中考数学方案设计型试题专题解析.docx
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中考数学方案设计型试题专题解析
2008年中考数学方案设计型试题专题解析
（新昌实验中学张启明）
【方案设计型试题的特点】
方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，运用数学知识设计恰当的解决方案，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式。
方案设计型试题是近几年中考的热点问题之一，它贴近生活，具有较强的操作性和实践性，解决此类问题时，要注意先思考，后动手，防止盲目尝试，问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况。
方案设计型问题能培养学生的自信心、科学精神、创造意识和实践能力，可以改变以往单纯的依赖模仿与记忆的学习方式，有利于形成“动手实践、自主探索与合作交流”的新的学习方法。
【方案设计型试题解题策略】
方案设计型试题不仅要求学生有扎实的数学基础知识，而且能够把实际问题转化、抽象成具体的数学问题；它综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．
具体解法可灵活选择建立方程模型，不等式模型，函数模型，几何模型，统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策。
【方案设计型试题归类探究】
一、利用不等式进行方案设计
不等式（组）方案设计应用题，涉及知识面广，综合性强，所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能性；涉及我们日常生活的广告宣传，经济决策，文化娱乐，商品买卖，物贸分配等多个方面，解题关键是建立不等式模型，同时注意运用方程，代数等方面的知识.
1、（2008·青岛）2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：
A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票不超过5000元的情况下，购买A、B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：
（1）共有几种符合题意的购票方案？
写出解答过程；
（2）根据计算判断：
哪种购票方案更省钱？
解：
设A种票x张，则B种票（15-x）张.根据题意得：
解得5≤x≤
∴满足条件的x为5或6.
∴共有两种购买方案：
方案一：
A种票5张，B种票10张，
方案二：
A种票6张，B种票9张。
（2）方案一购票费用：
600×5+120×10=4200（元）
方案二购票费用：
600×6+120×9=4680（元），
∵4200<4680，∴方案一更省钱.
2．（2008·怀化）5·12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．
（1）设租用甲种汽车
辆，请你设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．
解：
（1）因为租用甲种汽车为
辆，则租用乙种汽车
辆．
由题意，得
解之，得
即共有两种租车方案：
第一种是租用甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；
第二种是全部租用甲种汽车8辆
（2）第一种租车方案的费用为
第二种租车方案的费用为
所以第一种租车方案最省钱
3、（2008·扬州）某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：
可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。
学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住.
（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；
（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。
如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？
有哪几种方案？
（解略）
二、利用函数进行方案设计
此类问题的一般步骤：
（1）根据题意建立一次函数关系式；
（2）根据实际意义建立不等式组，求不等式组的正整数解；（3）根据求到的解，利用一次函数的性质求最大最小值。
1、（2008·连云港）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．
（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的
两地，由于两市通住
两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：
地
地
每千顶帐篷
所需车辆数
甲市
4
7
乙市
3
5
所急需帐篷数（单位：
千顶）
9
5
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数．
解：
（1）设总厂原来每周制作帐篷
千顶，分厂原来每周制作帐篷
千顶．
由题意，得
解得
所以
（千顶），
（千顶）．
答：
在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶．
（2）设从（甲市）总厂调配
千顶帐篷到灾区的
地，则总厂调配到灾区
地的帐篷为
千顶，（乙市）分厂调配到灾区
两地的帐篷分别为
千顶．
甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为
辆．
由题意，得
．
即
．
因为
，所以
随
的增大而减小．
所以，当
时，
有最小值60．
答：
从总厂运送到灾区
地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区
两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆。
2、（2008·双柏）我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运，A、B、C、三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和.
（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x的函数关系并写出自变量取值范围.
水果品种
A
B
C
每辆汽车运装量（吨）
2.2
2.1
2
每吨水果获利（百元）
6
8
5
（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案.
解：
（1）由题得到：
2.2x+2.1y+2（30-x-y）=64.
所以，y=-2x+40.
又x≥4，y≥4,30-x-y≥4,得到14≤x≤18.
（2）Q=6x+8y+5（30-x-y）=x+3y+150=-5x+270.
Q随着x的减小而增大，又14≤x≤18，所以当x=14时，Q取得最大值。
即Q=-5x+270=200（百元）=2万元
因此，当x=14,y=-2x+40=12，30-x-y=4.
