第一讲++数学思想方法学习过程与教学原则.docx

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第一讲++数学思想方法学习过程与教学原则

第一讲++数学思想方法学习过程与教学原则

第一讲数学思想方法的学习过程与教学原则我们把数学思想方法描述为：

是人们对数学内容本质的认识，是对数学知识的抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。

数学方法是处理、探索、解决问题的技巧、手段和工具，它的特点是比较具体简单。

数学思想是数学中处理问题的基本观点，是对数学内容的本质概括，是解决数学问题的指导方针，它的特点是较为抽象，属于较高层次的地位。

数学思想和数学方法是很难区分的，因此，人们常常不加区分，而统称为数学思想方法。

一、数学思想方法的内容、特点和作用数学科学正如希尔伯特所说：

她是描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量。

数学思想方法反映了数学的本质和发展，反映了数学的发明、发现与创造，是数学科学的核心。

（一）数学思想方法的基本内容数学可以说是由三部分内容组成的：

基本知识、基本技能、基本思想方法，简称三基。

数学思想方法是数学的重要组成部分。

数学思想方法可分成三类：

1、思想观点类，例如公理化的思想，转化思想，极限思想，结构思想等等。

2、思维方法类，例如分析与综合，抽象与概括，演绎与证明，观察、类比、归纳、猜想等等3、技能技巧类，例如待定系数法、配方法、坐标法、换元法等等。

中学数学的基本思想方法有：

转化（或化归）的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，观察、归纳、猜测的思想，函数、方程、不等式的思想，数学归纳法、待定系数法、换元法、反证法、配方法、坐标法、分析法与综合法等。

（二）数学思想方法的核心数学思想方法的核心是转化的思想。

数学中的一切问题的解决归根结底就是转化，把未知的转化为已知的，难解的转化为易解的，数转化为形，形转化为数，实际问题转化为数学问题，等等。

因此数学思想方法中的其它思想方法，也都是依据转化思想得来的，实际上从哲学角度来看，事物之间互相联系与转化，不断发展变化。

（三）数学思想方法的特点就数学而言，她有三大特征：

抽象性，精确性，应用的广泛性，作为反映数学本质的数学思想方法，有三大特点：

（Ⅰ）抽象性，（Ⅱ）指导性，（Ⅲ）应用的广泛性（四）数学思想方法的作用数学思想方法有广泛的应用，在人们的各种认识和实践活动中都能发挥作用，表现出多重功能，概括地说，数学思想方法是思维的工具，计算机产生与发展的基础，解决问题的最有效的方法。

1、数学思想方法是思维的工具诺贝尔物理学奖得者麦克斯冯劳厄把数学称为思想工具，而数学思想方法反映数学的本质是核心，所以其思想的力量是数学思想方法提供的，表现在以下三个方面：

第一、数学思想方法具有一种抽象思维的能力。

运用数学思想方法，对所要研究的问题建立数学模型，必须发挥其所独具的抽象思维能力，即善于把无关紧要的东西先撇在一边，抓住最主要的因素、关系，进行深入地分析和综合，经过合理的简化，把问题用数学语言表述出来。

在这样抽象出来的数学模型上展开数学的推导和演算，以形成对问题的判断和预测，这是数学用抽象思维去把握现实的力量所在。

第二、数学思想方法是数学思维的基本方法。

数学思维就是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的认识的思维过程。

数学思维过程就是不断地提出问题、解决问题的过程，由于解决问题的过程最后总可以归结为应用思想方法的过程，因此，可以认为数学思维过程就是使用思想方法提出和解决问题的过程。

第三、数学思想方法：

辩证的辅助工具和表现方式。

数学有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言，甚至是用简明的数学公式表达出各种对立面的转化，例如有限与无限，近似和精确的辩证关系。

要真正掌握好数学思想方法工具，只是知道许多数学知识是不够的，必须善于发现各种概念之间，各种运算之间，以及各个分支之间的关系，并且善于建立和运用它们之间的各种转化，这样才能发挥出蕴藏在数学思想方法中的辩证思维的力量。

