单向双筋板结构件的振动疲劳分析.docx
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单向双筋板结构件的振动疲劳分析
1绪论
1.1论文的研究背景
早在十九世纪中叶,随着蒸汽机的发明和铁路建设的发展,人们发现了机车车轮结构可以在远小于其静强度极限载荷时发生交变应力破坏现象,由此提出并发展了有别于结构静强度破坏的结构疲劳破坏问题,随后就把结构在交变载荷或重复应力作用下发生的破坏称为结构疲劳破坏。
由于工业、交通和国防技术的需要,结构疲劳技术及后来发展的断裂力学已在航空、航天、能源、交通、建筑、化工等领域得到深入的发展和广泛应用。
现在,我们又注意到在结构疲劳破坏中包含的一类重要问题,那就是如果交变载荷的频率与结构的某一和某几阶的共振频率一致或相接近时,结构将会发生共振,这时一定的激励将会产生更大的响应,以致更加易于产生破坏;问题涉及到结构共振响应,显然需要利用结构动力学技术加以研究,从而可以揭示一些与结构动态特性有关的规律,下面将这一问题称为振动疲劳或动态疲劳问题。
迄今为止,有关文献中关于振动疲劳的研究较少,有的文献即使提到振动疲劳一词,但并没有为了具体说明开展振动疲劳研究的意义，明确振动疲劳的定义、破坏特点及其与静态疲劳问题的区别,因而国内外一些人士仍然沿用静态疲劳技术处理振动疲劳问题。
上一世纪六十年代,S.H.Crandall首先将振动载荷作用下产生的具有不可逆且累积性的结构损伤或破坏称为振动疲劳,这一定义对传统的疲劳方法,并没有带来显著的改变也没有涉及振动疲劳现象的动力学本质。
为了揭示结构振动疲劳问题的动力学特性,我们根据大量的使用和实验中结构振动破坏现象提出以下的定义。
振动疲劳是结构所受动态交变载荷（如振动、冲击、噪声载荷等）的频率分布与结构固有频率分布具有交集或相接近,从而使结构产生共振所导致的疲劳破坏现象,也可以直接说成是结构受到重复载荷作用激起结构共真所导致的疲劳破坏。
所以,只有结构在共振带宽内或其附近受到激励导致的共振破坏才属于振动疲劳破坏,否则都属于静态疲劳问题。
为了更加直观的理解有关振动疲劳对现实生产生活的影响，这里我们列出了找到的几个典型示例：
1）飞机由于结构疲劳破坏发生而失事。
1979年，一架美国的“DC-10”大型客机在芝加哥奥黑尔国际机场起飞不久就坠毁。
1985年8月，日航的一架5ALl23客机，由于后部压力隔板的开裂而坠毁。
2002年5月，台湾中华航空公司一架波音747客机在台湾海峡上空突然解体，造成225人遇难。
事后的调查结果显示，上述的机毁人亡事故均是由飞机结构的疲劳破坏引起的。
因为飞机动力装置产生的振动，飞机着陆滑行及某些地面机动产生的振动，鸟撞、突风等引起的振动，这些振动都能引起振动疲劳损伤，当损伤累积到一定程度，结构产生振动疲劳破坏。
各种非平稳气动力作用，包括扰流抖振激励，附面层压力脉动，突起及空腔的气动及声激励以及急剧机动动作用产生的动载荷引起结构破坏。
经受扰流抖振操纵面、突出在气流中的外挂、整体油箱等内部存储器等引起结构的振动失效。
2）汽轮机叶片的振动疲劳失效。
3）武器发射、投放、弹射等动作产生的冲击及压力波作用而导致的振动疲劳失效。
其实振动疲劳的危害性人们很早就认识到了，因此也对这个问题进行了一些研究，但是由于振动问题有一定的特殊性，对它的研究远比不上静态疲劳问题研究得成熟，因此还有很多问题值得进一步探索。
