342基本不等式的应用含答案.docx

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342基本不等式的应用含答案

3.4第2课时基本不等式的应用

题型一利用基本不等式求最值命题角度1求一兀解析式的最值

4

例1

（1）若x>0，求函数y=x+-的最小值，并求此时x的值;

x

⑵已知x>2，求X+——的最小值;

x—2

3

⑶设0

2

跟踪训练1函数y=2x+-（x<0）的最大值为

x

命题角度2求二元解析式的最值

例2

（1）若正实数X,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是;

⑵若实数X,y满足x2+y2+xy=1,则X+y的最大值是.

跟踪训练2已知正数x，y满足x+y=1，则-+y的最小值是.

题型二基本不等式在实际问题中的应用

例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面

粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?

引申探究

若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少?

跟踪训练3高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精

一种常见的函数模型y=X+-（a>0）

X

0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等

差数列逐年递增.

（1）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n）,试写出f（n）的表达式;

（2）问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年年平均费用最少）？

年平均费用的最小值是多少?

【课堂练习】1.不等式一「+（x—2）>6（x>2）中等号成立的条件是

x—2

4.设a>0,b>0,若73是3a与3b的等比中项，则丄+1的最小值为（

ab

B.4

5.设a,b,c€R,ab=2,且c

1.用基本不等式求最值

（3）在求最值的一些问题中，若运用基本不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数

=X+p（p>0）的单调性求得函数的最值.

2.求解应用题的方法与步骤

、选择题

11

若xy是正数，则x+2y2+y+-2的最小值是

C.4

7

B-7

y>0，且x+y=1，若对任意x>0,y>0,x+y>m2+8m恒成立，则实数m的取值

二、填空题

9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用

x=

为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则10.已知a,b€R，且a—3b+6=0,贝U2a+迂的最小值为11.周长为迈+1的直角三角形面积的最大值为

”x+5x+2厶厶曰［企口

12.设x>-1,则函数y=的最小值是三、解答题

13.已知不等式x2—5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.

（1）求实数a,b的值;

⑵若0

x1—x

14.已知x>0,y>0,2xy=x+4y+a.

（1）当a=6时，求xy的最小值;

⑵当a=0时，求x+y+4~H—的最小值.

42y

15.

36万元，建成后

为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入

每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知｛an｝为等差数列，相关信息如图所示.

（1）设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用）

（2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值.

第2课时基本不等式的应用答案

例1

（1）若x>0,求函数y=x+的最小值，并求此时x的值;

X

3

⑶设0

解

（1）当x>0时，x+x》2\/x•£=4,

42

当且仅当x=-,即卩x=4,x=2时，取等号.

x

4

二函数y=x+x（x>0）在x=2处取得最小值4.

x

⑵•••x>2,.・.x—2>0,•••x+二=x—2+壬+2》2\/x—2•二+2=6,

x—2x—2\x—2

4

当且仅当x—2=n,

x2

即x=4时，等号成立.•••X+三的最小值为6.

x—2

2x+3—2x2

⑶•/00,

•••y=4x（3—2x）=2[2x（3—2x）]<2

跟踪训练1答案—4

2

Tx<0,•—x>0,.・.（—2x）+—

解析

（1）•••xy=2x+y+6》2+6，设畅=t（t>0），即t2》2頁t+6,（t—3^）（1+

申）A0，.・.t>3/2，则xyA18，当且仅当2x=y且2x+y+6=xy，即x=3，y=6时等号成立，故xy的最小值为18.

⑵根据题意，1=（x+y）2—xy>（x+y）2—2=3（x+y）2,所以3>（x+y）2，所以x+

yw学，当且仅当x=y>0且x2+y2+xy=1，即x=y=¥时等号成立.

反思感悟基本不等式连接了和“X+y”与积“xy”，使用基本不等式就是根据解题需要进行

和、积的转化.

跟踪训练2答案9

1414

解析

•••X+y=1,•••-+-=（X+y）x+y

=1+4+y+4x.

xy

当且仅当

x+y=1,y4x

x=7，

min=9.

14

一+一

xy

例3解设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.

由题意可知，面粉的保管及其他费用为3X[6x+6（x—1）+6（x—2）+…+6X1]=9x（x+1）.

设平均每天所支付的总费用为y元

则y=11[9x（x+1）+900]+6X1800

引申探究

若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使

平均每天所支付的费用最少?

1

=9（X1-X2）+900站X2

900

=（X1-X2）9—XX

■/15WX1225,

9X1X2—900

X1X2

•（X1—X2）二<0，

900

即y=9X+——+10809在[15，+8）上为增函数.

X

•••当X=15,即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少.

跟踪训练3答案B

OO

解析由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y=n+曾2，当且仅当n=8

即n=2念时，不满意度最小，又n€N*，分别把n=2,3代入y=n+半，易知n=3时，y最小.故

最适宜的教室应在3楼.

典例解

（1）由题意得，f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n=14.4+；+1+

2

0.9n=0.1n+n+144

n144

1>2屮茁+1=3.4，当且仅当10=144，即n=12时等号成立，此时S取得最小值3.4.

故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元.

