应边相等）
9.已知：
如图，在AABC中，AB二AC二CE,B是AD上一点，BE丄CB交CD于E,AC丄DC,求证：
BE二1/2BC
证明：
过点A作AF丄BC交BC于点F
••'△ABC是等腰三角形，AB二AC,ZABF二ZACF…
（1）AAF是BC上的垂直平分线,AF丄BC,BF二CF二BC/2
（2）VBE±BC,ABE//AF
ZDBE=ZBAF（3）VZCBE=90°AZDBE+
ZABF=90°二ZACF+ZECB（4）由⑴和（4）知道：
ZDBE=
ZECB（5）由（3）和（5）知道:
ZBAF=ZECB又VAB=CE,
ZBFA=ZEBC=90°.IRT△BFA9RT△EBC（角角边）
BF=EB（6）由
（2）和（6）知道：
BE二BC/2
10.如图，AD为AABC的角平分线，M为BC的中点，ME〃DA交BA延长
线于E,求证：
BE二CF二1/2（AB+AC）
证明：
（1）延长EM,使EM二MG,连接CG
•••点M是BC的中点,Z.BM=CMVZBME=ZCMGZ.ABME^ACMG（SAS）
「•BE二CG,ZE=ZG
TAD平分ZBAC,AZBAD=ZCADTME〃DA,二ZBAD二ZE,ZCAD=ZAFE
「•ZE二ZAFE,•••AE二AFVZAFE^ZCFG,AZG-ZCFGACF^CG,Z.
BE二CG,「•BE二CF
E：
（2）TBE二AB+AE,二2BE二2AB+2AE
TCF二BE,AC二CF+AF,AE=AF
・•・2BE二2CF二AB+（AB+AE）+AE二AB+BE+AE二AB+（CF+AE）TAC=AF+CF
2BE二AB+AC.•-BE二CF二1/2（AB+AC）
11.如图，已知AABC中，AD丄BC,ZABC二2ZC.试说明AB+BD二CD的理由。
证明：
在DC上截取DE二BD,连接AEVAD』BC,.・・ZADB=ZADE=90°TAD=ADARTAADB^RTAADE（SAS）AAB=AE,ZABC二ZAEBVZAEB=ZC+ZEACVZABC=2ZC（已知）ZEAC=ZC
「•AE二CE,「•AB二CETCD二CE+DE,.••AB+BD二CD
12•已知：
如图，AD是ZiABC的角平分线，且AC二AB+BD.求证：
ZB二2
ZC.
证明：
在AC上作AE=AB,连结DETAC二AB+BD=AE+CE,ABD=CEV
AD是角平分线,AZBAD=ZEAD又TAB二AE,AD二ADAABD^AEAD
•••ZB=ZAED,BD=DE=CE
AZEDC=ZC,ZAED=2ZC
即：
ZB=2ZC
13.如图所示，已知在AABC中AD是,A的平分线，且ZB=2ZC.求证:
AC二AB+BD.
证明：
延长AB到E,使AC二AE,连接DE
VAD是ZBAC的角平分线AZBAD=ZDAC（角平分线的定义）：
•公共边AD=ADAC=AEZBAD=ZDACAAACD^AAED（SAS）AZACB=ZDEA（全等三角形形的对角相等）
VZBDE+ZDEB=ZCBAZCBA二2ZACBZACB=ZDEAAZBDE=ZDEA
BD二BE（等角对等边）
TAB+BE二AE,AC=AE,BD二BE
•••AB+BD二AC
14.如图，点E是等边Z\ABC内一点，且EA二EB，AABC外一点D满足
BD二AC,且BE平分ZBDEo求ZBDE的度数解:
连接CE,TAC二BC,AE二BE,
CE为公共边，.IABCE^AACE,ZBCE=ZACE=30°又TBD二AC二BC,
ZDBE二ZCBE,BE为公共边，ABDE^ABCE,ZBDE二ZBCE二30°
15.如图,已知在AABC中,AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.
求证：
BD+DC二AD・A
提示：
证明△ABE^ABCD即可EBC
16.已知：
如图，Z\ABC中，ZC=90°,CM丄AB于M,AT平分ZBAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证：
CT=BE证明1：
作DF〃BC交AB于F,则：
VZAFD=ZB=ZACD,AT为ZBAC的角平分线,AD为公共边AAAFD^AACD,AF=AC连接TFVAF=AC,AT为ZBAC的角平分线,AT为公共边△ACT竺△AFT,TF丄AF,TF〃CMTDF〃CT〃BE,TF〃CD,DE〃BF化四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形.*.CT=DF=BE
证明2：
作TF丄AB于F,贝lj：
TZCDT二ZADM二90°-/DAM二90°-/DAC二
ZCTDAZCDT=ZCTD,「CT二CDVAT为ZBAC的角平分线,TF丄AB,
AC丄TC•:
CT二TF二CD•/DE//BF,TF//CD,.•-ZDEC二ZB,ZDCE二ZFTB
又TTF二CD.\ACDE^ATFB,ACE^BTACE-TE=BT-TE,CT=BE
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