数学分析选讲答案刘三阳.docx
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数学分析选讲答案刘三阳
数学分析选讲答案刘三阳
【篇一：
0910012137李凤英-文献综述】
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年级专业：
姓名：
学号：
应用数学学院09信息与计算科学李凤英0910012137
实数连续性定理的等价性证明文献综述【内容摘要】实数集是一个完备的数集，实数连续性定理包括：
确界定理、单调有界收敛定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西准则。
这七个定理可由确界存在性定理出发依次证明，用致密性定理证明柯西准则的充分性，再由柯西准则充分证明确界存在性定理，形成一个封闭的循环。
同时，对这个环上的任意两个定理都可以证明其等价性，它们都刻画了实数集r的连续性。
本文建立在微积分的基础上，探讨了数学分析中的这个重点、难点，对实数连续性定理的等价性证明进行了深入的学习。
【关键字】确界定理单调有界收敛定理区间套定理有限覆盖定理聚点定理致密性定理柯西准则实数连续性
第一章导言
数学分析的基础是实数理论。
实数系最重要的特征是实数的连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。
正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程的必备的基础。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了《数学分析》在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。
《数学分析》在实数完备性理论体系上的严格化和精确化，确立了它在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。
同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化、逻辑推理、最优分析、符号运算等。
这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
综合所参考的文献，也让我们对实数连续性定理的等价性有了更深入的了解。
第二章研究现状
十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了
科学技术的前进。
然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。
一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。
至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。
使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。
他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。
1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。
而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界（即上确界）的定义。
利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。
海涅于1872年提出“有限覆盖定理”，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。
1872年，实数的三大派理论：
戴德金“分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现，1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套原理。
由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
1999年,在《数学分析七大定理的互相证明》一文中，作者李寒对实数连续性的7个基本定理进行了表述，其表述如下：
确界定理：
在实数系r内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
单调有界定理：
若数列?
an?
单调递增（递减）有上界（下界）,则数列?
an?
收敛，即单调有界函数必有极限。
区间套定理：
若?
?
an,bn?
?
是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点?
使得?
?
[1]?
an,bn?
n?
1,2,?
即an?
?
?
bn,n?
1,2,.
有限覆盖定理：
实数闭区间?
a,b?
的任意一个覆盖h，必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：
有界数列必含有收敛子数列。
聚点定理：
实轴上的任一有界无限点集s至少有一个聚点。
柯西收敛准则：
实数列?
an?
有极限的充分必要条件是：
对任意给定的?
?
0，存在正整数n，当n,m?
n时，有an?
am?
?
成立。
[2]2000年，在《关于实数连续性的注记》一文中，作者姜本源、石艳霞提出，数直线
和坐标平面的连续性奠定了极限理论乃至整个微积分学的基础。
人们发现了很多命题去描述这种连续性，而这些命题则是我们所要讨论的实数连续性的七个基本定理。
这七个基本定理虽然数学形式不同，但是彼此之间都是等价的。
在很多数学分析教材中，由于教学课时的需要和限制，一般都没有对命题的等价性做出完整的证明，而此文则对运用循环证明的方法对几个基本定理的等价性做出了证明，以供初学者参考。
2002年，在《puresolutionmathematicalanalysisexercises》一文中，也同样对实数连续性六个基本定理有详细的定义及描述。
而后，作者用确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、紧致性定理、柯西收敛定理依次证明除了其本身以外的其他五个实数连续性基本定理。
在2003年朱永生、林立军《基于实数连续性定理等价性的新探讨》一文中提到：
所谓实数是连续的，从集合直观上看，即是直线上的点是连着的，其中没有“洞”。
而有理数就不是连续的，比方平方小于3的有理数的集合，在有理数集中没有上确界，即有理数
r中，平方小于3的实数的集合，在实数域r
r没有“洞”，实数是连续的。
综上所述，严格的数学定义可描述为：
所谓实数的连续性，就是实数集关于极限的运算是封闭的。
如上例实质
就是：
在有理数集内不存在极限，而在实数集r
x?
