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华东理工大学概率论答案

【篇一：

华东理工大学概率论答案-15,16】

选择题：

1.设随机变量?

密度函数为p（x），则?

1的密度函数p?

（y）为（a）。

1y?

11y?

）b、3p（）c、p（3（y?

1））d、3p（）a、p（

33333

2.设随机变量?

和?

相互独立，其分布函数分别为f?

（x）与f?

（y），则

＝max（?

）的分布函数f?

（z）等于（b）a．max{f?

（z）,f?

（z）}b.f?

（z）f?

（z）

c．[f?

（z）?

（z）]d.f?

（z）?

（z）f?

（z）

二.填空：

已知?

～n（0,1）,?

三.计算题

则?

的概率密度为?

（y）?

3y22?

。

1.已知随机变量?

~u[0,2]，求?

2的概率密度。

p{?

解:

（y）?

p{?

y}?

y}y?

（y）?

（?

y）

0y?

p（y）?

（?

y）?

故p?

（y）?

2y?

＝?

4yy?

4其他

2.设随机变量x

求y?

sin（

x）的概率分布。

4k?

2kk?

1,2,?

4k?

1x?

解：

由于sin（）?

故随机变量y的可能取值为：

-1，0，1。

随机变量y的p{y?

1}?

p{x?

4k?

1}?

124k?

112?

；8115

124

p{y?

0}?

p{x?

2k}?

1111?

；2k

143k?

12?

122

p{y?

1}?

p{x?

4k?

3}?

124k?

118?

，2115

142

于是随机变量y的分布律为：

3．设?

~u（0,1），求?

解：

对应于?

ln?

的分布。

lnx

，

（lnx）2

f（x），由于

f（x）?

（lnx）2

2lnx?

。

lny

当x?

（0,1）时，

f（y）?

ef（x）?

0，

lny

（y）=?

（x）|x?

1（y）|（f（y））|?

2ylny

其中当y?

（?

1]时，

（1,?

）

.其它y

（y）

=0是由x?

（0,1）时y?

（1,?

）而导出的。

4.设?

、?

是两个相互独立且均服从正态分布n?

0,?

的随机变量，求

e（|?

|）。

解:

由已知条件可得：

~n（0,1），所以

e（|?

|）?

|x|?

12?

x22

dx?

22?

x22

dx?

22e

x22

5.已知随机变量?

、?

的概率分布分别为

114

012

p{?

yj}

012

p{?

xi}

1412

而且p{?

0}?

1。

（1）求?

、?

的联合概率分布；

（2）问?

、?

是否独立？

（3）求?

max（?

）的概率分布。

解:

由于p（?

0）?

1,可以得到p（?

1,?

1）?

p（?

1,?

1）?

0,从而

p（?

1,?

0）?

p（?

1）?

241

p（?

1,?

0）?

p（?

1）?

p（?

0,?

0）?

p（?

0）?

p（?

0,?

1）?

4p（?

0,?

1）?

p（?

1）?

汇总到联合分布列,即

（2）由于p（?

i,?

j）?

p（?

i）?

p（?

j）,故?

不独立.（3）

p（?

0）?

p（?

1,?

0）?

p（?

0,?

0）?

1,4

p（?

1）?

p（?

1,?

1）?

p（?

0,?

1）?

p（?

1,?

0）?

p（?

1,?

1）?

6．设随机变量?

、?

相互独立，其密度函数分别为

10?

（x）?

0其他?

求?

的概率密度函数。

解:

由?

相互独立得联合密度函数为

（y）?

y,0?

1,y?

p（x,y）?

0,其他,

密度函数中非零部分对应的（x,y）落在区域d中,利用卷积公式,

当z?

1时,p?

（z）?

（z?

x）dx?

（e?

1）e?

当0?

1时,p?

（z）?

当z?

0时,p?

（z）?

（z?

x）dx?

（e?

1）e?

z,z?

1,?

故p?

（z）?

e,0?

0,z?

0.?

7.电子仪器由4个相互独立的部件li（i?

1,2,3,4）组成，连接方式如图所示。

设各个部件的使用寿命?

i服从指数分布e

（1），求仪器使用寿命?

的概率密度。

l1l3

解:

设各并联组的使用寿命为?

j（j?

1,2），则

min{?

1,?

2},?

max{?

1,?

2},?

max?

{3,?

4}由?

i独立同分布知?

1,?

2也独立同分布。

现

xf?

（x）?

（1?

y）2

所以f?

（y）?

