高一数学必修五第一章试题解三角形带答案.docx

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高一数学必修五第一章试题解三角形带答案

高一数学必修五第一章试题——解三角形

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是（　　）

A．平行B．重合

C．垂直D．相交但不垂直

2．在△ABC中，已知a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，则sinA∶sinB∶sinC等于（　　）

A．2∶3∶4B．3∶4∶5

C．4∶5∶8D．3∶5∶7

3．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为（　　）

A．4B．5C．5D．6

4．已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是（　　）

A．直角三角形B．钝角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

5．△ABC中，已知下列条件：

①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝3，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是（　　）

A．①②B．①④C．①②③D．③④

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝1，sinB＝，C＝，则b的值为（　　）

A．1B．C．或D．±1

7．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是（　　）

A．30°或150°B．15°或75°

C．30°D．15°

8．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＋b＋c＝0，则角A＝（　　）

A．90°B．60°C．45°D．30°

9．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且＝，则AD的长为（　　）

A．4（－1）B．4（＋1）

C．4（3－）D．4（3＋）

10．在△ABC中，B·B＝3，S△ABC∈，则B的取值范围是（　　）

A．B．

C．D．

11．在△ABC中，三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若（b－c）sinB＝2csinC且a＝，cosA＝，则△ABC面积等于（　　）

A．B．C．3D．3

12．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinA（acosC＋ccosA）＝b，则的取值范围是（　　）

A．B．

C．（1，2）D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知在△ABC中，a＋b＝，A＝，B＝，则a的值为________．

14．在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝，cosC＝，则AC＋BC＝________．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2，C＝45°，1＋＝，则边c的值为________．

16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c满足2b＝a＋c，B＝，则cosA－cosC＝________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，

∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．

（1）求cos∠CBE的值；

（2）求AE．

18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝．

（1）证明：

sinAsinB＝sinC；

（2）若b2＋c2－a2＝bc，求tanB．

19．（本小题满分12分）为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？

20．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．

（1）若λ＝，B＝，求sinA；

（2）若λ＝4，AB边上的高为，求C．

21．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA＝．

（1）求角A的大小；

（2）当a＝时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．

22．（本小题满分12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

一、选择题

1．答案　C

解析　∵k1＝－，k2＝，∴k1k2＝－1，∴两直线垂直．故选C．

2．

答案　D

解析　因为a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，

所以c＝a，b＝a．a∶b∶c＝3∶5∶7．

所以sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7．故选D．

3．

答案　C

解析　∵S△ABC＝acsinB＝2，∴c＝4．

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝25，

∴b＝5．

由正弦定理2R＝＝5（R为△ABC外接圆的半径）．故选C．

4．

答案　C

解析　由题意知：

cosA·cosB＝sin2，

∴cosA·cosB＝＝－cos[180°－（A＋B）]＝＋cos（A＋B），

∴（cosA·cosB＋sinA·sinB）＝，

∴cos（A－B）＝1．

∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．故选C．

5．

答案　A

解析　①csinB

②bsinA

③b＝csinB，有一解；

④c

所以有两解的是①②．故选A．

6．

答案　C

解析　在△ABC中，sinB＝，0＜B＜π，

∴B＝或，

当B＝时，△ABC为直角三角形，

∴b＝a·sinB＝；

当B＝时，A＝C＝，

a＝c＝1．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos＝3，

∴b＝．故选C．

7．

答案　A

解析　由题意：

sinB＋cosB＝．两边平方得sin2B＝，设顶角为A，则A＝180°－2B．

∴sinA＝sin（180°－2B）＝sin2B＝，∴A＝30°或150°．故选A．

8．

答案　D

解析　由重心性质可知＋＋＝0，故＝－－，代入a＋b＋c＝0中，即

（b－a）＋c－a＝0，因为，不共线，则即故由余弦定理得cosA＝＝．因为0

9．

答案　C

解析　由题意知∠BAC＝75°，根据正弦定理，得AB＝＝8（－1），

因为＝，所以BD＝BC．

又BC＝8，所以BD＝4（－1）．

在△ABD中，AD＝＝4（3－）．故选C．

10．

答案　C

解析　由题意知ac·cosB＝3，所以ac＝，

S△ABC＝ac·sinB＝××sinB＝tanB．

因为S△ABC∈，所以tanB∈，

所以B∈．故选C．

11．

答案　A

解析　由正弦定理，得（b－c）·b＝2c2，得b2－bc－2c2＝0，得b＝2c或b＝－c（舍）．

由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c＝2，则b＝4．

由cosA＝知，sinA＝．

S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝．故选A．

12．

答案　A

解析　2sinA（acosC＋ccosA）＝b⇔2sinA·（sinAcosC＋sinCcosA）＝sinB⇔2sinAsin（A＋C）

＝sinB⇔2sinAsinB＝sinB⇔sinA＝，

因为△ABC为锐角三角形，

所以A＝，a2＝b2＋c2－bc，　①

a2＋c2＞b2，　②

a2＋b2＞c2，　③

由①②③可得2b2＞bc，2c2＞bc，所以＜＜2．故选A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．