3[3][4]
列{（1+）n}在有理数集内不存在极限，而在实数集r中则存在极限e，即实数集关于极限的运算封闭。
实数的连续性是极限理论的基础，而描述实数连续性的方式有很多，实数连续性定理即为其中的几种表现形式，同时又是构筑极限理论的重要基础。
文章采用一种新的方式，对实数连续性七个定理的等价性加以严格的证明，真正从理论上挖掘其等价性的内涵，也另辟新径对实数连续性进行了新的探讨。
2007年，刘三阳、于力、李广民在《数学分析选讲》一书第二讲中，首先简单地为我们介绍了实数系的一些基本性质，然后用不同的方式从各个角度刻画了实数系非常重要的特性——连续性，并详尽地为我们证明实数连续性六个基本定理是相互等价的。
在很多数学分析教材中虽然对实数连续性做了基本的介绍，但是并不够完善。
而在本书中则更完
[5]
善地介绍了实数连续性的七个基本定理。
2009年，刘名生、冯伟贞、韩彦昌在《数学分析
（一）》一文中，首先在第一章为详细介绍了确界定理和数列收敛的判别法，从而让我们深入地了解实数与数列极限，在第六章中又详细介绍了实数集的稠密性与完备性。
此书在第一章中引人确界定理作为公理，并以此为基础证明了单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，从而详细地为我们介绍了实数集的连续性。
实数集的连续性使极限理论有了牢固的基础，是实数集有别于有理数集的重要特征。
2009年，彭培让在《致密性定理证明其他实数连续性基本定理》一文中，作者使用“一证多”的方式，用致密性定理同一证明了其他实数连续性的基本定理。
黄永辉在《数学分析选讲》[10][9][8][7][6]一书中，同样也对实数连续性做出了介绍，而与其他介绍数学分析的书不同的是，《数学分析选讲》中实数连续性部分的内容不仅仅体现在定理的等价性证明上，作者更为我们总结了几个定理证题的基本方法，方法如下：
1．用闭区间套定理证题
当需要找一个具有某种性质p的特殊数l的时候，可以考虑使用闭区间套定理将它“套”出来。
2．用有限覆盖定理证题
根据所证的问题，构造一个有某种性质p的开区间集s，对s使用有限覆盖定理，将局部性质p延拓到全区间上。
3．用确定定理、子列定理证题
在需要论证一个数的存在，或者需要寻找具有某种性质p的数的时候，可以考虑使用确界定理。
要讨论一个有某种性质p的点的存在性，可以考虑子列定理，用子列定理证明
【篇二：
关于曲面积分对称性的研究】
份：
姓名：
学号：
指导教师：
职称：
数学与应用数学数学与信息科学系
关
摘要：
在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念，研究了在积分曲面是对称的情况下，曲面积分的若干性质。
利用这些性质，可以简化曲面积分的计算，给出相应的计算公式，并利用对称性计算曲面积分，这种积分方法使曲面积分更为简捷。
关键词：
曲面积分；对称性；奇函数；偶函数
1预备知识
大学课本上，我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分，并且学习了他们的一些性质，但是这些性质在一些问题中应用麻烦，比如一些关于曲面积分计算的问题，我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。
在这里，我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理，为我们在以后的计算提供了方便
以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续，积分曲面是分片光滑的
[2]
。
定义1[5]：
设函数f（x,y,z）?
f（?
x,y,z），则称f（x,y,z）关于x为偶函数；若定义f（x,y,z）?
?
f（?
x,y,z），则称f（x,y,z）关于x为奇函数；类似可以定义函数f（x,y,z）关于y,z变量的奇函数，偶函数。
定义2[7]：
设空间曲面?
1:
z?
z1（x,y）与?
2:
z?
z2（x,y），若?
1与?
2在xoy面具有相同的投影区域d，且?
（x,y）?
d有z1（x,y）?
?
z2（x,y），?
1与?
2异侧，则称曲面?
1与?
2关于xoy面对称。
类似可以定义曲面?
1与?
2关于yoz面对称；曲面?
1与?
2关于zox面对称。
命题1[4][6]：
若曲面?
1与?
2关于xoy面对称，则：
?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（x,y,?
z）ds
（1）
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
?
f（x,y,?
z）dxdy
（2）
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,y,?
z）dydz（3）
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
f（x,y,?
z）dzdx（4）
?
1
?
2
证明：
因曲面?
1与?
2关于xoy面对称，所以?
1与?
2在xoy面具有相同的投影区域d，
设?
1:
z?
z1（x,y）与?
2:
z?
z2（x,y），则z1（x,y）=?
z2（x,y）；所以
?
z1?
x?
?
?
z2?
x?
z1?
y?
?
?
z2?
y
先证明（1
）式?
?
f（x,y,?
z）ds?
?
?
f（x,y,?
z2（x,y?
2
d
=?
?
f（x,y,z1（x,y））?
（
?
z1?
x）2?
（?
z
1?
y
）2dxdyd
=?
?
f（x,y,z）ds
?
1
在证明
（2）式：
因为?
1与?
2异侧，不妨令?
1取上侧，?
2取下侧，?
?
f（x,y,z）dxd=y?
?
f（x,y,z1
（x,y））dxdy
?
1
d
?
?
f（x,y,?
z）dxdy?
?
?
?
f（x,y,?
z2
（x,y））dxdy?
?
?
?
?
f（x,y,z1
（x,y））dxdy
2
d
d
所以?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
?
f（x,y,?
z）dxdy
?
1
?
2
下面证明（3）式：
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
?
?
f（x,y,z）（?
?
z11
?
1
?
x）dxdy?
?