结构振动疲劳是振动理论与疲劳技术的一种交叉，也是振动应用技术的一个重要方面，为了对结构的振动疲劳的特性进行更加正确的分析预计和验证试验，有必要对结构振动疲劳的问题展开专门研究。
1.2研究现状综述
疲劳是指机械或结构的材料在振动载荷的作用下，在某点或某些点产生局部的永久性损伤，并在一定振动次数后形成裂纹或断裂的过程。
显然，结构疲劳与振动密切相关。
从人们发现疲劳以来，疲劳研究经历了以不同学科为理论基础的研究阶段，表达了疲劳破坏理论不断发展与完善的过程。
最初的结构疲劳研究是以材料力学为理论基础，后来为满足工程实践对疲劳寿命分析精度不断增长的需求，逐步发展为以弹塑性力学、断裂力学等为理论基础。
虽然工程界与学术界对疲劳破坏问题展开了大量的研究，但在研究结构疲劳时，人们都忽略了动态特性（例如，固有频率、固有振型、结构阻尼等）对其疲劳寿命与疲劳强度的影响。
由于现代工业的发展，机械结构或仪器设备所处的振动环境日趋严重，仍然采用常规的疲劳破坏理论已难以精确地估算结构的疲劳寿命，或者无法解释某些结构疲劳破坏问题。
因此，为满足科学技术发展的需求，在研究结构疲劳时，必须考虑结构的动态特性，把结构动力学思想引入到疲劳分析中来，发展并完善现代疲劳理论。
我国学者姚起杭等在上世纪末开创了结构振动疲劳研究，力图推进振动与疲劳两学科的交叉，使两者具有更大的发展空间和应用价值。
随着现代工业水平的不断提高，很多机器装备正朝着高速、高载荷的方向发展，由此造成工程结构失效的因素也随之增多。
振动载荷作为引起结构失效的一种重要因素，很少有人将其单独来进行研究。
在现今条件下，这样的研究还颇具困难，所从事此方面研究的人还不多。
振动疲劳研究涉及结构动力学、疲劳强度理论以及断裂力学等学科。
下面从试验和理论两个角度总结结构振动疲劳寿命分析的国内外现状。
早期的结构振动疲劳寿命分析是从疲劳试验开始的。
试验研究的内容包括两方面：
一是研究动力学特性对结构疲劳寿命的影响；二是发展新的试验方法，利用试验结论发现新问题和证实新理论。
通过试验方法，Marloff首次提出以固有频率降幅作为疲劳失效的标准，Oldyrev等研究了频率对有机塑料疲劳寿命的影响，Damir等研究了阻尼比、固有频率以及振幅与疲劳损伤之间的关系。
为了克服传统疲劳试验机无法实现周期性对称加载的缺点，Foong等设计了动态加载的疲劳裂纹扩展试验装置，利用该装置对2024铝合金进行了相应的试验。
为缩短试验时间，George等运用基础激励产生高频共振，从而确定材料的疲劳强度，并测试了完全对称单向应力状态下6061-T6和Ti-6Al-4V的Goodman图。
针对共振疲劳问题，Schlums设计了含裂纹梁振动疲劳试验装置，通过闭环锁相技术实现了跟踪结构共振频率的振动疲劳试验方法。
Sun等利用非线性方法跟踪结构固有频率，并运用于MEMS系统的共振疲劳试验。
Shiryayev等提出一种高效的跟踪固有频率的振动疲劳试验控制技术，克服了线性振动模型无法搜索和锁定响应峰值的缺点。
Wolfgang跟踪随质量改变或者轴向力变化的结构固有频率，进行了共振疲劳试验。
姚起杭对铅、钢、铜等材料测试过正弦及随机振动疲劳曲线，并收集了33条典型结构型式及材料工艺的随机振动疲劳S-N曲线。
肖寿庭和杜修德采用基础激振使试件发生共振，利用第一阶固有频率下降5%作为振动疲劳破坏的判据对40多件典型小试件进行振动疲劳试验，通过数据拟合得到LY12CZ铝合金的S-N曲线方程。