【课堂练习】

9

1.不等式一+（x—2）>6（x>2）中等号成立的条件是（）

x—2

答案C

解析•/x>2,.・.x—2>0.

9

当且仅当x—2=，即x—2=3,x=5时取等号.故选C.

x—2

答案

1

则y=3—3x—-<3—2^/3，故选D.

x

3.已知实数x,y满足X2+y2=1，则（1—xy）（1

答案B

解析•••x2y2wX:

y2=1，当且仅当x2=y2=1时，等号成立，•••（1—xy）（1+xy）=1—x2y2>|.

•••x2y2>0,.・.3w1—x2y2w1.

11

4•设a>0,b>0,若羽是3a与3b的等比中项，贝ya+b的最小值为（

1

A.8B.4C.1D.-

4

答案

答案

9999

解析

■/ab=2，二a+b>2ab=4.又cwa+b恒成立，二cw4.

【巩固提升】

一、选择题

D.

答案C

4

解析•••y=x+-中x可取负值，.••其最小值不可能为4;由于0

x

=sinx*Q（O,1】上单调递减，「最小值为5;由于ex>O—y=几4e-J辰一4-4,

2

当且仅当ex=2时取等号，.••其最小值为4,•••Jx2+1A1,.・.y=Jx2+1+.2>W2，当

寸X+1W

2.已知x>1,y>1且Igx+lgy=4,则

1

A.4B.2C.ID—

4

答案A

2=4,

Igx+Igy••Igx>0,Igy>0,Igxlgy<

当且仅当Igx=Igy=2，即x=y=100时取等号.

14

3.已知a>0,b>o,a+b=2,则y=a+b的最小值是（）

答案

当且仅当詈=2a，即b=2a=3时，等号成立故y=a+b的最小值为2.

4.若0

111

A但尹4叫答案C

1114y2+1一4y21

4，当

解析因为00，所以X寸1—4x2=訂2X寸1-4x2<

79

A3B.2c.4D.2

答案

解析

丄12

y+

X2+++y2+4^

4x4y

>1+1+2=4,

围是（）

答案B

y=6时取等号），.・.（x+y）min=9.又•••对任意x>0,y>0,x+y>m+8m恒成立，二m2+8n<9，解

得—9

7.已知a>0,b>0,则1+b+2^/ab的最小值是（）

时，等号同时成立.

8若关于x的不等式（1+k2）x

答案

9.答案20

解析总运费与总存储费用之和

当且仅当4x=罟，即x=20时取等号.

1

10.答案4

11.答案4

4

则迈+1=a+b+Qa2+b2>^ab+{2不,

解得abw2，当且仅当a=b=¥时取等号,

所以直角三角形的面积S=2abw4,

1

即S的最大值为4.

12.答案9

解析•/x>-1,•••x+1>0,设X+1=t>0,则x=t—1,

2

t+4t+1t+5t+4t

4

当且仅当t=-，即t=2时取等号，此时x=1.

•••当x=1时，函数y=X+5，x+2取得最小值9.

13.已知不等式x-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.

（1）求实数a,b的值;

ab

⑵若0

xI——x

解

（1）依题意可得方程x2-5ax+b=0的根为4和1,

•••0<1—x<1,4>0,4^>0,•••1+=1++（1—X）]

x1—Xx1—xx1—xL\丿」

-x•芒+5=9，当且仅当宁=芒，即x=3时，等号成立,•••f（x）的最小值为9.

14.已知x>0,y>0,2xy=x+4y+a.

（1）当a=6时，求xy的最小值;

21

⑵当a=0时，求X+y+-+2y的最小值.

解⑴由题意，知x>0,y>0,当a=6时，2xy=x+4y+6>^xy+6,

xy的最小值为9.

即（^/xy）2—2^yxy—3>0,^（/xy+1）•（^xy—3）>0,二>3,二xy>9,当且仅当x=4y=6时，等号成立，故

（2）由题意，知x>0,y>0，当a=0时，可得

2xy=x+4y.两边都除以2xy，得£+1=1,

2yx

211,2.,x+y+x+2y=x+y+1=（x+y）•2y+x+1=2+习+

7x2y7fx~2p11

r习+乂A2+2\/即•£=◎,

x2y32111

当且仅当2y=于，即x=3,y=-时，等号成立，故x+y+】+石的最小值为y.

15.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入

36万兀，建成后

每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知｛an｝为等差数列，相

关信息如图所示.

1（1-

fl

（1）设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈利即

n年总收入减去成本及总维修费用）

（2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值.

解

（1）由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列,

则an=6+2（n—1）=2n+4（n€N）,

所以y=25n—n[6+严4]—36=—n

+20n—36

2

=—（n—10）+64,

当n=10时，y的最大值为64万元.

2

y—n+20n—36

（2）年平均盈利为y=

n

36

n——+20=—

n

36

n+-+20一2x

36

nx—+20=

n

36

8（当且仅当n=晋，即n=6时取“=”）.

故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元.

22

即y=2x+2一4当且仅当—2x=-x,即x=-1时等号成立.

例2

（1）若正实数x,y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是;

⑵若实数X,y满足X2+y2+xy=1，则x+y的最大值是.

答案

（1）18

（2）娈

3