全国高考理科数学试题及答案全国.docx

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全国高考理科数学试题及答案全国

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1．复数

，

为

的共轭复数，则

A．

B．

C．

D．

2．函数

的反函数为

A．

B．

C．

D．

3．下面四个条件中，使

成立的充分而不必要的条件是

A．

B．

C．

D．

4．设

为等差数列

的前

项和，若

，公差

，

，则

A．8B．7C．6D．5

5．设函数

，将

的图像向右平移

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则

的最小值等于

A．

B．

C．

D．

6．已知直二面角α−ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于

A．

B．

C．

D．1

7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

A．4种B．10种C．18种D．20种

8．曲线y=

+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

A．

B．

C．

D．1

9．设

是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，

=

，则

=

A．-

B．

C．

D．

10．已知抛物线C：

的焦点为F，直线

与C交于A，B两点．则

=

A．

B．

C．

D．

11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成

二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4

，则圆N的面积为

A．7

B．9

C．11

D．13

12．设向量a，b，c满足

=

=1，

=

，

=

，则

的最大值等于

A．2B．

C．

D．1

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：

在试卷上作答无效）

13．（1-

）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:

．

y2

14．已知a∈（

，

），sinα=

，则tan2α=

15．已知F1、F2分别为双曲线C:

-

=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2|=．

16．己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分l0分）（注意：

在试题卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=

b，求C．

18．（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

求X的期望。

19．（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥

中，

，侧面

为等边三角形，

．

（Ⅰ）证明：

;

（Ⅱ）求

与平面

所成角的大小．

20．（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

设数列

满足

且

（Ⅰ）求

的通项公式；

（Ⅱ）设

21．（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

已知O为坐标原点，F为椭圆

在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为

的直线

与C交于A、B两点，点P满足

（Ⅰ）证明：

点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：

A、P、B、Q四点在同一圆上．

22．（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

（Ⅰ）设函数

，证明：

当

时，

；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为

．证明：

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数，选择题不给中间分。

一、选择题

1—6BBADCC7—12BAADDA

二、填空题

13．014．

15．616．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．解：

由

及正弦定理可得

…………3分

又由于

故

…………7分

因为

，

所以

18．解：

记A表示事件：

该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件：

该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：

该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：

该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

（I）

…………3分

…………6分

（II）

，即X服从二项分布，…………10分

所以期望

…………12分

19．解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

连结SE，则

又SD=1，故

，

所以

为直角。

…………3分

由

，

得

平面SDE，所以

。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以

平面SAB。

…………6分

（II）由

平面SDE知，

平面

平面SED。

作

垂足为F，则SF

平面ABCD，

作

，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则

，

又

，

故

平面SFG，平面SBC

平面SFG。

…………9分

作

，H为垂足，则

平面SBC。

，即F到平面SBC的距离为

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有

设AB与平面SBC所成的角为α，

则

…………12分

解法二：

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设

（I）

，

，

由

得

故x=1。

由

又由

即

…………3分

于是

，

故

所以

平面SAB。

…………6分

（II）设平面SBC的法向量

，

则

又

故

…………9分

取p=2得

。

故AB与平面SBC所成的角为

20．解：

（I）由题设

即

是公差为1的等差数列。

又

所以

（II）由（I）得

，…………8分

…………12分

21．解：

（I）F（0，1），

的方程为

，

代入

并化简得

…………2分

设

则

由题意得

所以点P的坐标为

经验证，点P的坐标为

满足方程

故点P在椭圆C上。

…………6分

（II）由

和题设知，

PQ的垂直平分线

的方程为

①

设AB的中点为M，则

，AB的垂直平分线为

的方程为

②

由①、②得

的交点为

。

…………9分

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上…………12分

22．解：

（I）

，…………2分

当

，

所以

为增函数，又

，

因此当

…………5分

（II）

又

，

所以

…………9分

由（I）知：

当

因此

在上式中，令

所以