中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系含详细参考答案.docx

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中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系含详细参考答案

2019年中考数学专题复习

第二十三讲与圆有关的位置关系

【基础知识回顾】

一、点与圆的位置关系：

1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d

则：

点P在圆内<＝>点P在圆上<＝>

点P在圆外<＝>

2、过三点的圆：

⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆

⑵三角形的外接圆：

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：

三角形的交点，

外心的性质：

到相等

【名师提醒：

锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】

二、直线与圆的位置关系：

1、直线与圆的位置关系有种：

当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：

直线l与⊙O相交<＝>dr,直线l与⊙O相切<＝>dr

直线l与⊙O相离<＝>dr

3、切线的性质和判定：

⑴性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的

【名师提醒：

根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】

⑵判定定理：

经过半径的且这条半径的直线是圆的切线

【名师提醒：

在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】

4、切线长定理：

⑴切线长定义：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角

5、三角形的内切圆：

⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的

⑵三角形内心的形成：

是三角形的交点

内心的性质：

到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分

【名师提醒：

三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s=，若△ABC为直角三角形，则r=】

一、圆和圆的位置关系：

圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，圆心距为d，则⊙O1与⊙O2外离<＝>⊙O1与⊙O2外切<＝>

⊙O1与⊙O2相交<＝>⊙O1与⊙O2内切<＝>

⊙O1与⊙O2内含<＝>

【名师提醒：

两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d=】

二、反证法：

假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法

【名师提醒：

反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】

【典型例题解析】

考点一：

切线的性质

例1（2018•安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE=°．

【思路分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．

【解答】解：

连接OA，

∵四边形ABOC是菱形，

∴BA=BO，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

∵点D是AB的中点，

∴直线OD是线段AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

∴∠AOD=

∠AOB=30°，

同理，∠AOE=30°，

∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，

故答案为：

60．

【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键

考点二：

切线的判定

例2（2018•怀化）已知：

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．

（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；

（2）求证：

CD是⊙O的切线．

【思路分析】

（1）由扇形的面积公式即可求出答案．

（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．

【解答】解：

（1）∵AB=4，

∴OB=2

∵∠COB=60°，

∴

；

（2）∵AC平分∠FAB，

∴∠FAC=∠CAO，

∵AO=CO，

∴∠ACO=∠CAO

∴∠FAC=∠ACO

∴AD∥OC，

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC

∵C在圆上，

∴CD是⊙O的切线

【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型．

考点三：

直线与圆、圆与圆的位置关系

例3（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）

A．相交B．相切

C．相离D．无法确定

【思路分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．

【解答】解：

∵圆心到直线的距离5cm=5cm，

∴直线和圆相切．

故选：

B．

【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2018•眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（　　）