数学思想方法之所以强有力，无论是计算方法之灵巧，还是推理论证之美妙，常常在于有意识地利用或创造了各种转化。

正象恩格斯说的：

从一种形式到另一种相反的形式的转变，是数学科学的最有力的杠杆之一。

2、数学思想方法是计算机产生与发展的基础。

计算机即信息技术是数学对现代文明的最大的贡献，也使数学本身的计算和推理进入一个崭新的时代。

计算机帮助人们获得快速而准确的计算能力，许多新技术正是攻克了计算难关而起飞的，在计算机上进行数学证明，使数学推理机械化，可以帮助人们节约思维劳动，人脑加上电脑，实现人工智能，极大地增强了人的思维能力。

二、数学思想方法的学习过程数学思想方法学习的意义在于，促成对正确方法的盲目地、不自觉地模仿应用向有意识地、自觉地应用转化，而要达到这种状态，必须通过学习者自身的不断体会、挖掘、领悟、深化才能实现。

（一）掌握数学思想方法的过程1、数学思想方法学习的模仿阶段数学教学内容始终反映着数学基础知识和数学思想方法这两方面。

数学教材的每一章乃至每一道题，都体现着这两者的有机结合，这是因为没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识，而在数学课上，由于能力，心理发展的限制，学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法与策略，即使有所觉察，也是处于朦朦胧胧，似有所悟的境界，如学生学习用换元法解分式方程，对换元法的理解是按老师要求：

设未知数，换元，解换元后的方程等解题步骤，学生把换元法当作解题步骤来记忆，而未能体会出换元思想是数学中常用的思想方法，这时，题目上要求用换元法，学生就可以正确做出，但题目上没要求用换元法时，学生会有困难。

2、数学思想方法学习的领悟阶段在学生接触过较多的数学问题后，数学思想方法的学习逐渐过渡到领悟阶段，即学生对数学思想方法的认识已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结出来，如换元法解分式方程，由题目注明要求用换元法解分式方程，到题目没有注明换元法时，学生主动地用换元法解，说明学生对数学思想的认识已经领悟。

3、数学思想方法学习的应用阶段学生对数学思想方法有深入的理解与应用，即学生能依据题意，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决，这一阶段，即是进一步学习数学思想方法的阶段，也是实际运用数学思想方法的阶段，再如换元法，无理方程在分式方程之后，学习无理方程时，若学生能不需教师讲解，主动根据方程特点运用换元法解无理方程，这说明学生已掌握了换元法，并能自觉用它探索解决新问题，如果学生在其它情况下，不仅在解方程时，也能适时地应用换元法解题，说明他对换元思想的理解已经比较深入了，这时，学习者在应用数学思想方法上已经没有了模仿的痕迹，而是主动，自觉地根据题目特点，运用数学思想方法解决探索性的数学问题。

学生的这三个学习阶段，界限不是象楼梯一样分明，但它们不可逾越，替代，颠倒顺序，由于个体的差异性，这三个阶段的时间于学生的不同而不同，教学的任务是促进前两个阶段的形成，尽快达到第三个阶段。

学生数学思想方法的学习过程，决定了数学思想方法的教学，不可能一步到位，也有一个相应的循序渐进，由浅入深的过程，因此，提出了数学思想方法的目标设置。

（二）数学思想方法的分层教学目标这是指在某个教学阶段后，学生在数学思想方法方面达到的学习成果或发展水平。

这里从教学领域和认知领域两方面分别设置目标。

数学思想方法分层教学目标教学领域认知领域教学方法学的目标教学目标教学目标初期蕴涵感受渗透孕育识记了解中期揭示领悟领悟形成理解领会后期激活发展应用发展掌握应用为实现教学目标，使学生在认知的过程中，逐渐达到认识的飞跃，教师在教学中即要发挥自身的创造力又要遵循数学思想方法本身特有的教学规律。