从而

（1?

z）2

（z）?

2z?

e（2?

e）

0z?

4e?

2z（1?

z）（2?

z）z?

。

（z）?

0z?

8．某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量?

（单位：

吨）服从[0,5]上的均匀分布。

这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。

如果

产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元。

如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。

问：

为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量a应该定为多少吨？

这时，平均每月利润是多少元？

50?

解：

因为?

～u（0,5）,所以?

的概率密度为?

（x）?

。

0其他设月产量为

a（0?

5），每月的利润为?

，则

4（a?

）?

10?

4a当?

a时。

f（?

）?

6a当?

a时?

该厂平均每月利润为

ef（?

）?

f（x）?

（x）dx

【篇二：

华东理工大学概率论答案-21,22】

一、填空题

1.将合适的数字填入空格，其中：

（1）置信水平?

，

（2）置信水平1?

，（3）精确度，（4）准确度。

置信区间的可信度由

（2）控制，而样本容量可用来调整置信区间的（3）。

2．有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的重量（单位：

g）如下：

506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布n（?

2），则总体均值?

的置信水平为95%的置信区间为?

的置信水平为95%的置信区间为[4.582,9.599]。

二、选择题

1．设从总体?

~n（?

1,?

12）和总体?

~n（?

2,?

22）中分别抽取容量为9，16的独22立样本，以x，y，sx，sy分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差，

若已知?

1=?

2，则?

2的95%的置信区间为（）a.（?

u0.975

b.（?

u0.975?

129?

216，?

u0.975?

129?

216）22sx2sysx2sy?

），?

u0.975916916

29sx2?

16syt0.975（23）swt0.975（23）sw），其中sw?

c.（?

，?

5523

29sx2?

16syt0.975（25）swt0.975（25）sw），其中sw?

d.（?

，?

5525

2．关于“参数?

的95%的置信区间为（a,b）”的正确理解的是（）

a.至少有95%的把握认为（a,b）包含参数真值?

；

b.有95%的把握认为（a,b）包含参数真值?

；

c.有95%的把握认为参数真值?

落在区间（a,b）内；

d.若进行100次抽样，必有95次参数真值?

落在区间（a,b）内。

三、计算题

1．设某地旅游者日消费额服从正态分布n（?

2），且标准差?

12，今对该地

旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2（元），问至少需要调查多少人？

解：

由于总体为正态分布,且标准差?

（?

12）已知,又由1?

0.95,即?

0.05,

查表可得u1?

u0.975?

1.96，

误差小于2

即u?

21?

1.96?

138.2976，故至少要调查139人。

2．设某种清漆的干燥时间服从正态分布n（?

2）。

现有该清漆的9个样本，干燥时间分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。

试求该种清漆平均干燥时间的置信度为95%的置信区间。

解：

据题意，要求?

的置信度为95%的置信区间，且方差未知。

2由样本得：

9，?

6，sn?

0.33，查t分布表得t0.975（8）?

2.06

则?

的置信度为95%的置信上下限为

t0.975（8）?

sn?

1n?

2.06?

0.33?

0.44即该种清漆平均干燥时间的置信度为95%的置信区间为（5.56,6.44）。

3．某厂生产一批圆形药片，已知药片直径x~n（?

2），随机抽取16粒药片，测得样本均值x?

4.87mm，样本标准差s?

0.32mm，求总体的方差?

2在置信水平为0.95下的置信区间。

解：

由样本值得s?

0.32,n?

16，?

0.05，自由度为n?

15。

22查表得?

0）?

27.488。

所以，.025（15）?

6.262，?

0.975（15

15?

0.322

0.0559,227.488?

0.975（15）

15?

0.322

0.2453.26.262?

0（15）.025（n?

1）s2（n?

1）s2

。

0.2453即?

2的置信水平为0.95的置信区间为：

0.0559

第二十二次作业

一．填空题：

1．假设检验的基本思想是基于

2.选择原假设最重要的准则是_________含有等号_____________

3.假设检验可能犯的错误是___和___4.假设检验的基本步骤是_____

二.选择题：

1.假设检验中分别用h0和h1表示原假设和备择假设，则犯第一类错误的概率是指（c）。

a.p{接受h0|h0为真}b.p{接受h0|h0不真}

c.p{拒绝h0|h0为真}d.p{拒绝h0|h0不真}

2.一个显著性的假设检验问题，检验的结果是拒绝原假设还是接受原假设,与之有关的选项中,正确的（d）

a.与显著性水平有关b.与检验统计量的分布有关

c.与样本数据有关d.与上述三项全有关

c.这个检验也可能会犯第二类错误d.这个检验两类错误都可能会犯

c.与检验统计量的分布有关d.是h0接受域的补集

三.计算题：

1．已知在正常生产情况下某厂生产的汽车零件的直径服从正态分布

n（54,0.752），在某日生产的零件中随机抽取10件，测得直径（cm）如下：

54.0，55.1，53.8，54.2，52.1，54.2，55.0，55.8，55.1，55.3

如果标准差不变，在显著水平?

