9.
答案 C
解析 由题意知∠BAC=75°,根据正弦定理,得AB==8(-1),
因为=,所以BD=BC.
又BC=8,所以BD=4(-1).
在△ABD中,AD==4(3-).故选C.
10.
答案 C
解析 由题意知ac·cosB=3,所以ac=,
S△ABC=ac·sinB=××sinB=tanB.
因为S△ABC∈,所以tanB∈,
所以B∈.故选C.
11.
答案 A
解析 由正弦定理,得(b-c)·b=2c2,得b2-bc-2c2=0,得b=2c或b=-c(舍).
由a2=b2+c2-2bccosA,得c=2,则b=4.
由cosA=知,sinA=.
S△ABC=bcsinA=×4×2×=.故选A.
12.
答案 A
解析 2sinA(acosC+ccosA)=b⇔2sinA·(sinAcosC+sinCcosA)=sinB⇔2sinAsin(A+C)
=sinB⇔2sinAsinB=sinB⇔sinA=,
因为△ABC为锐角三角形,
所以A=,a2=b2+c2-bc, ①
a2+c2>b2, ②
a2+b2>c2, ③
由①②③可得2b2>bc,2c2>bc,所以<<2.故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.
答案 3-3
解析 由正弦定理,得b==a.由a+b=a+a=,解得a=3-3.
14.
答案 3+
解析 ∵cos∠DAC=,cosC=,
∴sin∠DAC=,sinC=,
∴sin∠ADC=sin(∠DAC+∠C)
=×+×=.
由正弦定理,得
=,得AC=DC.
又∵BD=2DC,∴BC=3DC.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC
=5DC2+9DC2-2DC·3DC·=2DC2.
由AB=,得DC=1,从而BC=3,AC=.
即AC+BC=3+.
15.
答案 2
解析 在△ABC中,∵1+=1+=
===.
由正弦定理得=,∴cosA=,∴A=60°.
又∵a=2,C=45°.
由=得=,∴c=2.
16.
答案 ±
解析 ∵2b=a+c,
由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,
又∵B=,∴sinA+sinC=,A+C=.
设cosA-cosC=x,
可得(sinA+sinC)2+(cosA-cosC)2=2+x2,
即sin2A+2sinAsinC+sin2C+cos2A-2cosAcosC+cos2C=2-2cos(A+C)=2-2cos=2+x2.
则(cosA-cosC)2=x2=-2cos=,
∴cosA-cosC=±.
三、解答题
17.
解
(1)∵∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,
∴∠CBE=15°.
∴cos∠CBE=cos15°=cos(45°-30°)=.
(2)在△ABE中,AB=2,
由正弦定理,得=,
故AE===-.
18.
解
(1)证明:
由正弦定理==,可知原式可以化为+==1,因为A和B为三角形内角,所以sinAsinB≠0,
则两边同时乘以sinAsinB,可得sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB,
由和角公式可知,sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,原式得证.
(2)因为b2+c2-a2=bc,根据余弦定理可知,cosA==.
因为A为三角形内角,A∈(0,π),sinA>0,则sinA==,即=,由
(1)可知+==1,所以==,所以tanB=4.
19.
解 如右图所示,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1km.
在△ABC中,AB=≈1.732,AC=1,∠ABC=30°,
由正弦定理,得sin∠ACB==,
∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不符合题意),
∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1.
在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形,∴CD=1.
∵×60=5,
∴在BC上需要5min,CD上需要5min.
∴最长需要5min检查员开始收不到信号,并至少持续5min该考点才算合格.
20.
解
(1)由已知B=,a2+b2=ab,
综合正弦定理得4sin2A-2sinA+1=0.
于是sinA=,
∵0<A<,∴sinA<,∴sinA=.
(2)由题意可知S△ABC=absinC=c2,
得absinC=(a2+b2-2abcosC)
=(4ab-2abcosC),
从而有sinC+cosC=2即sin=1.
又<C+<,∴C=.
21.
解
(1)由已知及余弦定理,得=,sinA=,
因为A为锐角,所以A=60°.
(2)解法一:
由正弦定理,得====2,
所以b=2sinB,c=2sinC=2sin(120°-B).
c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]
=4+
=4-cos2B+sin2B
=4+2sin(2B-30°).
由得30°
当sin(2B-30°)=1,即B=60°时,(c2+b2)max=6,
此时C=60°,△ABC为等边三角形.
解法二:
由余弦定理得()2=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=3.
∵bc≤(当且仅当b=c时取等号),
∴b2+c2-≤3,即b2+c2≤6(当且仅当b=c时等号).
故c2+b2的最大值为6,此时△ABC为等边三角形.
22.解 设缉私船用t小时在D处追上走私船.在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(-1)2+22-2×(-1)×2×cos120°=6,∴BC=.
在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠ABC=sin∠BAC=,
∴∠ABC=45°,∴BC与正北方向垂直.
∴∠CBD=120°.在△BCD中,由正弦定理,得
=,
∴=,
∴sin∠BCD=,∴∠BCD=30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船.