高金贺研究了LY12CZ铝合金铆接结构件和TC4钛合金焊接结构件在悬臂约束一阶共振频率下的振动损伤特性。
邵闯和葛森提出一种高频振动疲劳试验装置的设想，利用刚性质量块在基础激励下形成具有固定频率的惯性载荷作用于试件上，完成频率在1000Hz左右的完全对称加载的材料高频振动环境疲劳试验。
韩清华等在地面采用激振器激振的方法模拟平尾的空中振动环境，对某型飞机平尾配重R区进行了振动疲劳试验，再现R区局部裂纹的产生情况和发展规律。
综上所述，振动疲劳试验所采用的激励方法主要包括基础激励、激振器激励、惯性力激励、电磁力激励和偏心轮激励等。
为了满足结构振动疲劳研究的系统深入发展，还要提出新的试验方法，诸如频带激励试验方法。
结构振动疲劳寿命的理论分析研究始于上世纪80年代，代表性学者是Dimarogonas和他的研究生。
例如Dentsoras和Dimarogonas系统研究了共振条件下的结构疲劳裂纹扩展机制，Dentsoras和Kouvaritakis系统分析了激励频率对共振条件下聚合物材料疲劳裂纹扩展寿命的影响，Colakoglu推导了疲劳裂纹萌生寿命与结构阻尼变化的关系。
为分析结构振动疲劳寿命的影响因素，Valanis利用内时理论推导了结构振动疲劳寿命与激励频率之间的关系，Whaley等利用不可逆热力学原理研究了振动疲劳过程中的阻尼变化。
在分析方法方面，Sanliturk提出了一种基于频响函数的振动疲劳寿命估算方法，它不仅考虑了结构弹性对疲劳寿命的影响，而且考虑了结构惯性和阻尼因子对疲劳寿命的影响，而Bishop从频域内进行随机疲劳寿命分析，利用功率谱密度函数表示疲劳载荷实现疲劳损伤计算，基于此Hanna分析了汽车环抱死刹车系统电子控制单元的振动疲劳寿命。
鉴于振动疲劳裂纹扩展耦合效应的复杂性，Shih教授的课题组对此展开了大量的分析研究。
Shih和Chen根据断裂力学的应力强度因子和裂纹转轴之间适当的关系准则，建立了一套适合疲劳寿命及裂纹转轴分析的模型。
Shih和Wu使用广义的Forman方程模拟疲劳裂纹扩展，研究了振动对含单边裂纹矩形板疲劳裂纹扩展的影响。
Wu和Shih研究了面内周期载荷激励下含单边裂纹板的振动不稳定及其非线性响应特性。
姚起杭等从上世纪末开始一直对结构振动疲劳展开科学研究，并取得了一系列科研成果。
周苏枫等、曹明红等和周敏亮等在随机疲劳分析方面做了一系列的研究工作。
结构振动疲劳研究也引起了国内高校很多研究者的兴趣。
金奕山对宽带随机振动结构疲劳寿命预估问题的理论进行了研究。
姚卫星教授的课题组对随机疲劳的寿命分析方法展开了大量的研究。
尚德广教授的课题组基于结构动力学对点焊接头的疲劳损伤与寿命预测进行了一系列的研究。
因为振动疲劳过程涉及结构响应变化，所以动力学特性是影响结构振动疲劳寿命的重要因素。
虽然各种因素对疲劳寿命的影响已有很多报导，但有关振动疲劳寿命影响因素的研究却很少。
诸如由于窄带或宽带随机振动激励结构响应的随机幅值分布、结构响应非线性、结构阻尼变化、多模态结构响应以及热环境等因素对振动疲劳寿命的影响等。
1.3本文的内容和主要工作
本论文致力于振动疲劳分析方法研究，试图在动力学建模、有限元计算以及分析方法三个方面推进该课题的研究。
主要研究内容如下：
1）单向双筋板结构件的动力学建模。