A．27°B．32°

C．36°D．54°

2.（2018•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（　　）

A．40°B．50°

C．60°D．80°

3.（2018•泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40°B．50°

C．60°D．70°

4.（2018•常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（　　）

A．76°B．56°

C．54°D．52°

5.（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：

（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；

（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

6.（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A．外离

B．外切

C．相交

D．内切

8.（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　）

A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9

C．3＜OB＜7D．2＜OB＜7

9.（2018•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（　　）

A．80°B．120°

C．100°D．90°

10.（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3B．4

C．6D．8

二、填空题

11.（2018•连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=．

12.（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．

13.（2018•台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=度．

14.（2018•长沙）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=度．

15.（2018•曲靖）如图：

四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=°．

三、解答题

16.（2018•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．

求证：

CD为⊙O的切线．

17.（2018•宜宾）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E．

（1）求证：

直线EC为圆O的切线；

（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．

18.（2018•南充）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．

（1）求证：

PC是⊙O的切线．

（2）求tan∠CAB的值．

19.（2018•郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

（1）求证：

直线AD是⊙O的切线；

（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

20.（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求证：

EA是⊙O的切线；

（2）求证：

BD=CF．

21.（2018•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．

（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．

2019年中考数学专题复习

第二十三讲与圆有关的位置关系参考答案

【备考真题过关】

一、选择题

1.【思路分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．

【解答】解：

∵PA切⊙O于点A，

∴∠OAP=90°，

∵∠P=36°，

∴∠AOP=54°，

∴∠B=27°．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．

2.【思路分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．

【解答】解：

∵BC是⊙O的切线，

∴∠ABC=90°，

∴∠A=90°-∠ACB=40°，

由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，

故选：

D．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点

3.【思路分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．

【解答】解：

如图，连接OA、OB，

∵BM是⊙O的切线，

∴∠OBM=90°，

∵∠MBA=140°，

∴∠ABO=50°，

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=50°，

∴∠AOB=80°，

∴∠ACB=

∠AOB=40°，

故选：

A．

【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：

①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

4.【思路分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．

【解答】解：

∵MN是⊙O的切线，

∴ON⊥NM，

∴∠ONM=90°，

∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，

∵ON=OB，

∴∠B=∠ONB=38°，

∴∠NOA=2∠B=76°．

故选：

A．

【点评】本题考查了切线的性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．

5.【思路分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．

【解答】解：

连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，

∵G是BC的中点，

∴AG=DG，

∴GH垂直平分AD，

∴点O在HG上，

∵AD∥BC，

∴HG⊥BC，

∴BC与圆O相切；

∵OG=OG，

∴点O不是HG的中点，

∴圆心O不是AC与BD的交点；

而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，

∴AF与DE的交点是圆O的圆心；

∴

（1）错误，

（2）（3）正确．

故选：

C．

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．

6.【思路分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．

【解答】解：

∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，

又∵2+3=5，3-2=1，1＜4＜5，

∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．

故选：

C．

【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

8.【思路分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：

OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．

【解答】解：

设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，

∴AD⊥OP，

∵∠O=30°，AD=2，

∴OA=4，

当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，

∵BC=3，

∴OB=OA+AB=4+3-2=5；

当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，

∴OB=OA+AB=4+2+3=9，

∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：

5＜OB＜9，

故选：

A．

【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．

9.【思路分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．

【解答】解：

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠A=180°-∠BCD=60°，

由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，

故选：

B．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

10.【思路分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．

【解答】解：

∵PA⊥PB，

∴∠APB=90°，

∵AO=BO，

∴AB=2PO，

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，

过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ=3、MQ=4，

∴OM=5，

又∵MP′=2，

∴OP′=3，

∴AB=2OP′=6，

故选：

C．

【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．

二、填空题

11.【思路分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．

【解答】解：

连接OB，

∵BC是⊙O的切线，

∴OB⊥BC，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

∵OC⊥OA，

∴∠A+∠APO=90°，

∵OA=OB，∠OAB=22°，

∴∠OAB=∠OBA=22°，

∴∠APO=∠CBP=68°，

∵∠APO=∠CPB，

∴∠CPB=∠ABP=68°，

∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，

故答案为：

44°

【点评】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

12.【思路分析】分两种情形分别求解：

如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；

【解答】解：

如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8-x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．

如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，PB=

=4

．

综上所述，BP的长为3或4

．

【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．

13.【思路分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．

【解答】解：

连接OC，

由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠D=90°-∠COD=26°，

故答案为：

26．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

14.【思路分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出∠OCB的度数．

【解答】解：

∵∠A=20°，

∴∠BOC=40°，

∵BC是⊙O的切线，B为切点，

∴∠OBC=90°，

∴∠OCB=90°-40°=50°，

故答案为：

50．

【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．

15.【思路分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．

【解答】解：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠DCB=180°，

又∵∠DCE+∠DCB=180°

∴∠DCE=∠A=n°

故答案为：

n

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：

圆内接四边形的对角互补．

三、解答题

16.【思路分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．

【解答】证明：

∵BC平分∠ABD，

∴∠OBC=∠DBC，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠DBC，

∴OC∥BD，

∵BD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定定理：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

17.【思路分析】

（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．

（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值．

【解答】解：

（1）证明：

∵CE⊥AD于点E

∴∠DEC=90°，

∵BC=CD，

∴C是BD的中点，又∵O是AB的中点，

∴OC是△BDA的中位线，

∴OC∥AD

∴∠OCE=∠CED=90°

∴OC⊥CE，又∵点C在圆上，

∴CE是圆O的切线．

（2）连接AC，

∵AB是直径，点F在圆上

∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA

∵∠EPF=∠EPA

∴△PEF∽△PEA

∴PE2=PF×PA

∵∠FBC=∠PCF=∠CAF

又∵∠CPF=∠CPA

∴△PCF∽△PAC

∴PC2=PF×PA

∴PE=PC

在直角△PEF中，

．

【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．

18.【思路分析】

（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线

（2））AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而

，得出t

．

【解答】解：

（1）如图，连接OC、BC，

∵⊙O的半径为3，PB=2

∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5

∵PC=4

∴OC2+PC2=OP2

∴△OCP是直角三角形，

∴OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线．

（2）∵AB是直径

∴∠ACB=90°

∴∠ACO+∠OCB=90°

∵OC⊥PC

∴∠BCP+∠OCB=90°

∴∠BCP=∠ACO

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO

∴∠A=∠BCP

在△PBC和△PCA中：

∠BCP=∠A，∠P=∠P

∴△PBC∽△PCA，

∴

∴

。

【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能证明图中相似三角形是解决问题的关键．

19.【思路分析】

（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；

（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．

【解答】解：

（1）如图，

∵∠AEC=30°，

∴∠ABC=30°，

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，

根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，

连接OA，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=30°，

∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°，

∴OA⊥AD，

∵点A在⊙O上，

∴直线AD是⊙O的切线；

（2）连接OA，∵∠AEC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵BC⊥AE于M，

∴AE=2AM，∠OMA=90°，

在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2

，

∴AE=2AM=4

．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．

20.【思路分析】

（1）根据等边三角形的性质可得：

∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：

AE是⊙O的切线；

（2）先根据等边三角形性质得：

AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：

∠A