三、数学思想方法的教学原则数学思想方法的教学原则是说明数学思想方法的教学规律的。

（一）渗透性原则中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结，这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题，一般认为，加强数学思想方法的教学，应当遵循渗透性原则，即在具体知识的教学中，通过精心设计的学习情境与教学过程，有意识地引导学生领会蕴含在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。

数学思想方法的形成绝不是一朝一夕可以实现的，必须日积月累，长期渗透才能逐渐为学生所掌握。

如用公式法求一元二次方程的根这一节课，初中教材将直接开平方法，配方法，放在公式法的前面，这两种方法之后，推导出了求根公式法。

这一段的配方法是数学中的重要方法，学生基本上是首次接触，对其中深刻的数学思想很难理解，如果设计不当，对推导过程不加以引导，学生对这节课的理解就是：

记住求根公式，给一道一元二次方程的题，能准确、迅速地求出一元二次方程的根，配方法没用，记住求根公式就行了，这样，蕴涵于这节课的归纳概括，转化，配方，一般化等数学思想就都不见了，久而久之，学生会形成错误的机械学习的习惯，对以后的学习不利。

因此，同样的知识，讲法不同，反映的数学思想方法也不同，收到的效果就有显著的差别。

（二）循序渐进原则前面论述的学生学习数学思想方法的三个阶段，也是符合认识的一般规律性的，即学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的认识规律。

因此，这个认识过程具有长期性和反复性的特征。

从一个较长的学习过程看，学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。

如对同一数学思想方法，应该注意其在不同知识阶段的再现，以加强学生对数学思想方法的认识。

例如数形结合的思想方法，在初中讲数轴时,涉及到数形结合的思想，学生会借助数轴表示相反数，绝对值，比较有理数的大小等，讲到不等式组的解法时，要求学生画数轴找出不等式组的公共解集，此时，学生已能初步形成画数轴帮助解题的方法。

到初三学习函数时，在教师的反复渗透下，学生逐步形成借助图形性质解决代数问题的观念。

主动画图解题的数形结合思想，在不同问题和不同阶段的教学中屡次出现，每次都有不同的形式，也有层次上的深浅，平时，我们注重技巧方法的教学，到了一定阶段，应上升为较高层次的数学思想，促使学生在反复渗透中，对数学思想方法的认识螺旋上升，并能主动应用，真正掌握数学思想方法，使思维更加深刻。

（三）系统性原则与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体的功能。

如前面提到的换元法，配方法都属于转化的思想，转化思想更抽象，在数学中的作用更大，学生掌握起来也更困难，数学思想方法有高低层次之别，对于某一种数学思想而言，它所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，也必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握，这就是数学思想方法教学的系统性原则。

对于数学思想方法的系统性的研究，一般需要从两个方面进行：

一方面要研究在每一种具体数学知识的教学中可以进行哪些数学思想方法的教学。

另一方面，又要研究一些重要的数学思想方法可以在那些知识点的教学中进行渗透，从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。

（四）创造性原则数学学习一定要再创造，这是已成共识的。

由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬，复制，因此，创造性原则对于学习数学思想方法来说就显得尤为重要。

每个学生在学习数学知识过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系，这就是创造性原则。

（五）实践性原则理论来源于实践，又反过来指导实践。

学生能力的培养，最重要的是创新精神和实践能力，在教学中要尽可能地让学生通过阅读、讨论、解题、作图，直到参与社会生活，用实验、调查、分析等实践活动来学习数学思想方法，应该充分利用学生的主动性，他们不是通过聆听一堂清晰完美的讲课来学习数学，而是通过对数学对象作实验而学习，在教学中，所有能使学生进入个人活动的方法都应使用，教师的作用并非只是准备一堂单纯的课，而是要寻找使学生最大限度地参与活动的方法。

数学思想方法教学是数学活动过程的教学，重在思辨操作，离开教学活动过程数学思想方法也无从谈起，只有组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下才能逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。

