高考数学文真题分类汇编G单元 立体几何.docx

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高考数学文真题分类汇编G单元立体几何

数学

G单元立体几何

G1空间几何体的结构

19．、、[2014·安徽卷]如图15所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

图15

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

19．解：

（1）证明：

因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

（2）连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.

又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝

DB＝

OB，即K是OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝

PO，

所以G是PB的中点，且GH＝

BC＝4.

由已知可得OB＝4

，PO＝

＝

＝6，

所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝

·GK＝

×3＝18.

3．[2014·福建卷]以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（　　）

A．2πB．πC．2D．1

3．A　

10．[2014·湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈

L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈

L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）

A.

B.

C.

D.

10．B　

7．[2014·新课标全国卷Ⅱ]正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为

，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（　　）

A．3B.

C．1D.

7．C　

20．、[2014·重庆卷]如图14所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝

，M为BC上一点，

且BM＝

.

（1）证明：

BC⊥平面POM；

（2）若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．

图14

20．解：

（1）证明：

如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AO⊥OB.因为∠BAD＝

，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin

＝1.

又因为BM＝

，且∠OBM＝

，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋

－2×1×

×cos

＝

，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.

又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.

（2）由

（1）可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos

＝

.

设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.

又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋

.连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋

－2×2×

×cos

＝

.

由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则

PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋

＝

，

解得a＝

或a＝－

（舍去），即PO＝

.

此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB

＝

·AO·OB＋

·BM·OM

＝

×

×1＋

×

×

＝

.

所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMO＝

·S四边形ABMO·PO＝

×

×

＝

.

G2空间几何体的三视图和直观图

8．[2014·安徽卷]一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是（　　）

图12

A.

B.

C．6D．7

8．A　

11．[2014·北京卷]某三棱锥的三视图如图13所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

图13

11．2

7．[2014·湖北卷]在如图11所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）

图12

A．①和②B．③和①

C．④和③D．④和②

7．D　

8．、[2014·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　）

图12

A．1B．2C．3D．4

8．B　

7．、[2014·辽宁卷]某几何体三视图如图12所示，则该几何体的体积为（　　）

图12

A．8－

B．8－

C．8－πD．8－2π

7．C　

3．[2014·浙江卷]某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）

图11

A．72cm3B．90cm3

C．108cm3D．138cm3

3．B　

6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图11，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（　　）

图11

A.

B.

C.

D.

6．C　

8．[2014·全国新课标卷Ⅰ]如图11，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥B．三棱柱

C．四棱锥D．四棱柱

8．B　

17．、[2014·陕西卷]四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

图14

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）证明：

四边形EFGH是矩形．

17．解：

（1）由该四面体的三视图可知，

BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，

∴AD⊥平面BDC，

∴四面体ABCD的体积V＝

×

×2×2×1＝

.

（2）证明：

∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，

∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.

同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，

∴四边形EFGH是矩形．

4．[2014·四川卷]某三棱锥的侧视图、俯视图如图11所示，则该三棱锥的体积是（锥体体积公式：

V＝

Sh，其中S为底面面积，h为高）（　　）

图11

A．3B．2C.

D．1

4．D　

7．[2014·重庆卷]某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为（　　）

图12

A．12B．18C．24D．30

7．C　

10．[2014·天津卷]一个几何体的三视图如图12所示（单位：

m），则该几何体的体积为________m3.

10.

G3平面的基本性质、空间两条直线

19．、、[2014·安徽卷]如图15所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

图15

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

19．解：

（1）证明：

因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

（2）连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.

又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝

DB＝

OB，即K是OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝

PO，

所以G是PB的中点，且GH＝

BC＝4.

由已知可得OB＝4

，PO＝

＝

＝6，

所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝

·GK＝

×3＝18.

18．、[2014·湖南卷]如图13所示，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.

图13

（1）证明：

AB⊥平面ODE；

（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

18．解：

（1）证明：

如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.

连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.

（2）因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．

由

（1）知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角，从而∠DEO＝60°.

不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝

.

在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝

.

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝

＝

＝

.

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为

.

4．[2014·辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

4．B　

G4空间中的平行关系

6．、[2014·浙江卷]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（　　）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

6．C　

19．、、[2014·安徽卷]如图15所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

图15

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

19．解：

（1）证明：

因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

（2）连