初等数论期末复习资料.docx

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初等数论期末复习资料

数论教案

§1整数的整除带余除法

1整数的整除

设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,a是b的倍数.

如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b?

a.例如2|4,4|-12,-5|15;2?

3，-3?

22.

在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负.

判断是否b|a？

当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.

如果b除a的商数是整数,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b?

a.

例1判断下列各题是否b|a？

（1）7|127?

（2）11|129?

（3）46|9529?

（4）29|5939?

整除的简单性质

（1）如果c|b,b|a,那么c|a;

（2）如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.

（3）如果a1,a2,,an都是m的倍数,q1,q2,,qn是任意整数,那么

qaqaqa是m的倍数.

1122nn

（4）如果c|a,d|b,那么cd|ab。

例如：

2|4,2|（-6）,那么2|4+（-6）,2|4-（-6）.2|4,3|（-6）,那么2×3|4×（-6）.

例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除.

练习证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除.

2.带余除法

设a,b是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0?

r＜b.

（1）

这里q称为b除a的商,r称为b除a的余数.

例如-5=3×（-2）+15=3×1+2-5=（-3）×2+1

5=（-3）×（-1）+215=（-5）×（-3）,-24=（-2）×12.

事实上,以b除a的余数也可以是负的.例如

-5=3×（-1）-2=3×（-2）+1.

求b除a的余数,也称为模运算（取余）:

mod.可用计算器进行.

1

具体操作:

输入a-按mod（取余）键-输入b-按=键得出余数.如果b除a的余数=0,则b|a;如果b除a的余数≠0,则b?

a.

例3利用计算器求余数:

（1）7除127;

（2）11除-129;（3）46除-9529;（4）-29除5939

奇数、偶数及性质

能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数.

不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数.

偶数的形式为2n（n是整数）;奇数的形式为2n-1（n是整数）.

奇数、偶数的性质:

偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,

偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.

例如2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5

设a,b是任意两个整数,则a+b与a-b同奇同偶.

例如3+5,3-5,6+3,6-3,

例4设a,b,n是任意3个整数,而且

222

abn,证明n是偶数.

例5设a是任一奇数,试证明8|

21

a.

例6设n是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.

证明对任意整a,设a=3q或a=3q±1,于是

2

a=9

2

q或

2

a=9

2

q±6q+1=3（3

2

q±2q）+1.

即

2

a≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.

练习设n是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数.

习题:

P3-4:

1t,2t.

§2公因数、最大公因数

3.最大公因数、辗转相除法

2

中小学里的公因数、最大公因数的概念：

几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数.

（1）几个数:

不能确定;

（2）因数、公因数:

都是正整数;最大公因数:

没有专门的符号.

定义设a1,a2,,an,d都是整数,d≠0,如果dai,i=1,2,,,n,称d是

aaa的公因数,a1,a2,,an的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为（a1,a2,,an）.如果（a1,a2,,an）=1,则

1,2,,n

称a1,a2,,an互质。

例1（-6,8）=2,（-3,6,-9,15）=3,（1,2,3,-4）=1.

在中小学数学里,求正整数a,b的最大公因数主要有这个样几种方法：

（1）观察法；

（2）将a,b的所有公因数都求出来,再从中挑最大的；

（3）用短除法.

辗转相除法:

设a,b是正整数,而且有

abq1r1,0r1b;

br1q2r2,0r2r1;

r1r2q3r3,0r3r2;

,,,,（*）

r2r1qr,0rr1;

nnnnnn

r1rq1.

nnn

（a,b）rn

。

例2用辗转相除法求（123,78）,

练习:

用辗转相除法求（66,54）.

下面说明辗转相除法的正确性.先证明

性质1设整数a,b,c不全为0,而且有整数q使得a=bq+c则（a,b）=（b,c）.

证明由a,b,c不全为0知,（a,b）、（b,c）都存在.

因（a,b）|a,（a,b）|b,c=a-bq,得（a,b）|c,又得（a,b）?

（b,c）;

反之,由（b,c）|b,（b,c）|c,a=bq+c,得（b,c）|a,（b,c）?

（a,b）.

所以（a,b）=（b,c）.

3

由（*）式知br1r2r1r0,而n

nn

是有限正整数,再由性质1得

（a,b）（b,r）（r,r）

112

=（rn2,rn1）（rn1,rn）（rn,0）rn

.

4.最大公因数的性质

最大公因数的几个性质：

性质2（am,bm）=（a,b）m,m>0.（短除法的根据）

例3求（84,90）,（120,36）.

（84,90）=3（28,30）=6（14,15）=6.（120,36）=12（10,3）=12.

性质3（a,b）=（|a|,|b|）.

性质4（a,b,c）=（（a,b）,c）.

例4求（-84,120）,（-120,-72）,（24,-60,-96）.

例5设n是任意整数,证明

3n1

5n2

是既约分数.

证明设d=（3n+1,5n+2）,则d|3（5n+2）-5（3n+1）,即d|1,d=1，

所以3n+1与5n+2互质.