以单向双筋板结构件为分析对象，通过abaqus建立该结构件的动力学有限元模型，并结合文献中的模态实验结果对动力学模型进行修正。
图1—1单向双筋板结构件
2）动力学响应分析。
在单向双筋板结构件动力学模型的基础上，分析在正弦频率的力作用下对结构振动模态的影响规律，同时研究力载荷作用下结构的动力学特性；最后研究的结构振动特性，并探讨结构振动模态及响应特性的影响。
3）单向双筋板结构件的疲劳寿命估算。
利用前面分析得到的结构动应力响应幅值，基于fe-safe疲劳分析软件和S-N曲线，提出一种结构振动疲劳寿命分析方法，并通过仿真方法进行算例验证。
2振动疲劳分析基本理论
近半个世纪以来，不少学者对结构振动疲劳问题展开了一系列的研究，成果纵多，但大量的成果尚分布在散乱的文献中，使得结构振动疲劳研究难以形成体系。
所以，了解结构振动疲劳的定义及其特点有助于结构振动疲劳的深入研究。
2.1振动疲劳的定义
自人类使用各种机械结构件以来，疲劳现象便随之产生，但直到十九世纪中期，人们才开始注意到疲劳的危害，并逐步加以控制。
自1829年Albert发表了第一个有关疲劳的研究报告以来，有很多知名学者对此展开了系统深入的研究，诸如，Wohler、Gerber和Goodman、Ewing和Humfrey、Griffith、Miner、Coffin和Manson以及Irwin等。
随着生产实际对结构疲劳设计分析精度不断增长的需求，疲劳研究从最初以材料力学为理论基础逐步发展为以弹塑性力学、断裂力学等为理论基础。
1958年Crandall将随机振动理论应用于结构疲劳研究中。
1963年Crandall和Mark首次把振动疲劳描述为振动载荷激励下产生的一种不可逆的具有损伤累积性质的振动强度破坏。
上世纪70年代末，姚起杭也提出了振动疲劳的概念。
1993年，肖寿亭和杜修德在第六届全国疲劳学术会议上，建议在我国开展飞机结构振动疲劳的专门研究。
进入21世纪后，姚起杭和姚军再次发表论文建议将结构疲劳分为静态疲劳和振动疲劳两类问题进行研究。
迄今，学术界和工程界对振动疲劳的理解还没有形成共识，但在实践上都十分重视这个问题。
由于振动疲劳涉及结构的动态特性，所以要对其准确地定义十分困难。
虽然有很多学者对振动疲劳的定义进行过描述，但这些定义均未揭示振动疲劳的动力学本质。
尽管现有的很多文献和书籍甚至一些标准与规范中常常出现“振动疲劳”一词，但是都没有很好的解释。
2.2振动疲劳的特点
研究具体的问题之前，明确问题的类型很重要。
按激励类型的不同，振动疲劳分为拉压振动疲劳、扭转振动疲劳和弯曲振动疲劳。
若激励频率与结构共振频率重合或接近使结构产生共振而导致疲劳称为共振疲劳；反之，称为非共振疲劳。
按照激励频率与结构基频的比值大小，振动疲劳分为高频振动疲劳和低频振动疲劳。
1）共振疲劳和非共振疲劳
共振是外力与结构惯性力、弹性力及阻尼力的综合平衡现象，特点是结构中发生了模态惯性力和阻尼力，其中阻尼力是决定共振响应大小的重要因素。
所以共振疲劳取决于起主要贡献作用的应变模态分布特征，阻尼效应十分明显。
共振类型包括整体共振、部件共振和局部共振，共振疲劳更多的是和部件共振或局部共振有关。
一些振动激励常常引起局部模态与激励的振动耦合作用，而破坏的部位通常是局部共振中应变大且有缺陷或应力集中的部位。