答案　3－3

解析　由正弦定理，得b＝＝a．由a＋b＝a＋a＝，解得a＝3－3．

14．

答案　3＋

解析　∵cos∠DAC＝，cosC＝，

∴sin∠DAC＝，sinC＝，

∴sin∠ADC＝sin（∠DAC＋∠C）

＝×＋×＝．

由正弦定理，得

＝，得AC＝DC．

又∵BD＝2DC，∴BC＝3DC．

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC

＝5DC2＋9DC2－2DC·3DC·＝2DC2．

由AB＝，得DC＝1，从而BC＝3，AC＝．

即AC＋BC＝3＋．

15．

答案　2

解析　在△ABC中，∵1＋＝1＋＝

＝＝＝．

由正弦定理得＝，∴cosA＝，∴A＝60°．

又∵a＝2，C＝45°．

由＝得＝，∴c＝2．

16．

答案　±

解析　∵2b＝a＋c，

由正弦定理得2sinB＝sinA＋sinC，

又∵B＝，∴sinA＋sinC＝，A＋C＝．

设cosA－cosC＝x，

可得（sinA＋sinC）2＋（cosA－cosC）2＝2＋x2，

即sin2A＋2sinAsinC＋sin2C＋cos2A－2cosAcosC＋cos2C＝2－2cos（A＋C）＝2－2cos＝2＋x2．

则（cosA－cosC）2＝x2＝－2cos＝，

∴cosA－cosC＝±．

三、解答题

17．

解　

（1）∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，

∴∠CBE＝15°．

∴cos∠CBE＝cos15°＝cos（45°－30°）＝．

（2）在△ABE中，AB＝2，

由正弦定理，得＝，

故AE＝＝＝－．

18．

解　

（1）证明：

由正弦定理＝＝，可知原式可以化为＋＝＝1，因为A和B为三角形内角，所以sinAsinB≠0，

则两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosA＋sinAcosB＝sinAsinB，

由和角公式可知，sinBcosA＋sinAcosB＝sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，原式得证．

（2）因为b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理可知，cosA＝＝．

因为A为三角形内角，A∈（0，π），sinA>0，则sinA＝＝，即＝，由

（1）可知＋＝＝1，所以＝＝，所以tanB＝4．

19．

解　如右图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1km．

在△ABC中，AB＝≈1．732，AC＝1，∠ABC＝30°，

由正弦定理，得sin∠ACB＝＝，

∴∠ACB＝120°（∠ACB＝60°不符合题意），

∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1．

在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，

∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1．

∵×60＝5，

∴在BC上需要5min，CD上需要5min．

∴最长需要5min检查员开始收不到信号，并至少持续5min该考点才算合格．

20．

解　

（1）由已知B＝，a2＋b2＝ab，

综合正弦定理得4sin2A－2sinA＋1＝0．

于是sinA＝，

∵0＜A＜，∴sinA＜，∴sinA＝．

（2）由题意可知S△ABC＝absinC＝c2，

得absinC＝（a2＋b2－2abcosC）

＝（4ab－2abcosC），

从而有sinC＋cosC＝2即sin＝1．

又＜C＋＜，∴C＝．

21．

解　

（1）由已知及余弦定理，得＝，sinA＝，

因为A为锐角，所以A＝60°．

（2）解法一：

由正弦定理，得＝＝＝＝2，

所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（120°－B）．

c2＋b2＝4[sin2B＋sin2（120°－B）]

＝4＋

＝4－cos2B＋sin2B

＝4＋2sin（2B－30°）．

由得30°

当sin（2B－30°）＝1，即B＝60°时，（c2＋b2）max＝6，

此时C＝60°，△ABC为等边三角形．

解法二：

由余弦定理得（）2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝3．

∵bc≤（当且仅当b＝c时取等号），

∴b2＋c2－≤3，即b2＋c2≤6（当且仅当b＝c时等号）．

故c2＋b2的最大值为6，此时△ABC为等边三角形．

22．解　设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝（－1）2＋22－2×（－1）×2×cos120°＝6，∴BC＝．

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠ABC＝sin∠BAC＝，

∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．

∴∠CBD＝120°．在△BCD中，由正弦定理，得

＝，

∴＝，

∴sin∠BCD＝，∴∠BCD＝30°．

故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．