作业1.利用辗转相除法求（84,90）.2.求（120,36）.

5.设n是整数，证明

3n1

7n2

是既约分数。

§3整除的进一步性质及最小公倍数

1.整除的进一步性质

推论1设a,b不全为零,那么有s,t∈Z使得as+bt=（a,b）.

证明将（*）中每式中的余数解出得

rrrq

nn2n1n

rn1rn3rn2qn1,,,r2br1q2

r1abq1

再将

r1,r2,,r2,r1

nn

的表达式依次代入到rnrn2rn1qn

中就得au+bv=rn=（a,b）=d,u,v

∈Z.

例1用辗转相除法求（120,54）,并求整数u,v使得

120u+54v=（120,54）.

解∵120=2×54+12,54=12×4+6,12=6×2,∴（120,54）=6.

12=120-2×54,6=54-12×4=54-（120-2×54）×4

=120×（-4）+54×9.∴u=-4,v=9.

练习用辗转相除法求（84,45）,并求整数u,v使得

84u+45v=（84,45）.

设a,b都是正整数,问a,b的公因数与最大公因数有什么关系？

例2①求（12,18）及12与18的所有正的公因数；

通过这个例子,请同学们观察最大公因数与公因数有何关系？

能否提出自己的猜想？

能否证明自己的猜想？

性质1设d是a,b的最大公因数,那么,a,b的任一公因数都是d的因数.

4

证明如果d=（a,b）,由性质2有u,v∈Z使得au+bv=d.设s是a,b的任一公因数,则s|au,s|bv,且s|au+bv,即s|d.

ab

性质2如果d=（a,b）,则（,

dd

）=1.

性质3如果（a,c）=1,且c|ab,则c|b.

性质4如果（a,c）=1,则（ab,c）=（b,c）.

性质5如果（a,b）=1,且a|c,b|c,则ab|c.例3证明三个连续整数的积一定可被6整除.

2最小公倍数

定义如果m是a1,a2,,an

中每一个数的倍数,则称m是整数

a1,a2,,an

的一个公倍数.a1,a2,,an的公倍中最小正整数称为a1,a2,,an

的最小公倍数.用

[a1,a2,,an

]来表示.

例如[2,4,-3]=12,[15,12,20]=60,[6,10,15]=30.

定理3[a1,a2,,an]=[|a1|,|a2|,,,|an

|].

定理4设a,b是两个正整数,则

（i）a,b的任一公倍数是[a,b]的倍数；

ab

（ii）[a,b]=（a,b）.而且若（a,b）=1,则[a,b]=ab.

证明（i）设m是a,b的任一公倍数,而且m=t[a,b]+r,0?

r<[a,b]

因m,[a,b]都是a,b的公倍数,由r=m-t[a,b]知r也是a,b的公倍数,若0

a[a,b]ab

（ii）记d=[a,b],则d是整数,由a|[a,b],a|[a,b]及

db

b[a,b]

da

知d|a,d|b,即d是a,b的公因数.

设h是a,b的任一公因数,由

abba

ab

hhh

是a,b的公倍数及TH16知[a,b]|

ab

h,

abd

Z

即[a,b]hh,所以h|d,

5

ab

（a,b）=d,从而（a,b）=[a,b].

定理5设a1,a2,,an

都是正整数,令

[a,a]m,[m2,a3]m3,,,[mn1,an]mn

122

则[a1,a2,,an]mn

.

定理19设a1,a2,,an

是n（?

2）个正整数,且两两互素,则

[a,a,,an]a1a2an

12

例2求[123,456,-789]

例3求正整数a,b,满足:

a+b=120,（a,b）=24,[a,b]=144.

abc

例14设a,b,c是正整数,则[a,b,c]=（,,）

abbcca

作业:

P14:

1.

6.求（84,45）,并求整数u,v使得84u+45v=（84,45）

.

§4质数算术基本定理

2.质数

定义设整数a>1,如果a除了1和a外再无其它正因数,则称a为质数,也称为素数.否则,称a为合数.

2,3,5,7,11都是质数，4,6,8,9,10都是合数.

1-100内有素数25个,1-1000内有素数168个,1-10000内有素数1229,10万内有素数9592个,100万之内78498个.

定理1设整数a>1,则a除1外的最小正因数q是素数,而且当a是合数时,q?

a.

证明假定q是合数,设q=bc,1

若a是合数,设a=qm,由q的最小性知a=qm?

qq,即q?

a.

6

素数判定定理设整数a>1,不超过a所有素数为p1,p2,,pk,如果pi

?

a,i=1,,,k,则a为素数.

例1以下正整数哪个是素数？

哪个是合数？

231,89,103,169.

素数判别威尔逊定理:

设整数p>1,那么p是素数的充分必要条件是p|（p-1）!

+1.

例2利用威尔逊定理判别3,5,7,11都是素数.

当p较大时,（p-1）!

+1的数值非常大,在实际运用时不可行。

定理2设P是素数,a为任一整数,则或P|a,或（P,a）=1.