共振疲劳广泛存在于受冲击、瞬态或随机振动激励的大型结构中，而非共振疲劳是结构所受振动的激励频率远离结构共振频率，它常存在于单频振动激励或结构自身刚度较大而激振频率较低的情况。
相同振动量级的激励力，共振时的结构动响应幅值远大于非共振时的动响应幅值。
共振疲劳响应幅值主要取决于激振幅值和阻尼大小，于是大量中等量级的激振诱导了共振疲劳失效。
非共振疲劳响应同时受激振幅值与结构质量、刚度和阻尼的控制，对疲劳失效起主要贡献作用的是少量较大量级的激励力。
2）高频振动疲劳和低频振动疲劳
低频振动疲劳主要研究激振频率低于结构基频二分之一的疲劳问题。
它的特点是系统的阻尼及惯性的作用非常小，系统的弹性起主要作用，系统近似一个纯弹性结构。
因此，低频振动疲劳破坏主要受弹性应变控制。
高频振动疲劳的特点是系统阻尼及弹性作用非常小，系统的惯性起了主要作用，系统近似一个纯惯性结构，为质量控制。
高频振动疲劳破坏除受弹性控制外，惯性力对疲劳破坏具有较大的影响。
工程中，还有一些大型结构（例如飞机）可能要工作在宽频激励的振动环境中，飞机结构可能随疲劳扩展始终保持共振态，发生频带激励疲劳。
考虑振动非线性的影响，结构的振动响应也可能具有某些非线性特征，诸如自激振动、参数振动、多频响应、跳跃现象和同步现象等，这些行为容易产生线性振动理论无法解释的疲劳问题
2.3单自由度系统的振动理论
一个系统只在起始时受到外界干扰，使之得到一个初始位移和速度，然后就靠着系统本身的弹性恢复力维持的振动称为自由振动。
这种振动没有外界能量的补充，如跳水运动员在跳板上起跳时，给跳板一个初始位移，然后跳板就靠着本身的弹性恢复力维持自由振动，线性振动（或微幅振动）是指系统受到外界干扰后，系统的各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复运动。
自由度是指在振动过程中任何瞬时都能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立坐标数目。
单自由度系统在做自由振动时，不论受到什么样的初始干扰，均将以一定的频率振动，这种只决定于系统固有物理性质的频率称为固有频率。
单自由度线性系统振动内容有着实际意义，因为工程上有许多问题通过简化后，用单自由度线性系统振动理论就能得到满意结果。
另外，单自由度线性系统振动的基本概念又有着普遍意义，多自由系统和连续体系统振动，在特殊的坐标系（模态坐标）中考察时，显示出与单自由度线性系统振动类似的性态。
1）建立运动方程：
在有阻尼的受迫振动过程中，质量上有四种力作用：
弹性恢复力
、惯性力
、阻尼
、荷载
。
据达朗伯原理，其运动方程为：
（2.1）
即
（2.2）
2）运动方程的解：
由齐次通解
和特解
两部分相加而成，即
（2.3）
（2.4）
（2.5）
（2.6）
（2.7）
2.4疲劳寿命分析方法
2.4.1疲劳定义及分类
疲劳用来表达材料在循环载荷作用下的损伤和破坏。
国际标准化组织（ISO）在1964年发表的报告《金属疲劳试验的一般原理》中对疲劳所做的定义是：
“金属材料在应力或应变的反复作用下所发生的性能变化叫做疲劳”这一描述也普遍适用于非金属材料。
对疲劳可以从不同的角度进行分类。
在常温下工作的结构和机械的疲劳破坏取决于外载的大小。
从微观上看，疲劳裂纹的萌生都与局部微观塑性有关，但从宏观上看，在循环应力水平较低时，弹性应变起主导作用，此时疲劳寿命较长，称为应力疲劳或高周疲劳；在循环加力水平较高时，塑性应变起主导作用，此时疲劳寿命较短，称为应变疲劳或低周疲劳。