?
?
f（x,y,z）（?
z
1）dxdy?
1
?
x?
?
f（x,y,?
z）dydz?
?
?
z2）dxdy?
?
z
?
?
?
f（x,y,?
z）（?
2
?
2
?
x?
?
?
f（x,y,?
z）
（1）dxdy?
2
?
x根据
（2）式?
?
f（x,y,z）（?
?
z1?
1
?
x）dxdy?
?
?
?
f（x,y,?
z）（?
z
1?
2
?
x）dxdy故?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,y,?
z）dydz
?
1
?
2
同理可证明（4）式。
仿照命题1，可得下列命题。
则
命题2：
若曲面?
1与?
2关于yoz面对称，则：
?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（?
x,y,z）ds?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
f（?
x,y,z）dxdy
?
1
?
2
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
?
f（?
x,y,z）dydz?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
f（?
x,y,z）dzdx
?
1
?
2
?
1
?
2
命题3：
若曲面?
1与?
2关于zox面对称，则：
?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（x,?
y,z）ds?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
f（x,?
y,z）dxdy
?
1
?
2
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,?
y,z）dydz?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
?
f（x,?
y,z）dzdx
?
1
?
2
?
1
?
2
以上命题的证明可仿命题1。
2重要结论
考虑到函数f（x,y,z）的奇偶性，可得下列结论：
推论1：
设空间曲面?
?
?
1?
?
2，若函数f（x,y,z）?
1与?
2关于xoy面对称，关于z为奇函数，则
?
?
f（x,y,z）ds=0；?
?
f（x,y,z）dxdy?
0
?
?
?
?
f（x,y,z）dydz?
2?
?
f（x,y,z）dydz；?
?
f（x,y,z）dzdx?
2?
?
f（x,y,z）dzdx；
?
?
1
?
?
1
证明：
先证明函数f（x,y,z）关于z为奇函数的情形，此时有：
f（x,y,z）=?
f（x,y,?
z），
?
?
1?
2
=?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
[?
f（x,y,z）]ds
?
1
?
2
=?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（x,y,?
z）ds?
0
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
f（x,y,z）dxdy
?
?
1
?
2
=?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
[?
f（x,y,z）]dxdy
?
1
?
2
=2?
?
f（x,y,z）dxdy
?
1
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,y,z）dydz
?
?
1
?
2
=?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
[?
f（x,y,?
z）]dydz?
0
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
f（x,y,z）dzdx
?
?
1
?
2
=?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
[?
f（x,y,?
z）]dzdx?
0
?
1
?
2
接下来证明函数关于f（x,y,z）关于z为偶函数的情形，此时有：
f（x,y,z）=f（x,y,?
z），
?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（x,y,z）ds
?
?
1
?
2
=?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（x,y,z）ds?
?
?
f（x,y,z）ds
?
?
2
?
1
=
?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
f（x,y,z）dxdy
?
?
1
?
2
?
1
?
2
=?
?
f（x,y,z）dxdy?
?
?
f（x,y,?
z）dxdy?
0
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,y,z）dydz
?
?
1
?
2
?
?
f（x,y,z）dydz?
?
?
f（x,y,?
z）dydz=2?
?
f（x,y,z）dydz
?
1
?
2
?
1
?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
f（x,y,z）dzdx
?
?
1
?
2
=
?
?
f（x,y,z）dzdx?
?
?
f（x,y,?
z）dzdx?
2?
?
f（x,y,z）dzdx
?
1
?
2
?
3
同理可得下面推论2，推论3.
推论2：
设空间曲面?
?
?
1?
?
2，?
1与?
2关于yoz面对称，若函数f（x,y,z）关于x为奇函数，则
?
?
f（x,y,z）ds=0；?
?
f（x,y,z）dxdy?
0；
?
?
?
?
f（x,y,z）dydz?
2?
?
f（x,y,z）dydz；?
?
f（x,y,z）dzdx?
0；
?
?
1
?
若函数f（x,y,z）关于x为偶函数，则
?
?
f（x,y,z）ds?
2?
?
f（x,y,z）ds;?
?
f（x,y,z）dxdy?
2?
?
f（x,y,z）dxdy
?
?
1
?
?
1
?
?
f（x,y,z）dxdy?
0；?
?
f（x,y,z）dzdx?
2?
?
f（x,y,z）dzdx；
?
?
?
1
推论3：
设空间曲面?
?
?
1?
?
2，?
1与?
2关于zox面对称，若函数f（x,y,z）关于y为奇函数，则?
?
f（x,y,z）ds?
0；?
?
f（x,y,z）dxdy?
0
?
?
?
?
f（x,y,z）dydz?
0?
?
f（x,y,z）dzdx?
2?
?
f（x,y,z）dzdx
?
?
?
1
【篇三：
西安电子科技大学研究生入学考试科目主要参考书】
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