所以，应这样安排：
A种水果用14辆车，B种水果用12辆车，C种水果用4辆车。
3、（2008·徐州）为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自2007年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图像（其中a,b,c为常数）
行驶路程
收费标准
调价前
调价后
不超过3km的部分
起步价6元
起步价a元
超过3km不超出6km的部分
每公里2.1元
每公里b元
超出6km的部分
每公里c元
设行驶路程xkm时，调价前的运价y1（元），调价后的运价为y2（元）如图，折线ABCD表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当0≤x≤3时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
①填空：
a=______,b=______,c=_______.
②写出当x＞3时，y1与x的关系，并在上图中画出该函数的图象.
③函数y1与y2的图象是否存在交点？
若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由.
解：
（1）a=7, b=1.4, c=2.1
（2）
（3）有交点为
其意义为当
时是方案调价前合算，当
时方案调价后合算.
三、利用几何作图进行方案设计
利用几何作图进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练的运用几何的有关性质，并注意充分发挥分类讨论，类比归纳，猜想验证等数学思想方法进行解题.
1、（2008·莆田）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是
ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出人口，要求分别在
ABCD的四条边上，请你设计两种方案：
方案
（1）：
如图
（1）所示，两个出入口E、F已确定，请在图
（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案
（2）：
如图
（2）所示，一个出入口M已确定，请在图
（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．
解：
方案
（1）
画法1：
画法2：
画法3：
（1）过F作FH∥AD交
（1）过F作FH∥AB交
（1）在AD上取一点
AD于点HAD于点HH，使DH＝CF
（2）在DC上任取一点G
（2）过E作EG∥AD交
（2）在CD上任取
连接EF、FG、GH、DC于点G一点G
HE，则四边形EFGH连接EF、FG、GH、连接EF、FG、GH、
就是所要画的四边形；HE，则四边形EFGHHE，则四边形EFGH
就是所要画的四边形就是所要画的四边形
方案
（2）画法：
（1）过M点作MP∥AB交AD于点P，
（2）在AB上取一点Q，连接PQ，
（3）过M作MN∥PQ交DC于点N，
连接QM、PN、MN
则四边形QMNP就是所要画的四边
（本题答案不唯一，符合要求即可）
2、（2008·江苏无锡）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：
在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：
请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
解：
（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为
，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得
．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设
，则
，
．
由
，得
，
，
，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．
或：
将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得
，
是
的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则
，
，
，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求．
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的
去覆盖边长为30的正方形
，设
经过
，
与
交于
，连
，则
，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形
．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．
四、利用正方形网格进行图案设计
几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时根据面积相等设计，有时根据图形变换设计，做此类题目，借助网格上的格点，比较容易设计。
1、（2008·湖北荆州）正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）
解：
如图所示。
2、（2008·福建宁德）在边长为1的正方形网格中，有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P．
（1）将图案①进行平移，使A点平移到点E，画出平移后的图案；
（2）以点M为位似中心，在网格中将图案①放大2倍，画出放大后的图案，并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD；
（3）在
（2）所画的图案中，线段CD被⊙P所截得的弦长为______．（结果保留根号）
解：
（1）平移不难画，AB=5，相应的可以将B点平移后的点画出，再找帆船上另一个顶点G，画出对应点就可以了，如图所示；
（2）放大后的图案，如图所示；
（3）线段CD被⊙P所截得的弦长为
.
五、测量方面的方案设计题
设计测量方案题渗透到几何各章节之中，例如：
测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，可利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决.此类题目解法不唯一，是典型的开放型试题．
1、（2007·湖北潜江）经过江汉平原的沪蓉（上海—成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得
.
（1）求所测之处江的宽度（
）；
（2）除
（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.
解：
（1）在
中，
，
∴
（米）
答：
所测之处江的宽度约为248米
（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识
来解决问题的，只要正确即可得分.
六、统计知识中的方案设计题
1、（2007·江西）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：
方案1所有评委所给分的平均数．
方案2在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．
方案3所有评委所给分的中位数．
方案4所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据
（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．
解：
（1）方案1最后得分：
；
方案2最后得分：
；
方案3最后得分：
；
方案4最后得分：
或
．
（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，
所以方案1不适合作为最后得分的方案．
因为方案4中的众数有两个，众数失去实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案.
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