不同的外部载荷造成不同的疲劳破坏形式，由此可以将疲劳分为：
机械疲劳仅由外加应力或应变波动造成的疲劳失效；蠕变疲劳-循环载荷同高温联合作用引起的疲劳失效；热机械疲劳-循环载荷和循环温度同时作用引起的疲劳失效；腐蚀疲劳-在存在侵蚀性化学介质或致脆介质的环境中施加循环载荷引起的疲劳失效；滑动接触疲劳和滚动接触疲劳-载荷的反复作用与材料间的滑动和滚动接触相结合分别产生的疲劳失效：
微动疲劳-脉动应力与表面间的来回相对运动和摩擦滑动共同作用产生的疲劳失效。
机器和结构部件的失效大多数是由于发生上述某一种疲劳过程造成的。
2.4.2疲劳寿命
疲劳寿命是指结构或机械直至破坏所作用的循环载荷的次数或时间。
所谓疲劳破坏或疲劳失效的定义或准则是多种多样的。
从疲劳损伤发展过程看，有二阶段疲劳寿命模型、三阶段疲劳寿命模型和多阶段疲劳寿命模型。
二阶段模型将疲劳寿命分为裂纹形成和裂纹扩展（图2-1所示）：
图2-1两阶段疲劳寿命模型
结构或材料从受载开始到裂纹达到某一给定的裂纹长度
为止的循环次数称为裂纹形成寿命，此后裂纹扩展到临界裂纹长度
为止的循环次数称为裂纹扩展寿命；从疲劳寿命预测的角度看，这一给定的裂纹长度与预测所采用的寿命性能曲线有关。
三阶段模型认为疲劳损伤过程由无裂纹、小裂纹和大裂纹三个阶段组成（图2-2所示），
图2-2三阶段疲劳破坏模型
其中：
为小裂纹的上限尺寸，
为小裂纹的下限尺寸，
为工程裂纹尺寸；上述各裂纹尺寸与材料和外载有关。
多阶段模型将小裂纹阶段细分为三个阶段：
微观小裂纹，物理小裂纹和结构小裂纹（图2-3所示），
图2-3多阶段疲劳寿命模型
其中：
为塑性驻留区形成尺寸，
为微观结构小裂纹尺寸，
为物理小裂纹尺寸，
为线弹性断裂力学可应用的最小裂纹长度。
上述模型中各阶段疲劳寿命之和称为疲劳全寿命。
除上述三个模型外，还有不少模型研究了各个阶段的分界点。
2.4.3确定疲劳寿命的方法简介
确定结构和机械疲劳寿命的方法主要有两类：
实验法和实验分析法。
实验分析法也称为科学疲劳寿命分析法。
确定疲劳寿命的实验法完全依赖于实验，是最传统的方法。
他直接通过与实际情况相同或相似的试验来获取所需要的疲劳数据。
这种方法虽然可靠，但是在设计阶段，或结构件太复杂、太昂贵时，以及在实际情况的类别数量太庞大的情况下，无论从人力、物力，还是从工作周期上来说，它都是不大可行的。
由于工程结构、外载荷和环境差异，使得实验结果不具有通用性。
确定疲劳寿命的分析法是依据材料的疲劳性能，对照结构所受到的载荷历程，按分析模型来确定结构的疲劳寿命。
伴随着疲劳研究的发展历史，研究人员不断地探索着能更好地预测结构和机械疲劳寿命的疲劳寿命分析方法。
任何一个疲劳寿命分析方法都包含有三部分的内容：
①材料疲劳行为的描述；②循环载荷下结构的响应；②疲劳累积损伤法则（图2-4所示）。
图2-4疲劳寿命分析
按照计算疲劳损伤参量的不同可以将疲劳寿命分析方法分为：
名义应力法、局部应力应变法、应力应变场强度法、能量法、损伤力学法、功率谱密度法等。
在工程实践中比较实用的是前三种方法。
疲劳寿命分析方法随着计算机技术和有限元分析的发展而得到了广泛的应用。
在产品设计阶段，设计人员借助这一方法可以比较不同方案的疲劳寿命品质的优劣，可以校核产品的疲劳寿命是否满足设计要求，还可以进行抗疲劳设计。