0.05情况下,能否认为该日生产零件直径的均值与标准值54cm无显著差异？

解：

由样本观测值计算,得?

54.46，本问题相当于要检验

h0:

54.46,h1:

54.46，

考虑到总体服从正态分布n（54,0.752）,故采用双侧u检验法，

1.9395，取检验统计量的测试值为u由水平?

0.05,查表得u1?

u0.975?

1.96,由于0.975，

故接受h0，即该日生产得零件直径的均值与标准值没有显著差异。

2．从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：

%）如下：

3.253.243.263.273.24

设镍含量服从正态分布，问：

能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为3.25（显著水平?

0.05）。

解:

由样本观测值计算,得?

3.252,sn?

0.013，本问题相当于要检验

h0:

3.25,h1:

3.25

考虑到总体服从正态分布n（?

2）,其中方差?

2未知,故采用双侧t检验法，

0.3440，取检验统计量的测试值为t由水平?

0.05，查表得t1?

2（n?

1）?

t0.975（4）?

2.776，?

t（4），故接受h，由于t0.9750

即可以认为这批矿砂中的镍含量得平均值为3.25。

3．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度7次。

测得温度（?

c）：

112.0，113.4，111.2，112.0，114.5，112.9，113.6

而用某精确办法测得温度为112.6（可看作温度真值），试问热敏电阻测温仪的间接测量有无系统偏差？

（显著水平?

0.05）。

解：

由样本观测值计算，得?

112.8,sn?

1.1358，

本问题相当于要检验h0:

112.6,h1:

112.6，

考虑到方差?

2未知，故采用双侧t检验法。

0.4659，计算检验统计量的值为t由水平?

0.05，查表得t1?

2（n?

1）?

t0.975（6）?

2.4469，?

t（6），故接受h，由于t0.9750

即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差.

4.某工厂生产的铜丝的折断力（n）服从标注差为40的正态分布，某日抽取10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：

2830，2800，2795，2820，2850，2830，2890，2860，2875,2785

在显著性水平?

0.05情况下,能否认为该日生产的铜丝折断力的标准差无显著性改变？

2解：

由样本观测值计算，得?

2833.5,sn?

1228.0556，

本问题相当于要检验h0:

402,h1:

402，

考虑到均值?

未知，故采用双侧?

2检验法，取检验统计量的测试值为?

由水平?

0.05，查表得

222?

（n?

1）?

0.975（9）?

19.023,?

（n?

1）?

0.025（9）?

2.700，1?

22?

22（n?

1）sn?

12?

1228.0556?

6.9078240

由于?

20.0252（9）?

0.975（9），故接受h0，?

2即可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差无显著性改变。

【篇三：

华东理工大学概率论答案-3】

与数理统计

作业簿（第一册）

学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________

第一次作业

一．填空题：

1．设s?

x0?

，a?

，b?

43?

，具体写出下列

11b=x?

或者1?

各事件：

42?

，?

b=s，=b，ab=a。

2．设a、b、c表示三个随机事件，试将下列事件用a、b、c表示出来：

（1）事件abc表示a、b、c都发生；

（2）事件表示a、b、c都不发生；（3）事件abc表示a、b、c不都发生；

（4）事件a?

c表示a、b、c中至少有一件事件发生；

（5a、b、c中最多有一事件发生。

二．选择题：

1．设?

{1,2,3,?

10}，a?

{2,3,5}，b?

{3,4,5,7}，c?

{1,3,4,7}，则事件

bc?

（a）。

a.{1,6,8,9,10}b.{2,5}c.{2,6,8,9,10}d.{1,2,5,6,8,9,10}

2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件a?

“恰有一弹击中飞机”,事件

b=“至少有一弹击中飞机”，事件c=“两弹都击中飞机”,事件d?

“两弹都没击中飞机”，又设随机变量?

为击中飞机的次数，则下列事件中（c）不表示{?

1}。

a.事件ab.事件b?

cc.事件b?

d.事件d?