综上所述，在实际教学中，教师对数学思想方法的教学，要遵循数学思想方法的教学原则，内化成自己的知识，做到烂熟于心，建构自己的教学观点。

我们用原则也是说明数学思想方法教学的一般规律，这种教学没有固定模式，成功与否，关键在于有较高教学观点的教师，发挥自己的创造性，在上课时，能根据课堂情况因时、因地、因人，随时改变教法，于日复一日，年复一年，看似平平淡淡的教学中，透出扎实，深厚的教学功底，使教学成为一门科学和一门永无止境的艺术。

四、数学思想方法教学的若干问题

（一）用化归思想驾驭教材所谓化归就是把面临的问题化解开来，归结为一个或几个已解决了的问题或简单易解的问题。

人们解决问题时都自觉不自觉地用到化归的思想，当我们遇到一个陌生的问题时我们总是把它与我们熟悉了的模式、方法挂钩。

更一般地，人类知识向前演进的过程中，无不是化新知为旧知，化未知为已知的，从这个意义上讲，化归是一种具有广泛的普遍性的深刻的数学思想，也是我们解决数学问题的总策略。

它不但在科学家的发明创新中显示了巨大的作用，就是在学生的解题过程中也有普遍的指导意义。

反复的实践使我们认识到，数学思想是数学的灵魂。

思想和方法是数学的重要基础知识，也是学好数学的重要武器，只有在教学中不断暴露思维的过程，用思想驾驭教学内容，才能提高思维水平，减少思考问题的强度，提高思维的自动化程度，才能把学生教活，在学生身上产生自我发展机制，只有强化思维的自我意识，用数学思想武装的学生，才能在解决问题中表现得机智灵活，产生四通八达的思维境界。

因此，我们认为只有努力让数学思想方法闪现在教学过程的始终，才能使我们的教学充满活力。

（二）数学思想方法的形成规律数学思想方法的教学比数学知识教学困难，尽管如此，数学思想方法的教学还是有规律可循的，我们经过多年的探索和实验研究，发现数学思想方法教学也可以逐步从无序到有序，下面以化归思想为例，谈谈数学思想方法的形成规律。

所谓化归思想是通过数学内部的联系和矛盾运动，在转变中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题从而使原问题得到解决的方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化。

因此，简言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。

例如，学生学了一元二次方程，已经掌握了求根公式和韦达定理等，因此，一元二次方程就是一个数学模式，而将双二次方程ax4+bx2+c=0（a0）通过换元化归为一元二次方程的过程，就是将该问题模式化。

化归思想包含三个基本要素：

化归的对象，化归的目标和化归的方法。

在上例中，双二次方程是化归的对象，一元二次方程是化归的目标，换元是实施化归的方法，实施化归的关键是实现问题的规范化，化未知为已知是化归的方向，教学中显然不可能将有关化归方法的这一套东西一下子全部灌输给学生，只能采取逐步孕育的方法，结合数学知识的教学，让学生逐步体会到化归的基本思想，了解化归方法的基本步骤，直至掌握这一方法。

我们认为一个数学思想方法的初步形成应满足如下几个条件：

（1）理解该思想方法的含义。

（2）初步掌握该思想方法的操作步骤并会运用于比较简单的情形。

（3）了解该思想方法的适用范围和局限性。

（三）在教学中明确指出数学思想方法知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，学生掌握知识时并不一定注意到思想方法。

因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识传授过程达到思想方法教学之目的。

（四）把数学思想方法的教学落实到教学的始终首先从思想上不断提高对数学思想方法教学重要性的认识，把掌握数学知识和掌握数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学内容写到教案中，留意从教材中发掘、提炼出数学思想方法，并在教案中设计好数学思想方法的教学过程。

第二把数学思想方法的教学落实到学生认知活动的展开过程中。

第三有计划地组织好数学思想方法训练课。

第四注意同一方法在不同教材内容中的作用。

第五对不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求。

第六注意不同数学思想方法的综合运用，尤其是总复习阶段更应加强这方面的训练。