在产品试验前，通过疲劳分析可以确定疲劳危险部位，以确定疲劳试验过程中监控的关键部位。
应根据结构件受循环载荷的应力水平高低和所掌握的材料疲劳性能数据、曲线来适当选择分析方法。
由于实际结构件所承受的循环载荷通常是变幅的，因此在选取了适当的疲劳分析方法后，寿命估算大体需要三个步骤：
（1）由工程方法或数值分析方法计算结构件危险部位的应力应变范围（变幅）；
（2）由应力应变范围根据材料疲劳性能数据、曲线获得对应的疲劳寿命；
（3）利用累积损伤理论，计算整个载荷谱的疲劳损伤，进而获得结构件的安全寿命。
2.4.4材料性能数据
名义应力法计算疲劳寿命所需的材料性能数据是：
对于有限寿命分析，需要各种
下的材料的S-N曲线或等寿命曲线；对于无限寿命设计，需要各种
下材料的疲劳极限图。
图2-5材料的裂纹随时间变化图
尽管目前已积累了大量的S-N曲线，但是实际结构和载荷是复杂的，新材料在不断产生并在工程实践中得到应用，因此现有的S-N曲线是远远不够的。
根据名义应力和应力集中系数
查S-N曲线通常都要进行多次插值计算。
首要插值得到当前
下的S-N曲线族，然后插值得到当前平均应力
或应力比
下的S-N曲线族，最后插值求得当前
或
下的疲劳寿命。
在工程实践中，由于某些试验数据点因样本小而偏离正常值，使得插值结果不稳定，甚至不可用。
为保证插值计算的稳定性，可采用下面方法进行多项式插值计算。
图2-6不同
下的S-N曲线
根据S-N曲线的形状，采用多项式插值其次数不宜高于2次。
为使插值结果比较稳定，先选取插值点
附近n个实验数据点拟合多项式，求出多项式的系数，然后求出插值点
处的值。
一般
，插值多项式为
（2.8）
图2-7不同
下的S-N曲线
对于n个实验数据点（
，
），按式（2.8）有：
（2.9）
或记作：
（2.10）
式中
采用最小二乘法计算系数A：
（2.11）
将插值点
和系数A带入式（2.9），就可得到所要的插值结果。
因为S-N曲线在半对数坐标系上较好地符合二次曲线，所以当
代表疲劳寿命时，要先对实验数据求对数，然后再插值。
2.4.5疲劳抗力曲线（S-N曲线）
结构抵抗疲劳破坏性能的好坏是用疲劳强度来衡量的，疲劳强度就是构件在交变荷载作用下的强度。
造成疲劳破坏的重复变化荷载就叫做疲劳荷载。
疲劳荷载与静力荷载是不同的，静力荷载是荷载的一次作用并且是逐渐加上去的，荷载的大小和方向是不变的，而疲劳荷载是多次重复作用，荷载的大小和方向是变化的。
由疲劳荷载引起的相应循环应力称为疲劳应力。
结构在疲劳应力的作用下，产生疲劳裂纹，直至疲劳失效所承受的循环应力次数N，叫做结构的疲劳寿命。
表示应力幅或最大应力与疲劳寿命之间关系的曲线称为疲劳曲线或S-N曲线。
在旋转弯曲疲劳试验中，对每个试件施加不同的荷载P，测得每个试件达到破坏的疲劳寿命N，以最大应力（或应力幅）为纵坐标，以疲劳寿命N为横坐标，按试验结果能绘出一条在某一平均应力（或应力比）下的б-N曲线。
同理，用拉压疲劳试验，可得到某一平均应力（或应力比）下的拉压б-N曲线。
用扭转疲劳试验，可得到扭转t-N曲线。
这些曲线，统称S-N曲线，即疲劳强度与寿命的曲线。
S-N曲线在直角坐标上是一条双曲类型的曲线，其表达式为：
（2.12）
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