3．设a、b是两个事件，且a?

，b?

，则?

b表示（d）。

a.必然事件b.不可能事件c.a与b不能同时发生d.a与b中恰有一个发生

4．以a表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件表示（d）。

a.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”

b.“甲、乙两种产品均畅销”c.“甲种产品畅销”

d.“甲种产品滞销，或乙种产品畅销”

三．计算题：

1．写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：

（1）随机试验：

考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）；

设事件a表示：

平均得分在80分以上。

（2）随机试验：

同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事件a表示：

第一颗掷得5点；

设事件b表示：

三颗骰子点数之和不超过8点。

（3）随机试验：

某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数；设事件a表示：

至多只要投50次。

解：

（1）样本空间可以表示为?

{0，1,2,3,?

100}；事件a?

{81,82,?

100}。

（2）样本空间可以表示为?

{3,4,5,?

18}；事件a?

{7,8,?

17}，

{3,4,?

8}。

（3）样本空间可以表示为?

{10,11,12,?

}；事件a?

{10,11,12,?

50}。

2．某电视台招聘播音员，现有三位符合条件的女士和两位符合条件的男士前来应聘：

（2）写出招聘两名播音员的样本空间。

设事件a表示“招聘到两名女士”，把该

事件表示为样本点的集合。

解：

用wi表示招聘了的第i（i?

1,2,3）位女士，用mj表示招聘了第j（j?

1,2）位男士。

w1m1,w1m2,w2m1,w2m2,w3m1,w3m2?

。

（1）?

w1m1,w1m2,w1w2,w1w3,w2m1,w2m2,w2w3,w3m1,w3m2,m1m2?

（2）

w1w2,w1w3,w2w3?

。

3．如果事件a与事件b互为对立事件，证明：

事件a与事件b也互为对立事件。

证:

由于a与b互为对立事件,故ab?

因此就有?

所以

与也互为对立事件.

4．化简事件算式?

ab?

。

解：

ab?

。

5．证明下列等式?

ab?

。

证明：

因为

ab?

aab?

ab?

所以：

ab?

。

6．设a、b为两个事件，若ab?

，问a和b有什么关系？

解：

a和b为对立事件。

第二次作业

一．填空题：

1．10个螺丝钉有3个是坏的，随机抽取4个。

则恰好有两个是坏的概率是，

4个全是好的概率是。

2．把12本书任意地放在书架上，则其中指定的4本书放在一起的概率

。

12!

3．10层楼的一部电梯上同载7个乘客，且电梯可停在10层楼的每一层。

求不

a10189

发生两位及两位以上乘客在同一层离开电梯的概率7?

0.06048。

312510

4．袋中装有编号为1,2,?

n的n个球，每次从中任意摸一球。

若按照有放回

方式摸球，则第k次摸球时，首次摸到1号球的概率为。

若按照无

放回方式摸球，则第k次摸球时，首次摸到1号球的概率为

。

二.选择题：

1.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛,则最强的两个队被分在不同组内的概率为（b）。

11051a.b.c.d.

1919102

2.从一副扑克牌（52张）中任取4张,4张牌的花色各不相同的概率（c）

134113413

a.b.4c.4d.

1352?

51?

50?

49c52c52

三.计算题：

1.将长为a的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。

解

设

三

）

段

（

分

0a?

别为x,y,a?

y,样本空间

（x?

0能构成三角形须满足（图中阴影部分）x?

y2?

a,0?

故这三段能够成三角形的概率为

2.同时掷五颗骰子，求下列事件的概率：

（1）a=“点数各不相同”；

（2）b=“至少出现两个6点”；（3）c=“恰有两个点数相同”；

（4）d=“某两个点数相同，另三个同是另一个点数”；

p65解：

（1）p（a）?

5；

5554

（2）p（b）?

5；

2c5?

325

（3）p（c）?

；5

5462

c5?

525

（4）p（d）?

；64865

3.将10根绳的20个头任意两两相接，求事件a={恰结成10个圈}的概率。

解:

p（a）?

54.从双不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率。

122112c5c2c4c2c2?

c513

解：

。

c1021

20!

19!

5.在区间（0，1）中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于解：

样本空间为?

（x,y）0?

1,0?

，

的概率。

记a?

（x,y）（x,y）?

，

p（a）?

sa3

。

6.在正方形d?

（x,y）?

1,?

中任取一点，求使得关于u的方程

（2）有两个正根的概率。

u2?

xu?

0有

（1）两个实根的概率；

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