证明因（P,a）|P,P为素数,所以（P,a）=P,或（P,a）=1.即P|a,或（P,a）=1.

7.整数的唯一分解定理

定理3任何a>1的整数都有标准分解式:

a=

ppp（3）

12k

12k

这里p1,p2,,pk

为不同素数,整数0

i,i=1,,,k.

推论1若正整数a>1的标准分解式为a=

ppp,

12k

12k

则a的正因数d为

d=

ppp,0

12k

12k

ii,i=1,,,k.而且a有不同的正因数（11）（12）（1k）

个.

推论2设a=

ppp,b=

12k

12k

ppp,0

12k

i,i0,i=1,,,k.

12k

则

（1）（a,b）=

ppp,[a,b]=

12k

12k

ppp，

12k

12k

其中imin（i,i）,imax（i,i）,i=1,,,k.

（2）a,b共有正公因数（11）（12）（1k）个;

（3）a,b共有公因数2（11）（12）（1k）个.

例3求725760,154200的标准分解式,并求它们的最大公因数和最小公倍数.

解因725760=

8

2×5×11×41,154200=

3

2×3×

2

5×257,

所以（725760,154200）=

3

2

×5,[725760,154200]=

8

2×3×

2

5×11×41×257.

7

例4求下列各组数的最大公因数及其公因数的个数:

（1）123,78；

（2）120,54.

练习:

求下列各组数的最大公因数及其公因数的个数:

（1）125,70；

（2）140,56.

例8设p,q都是大于3的素数,证明24|

22

pq.

3质数的多少和质数的求法

定理4素数有无穷多个.

证明反证法,设质数只有k个:

p1,p2,L,pk

令Mp1p2Lpk1,

M>1,于是M有素数因数p.因pi?

M,i=1,2,,,k,p|M,所以p≠pi,i=

1,2,,,k.这就是说,p1,p2,L,pk

p是k+1个不同素数.这与假设矛盾.

1-n之间的所有素数怎样求出来？

12345678910

11121314151617181920

2122232425262728293031323334353637383940

41424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980

81828384858687888990919293949596979899100

按以下步骤进行：

（1）删去1，剩下的后面的第一个数是2，2是素数；

（2）删去2后面被2整除的数（从4开始）,2后面剩下的第一个数3是素数；

（3）删去3后面的被3整除的数（从9开始）,3后面剩下的第一个数5是素数；

（4）删去5后面的被5整除的数（从25开始）,5后面剩下的第一个数7是素数；

现在表中剩下的就全为素数了:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

对较小范围内的素数以上求法方便,对较大范围内的素数,需要编程求素数了.

现在运行程序,求较大范围内的素数.找两个同学来求.

作业:

1.判别1577是否为素数;2.P19:

5t；

8

8.求725760,154200的标准分解式,并求它们的最大公因数和最小公倍数,并求它们的所有公因数的个数。

§5函数[x],{x}及其应用

3.函数[x],{x}的定义

定义1设x是实数,以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，又称{x}=x[x]为x的小数部分。

例1[3.5]=3,[-3.5]=-4,[-0.1]=-1,[0.1]=0,[]=3,[-]=-4.

性质设x与y是实数,则

（1）xy[x][y]；

（2）若m是整数,[mx]=m[x]；

（3）若0x<1,则[x]=0；

a

[]

b

a

+b{}

b

.

设a=bqr,0r

ar

q

bb

a

故[]

b

ar

=q,{}

bb

a

[]

b

a

+b{}

b

.

a

[]

b

个。

a

b

a

b

证明能被b整除的正整数是b,2b,3b,,因此,若数1,2,,a中能被b整除的整数有k个,则kba<（k+1）bk.

10150099

例2不超过101且是5的倍数的正整数有[]=20个,100-500的整数中7的倍数的正整数有[]-[]=71-14=57.

577

4.函数[x]的应用

设p是素数,n是整数,如果

k

p

│n,

k1

p?

n,

则称

k

p

恰好整除n.

例3设p是素数,那么在1-n的整数中,恰好被

k

p

整除的整数有多少个？

定理1在n!

的标准分解式中,质因数p的指数是

9

h=[

n

p

n

]+[2

p

n

]+[3

p

]+,

证明在1,2,3,,,n中,

①恰被p整除的整数有[

n

p

n

]-[2

p

]个;

n

②恰被p整除的整数有[2

p

n

]-[3

p

]个;

n

③恰被p整除的整数有[3

p

n

]-[4

p

]个;,,

n

④恰被p整除的整数有[r

p

n

]-[r1

p]个,,,于是

h=[

n

p

n

]-[2

p

n

]+2（[2

p

n

]-[3

p

n

]）+3（[3

p

n

]-[4

p

n

]）+,+r（[r

p

n

]-[r1

p]）+,=[

n

p

n

]+[2

p

n

]+[3

p

]+,.

n

性质[r1

p

n

]=[[r

p

]/r].