倒立摆的现代控制问题.docx

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倒立摆的现代控制问题

《现代控制理论基础》课程报告

单倒立摆系统的控制系统分析和设计

电气工程学院2013级硕士研究生

专业：

电力电子与电力传动

学生：

YU

学号：

指导老师：

2013年12月

0本文的亮点及单倒立摆的重述

问题重述：

图示为单倒立摆系统的原理图，其中摆的长度l=1m，质量m=0.1kg，通过铰链安装小车上，小车质量M=1kg，重力加速度g=9.8m/s2。

控制的目的是当小车在水平方向上运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。

Ø分别列写小车水平方向的力平衡方程和摆的转矩平衡方程，通过近似线性化处理建立系统的状态空间表达式；

Ø绘制带状态观测器状态反馈系统的模拟仿真图，要求系统期望的特征值为：

-1，-2，-1+j，-1-j；状态观测器的特征值为：

-2，-3，-2+j，-2-j；

Ø根据模拟仿真图，分别绘制系统综合前后的零输入响应曲线

本文的仿真实验亮点如下：

●对单倒立摆进行传统的传递函数、状态空间建模，全面分析了单倒立摆的物理性质。

●在物理模型建立时，强调了角速度

不能近似为0。

●建立状态空间表达时，选择位移x和角度

作为输出，是一个多输出系统。

但增加了状态观测器设计的复杂度。

●在摆运动过程中，初始扰动角

可达60度左右；而且调节过程中，倒立摆

在（-90,90）范围内变化，符合实际情况。

●在仿真波形图中，展示了状态观测器的跟踪过程，体现了其在反馈控制中起到的作用。

●在初始扰动60度下，分别在原始系统、状态反馈系统、带状态观测器反馈系统，进行了零输入响应、阶跃输入响应的仿真实验。

●解释了带状态观测器反馈时，阶跃输入，但系统前1秒处于稳态的现象的原因。

1单级倒立摆数学模型的建立

倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。

本设计是以一阶倒立摆为被控对象来进行设计的。

传递函数法：

对SISO系统进行分析设计，在这个系统中

作为输出，因为它比较直观，作用力u作为输入。

状态空间法：

状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制，并给小车加一个阶跃输入信号。

本文利用Matlab，对系统的传递函数和状态空间进行分析，并用指令计算状态空间的各种矩阵，仿真系统的开环阶跃响应。

Matlab将会给出系统状态空间方程的A,B,C和D矩阵，并绘出在给定输入为阶跃信号时系统的响应曲线。

在忽略了空气阻力、各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。

假设系统内部各相关参数为：

和

都表示摆杆与垂直向上方向的夹角

都表示摆杆长度1m

M小车质量1kg

m摆杆质量0.1kg

x小车位置

单倒立摆系统力的平衡方程分析

小车、摆杆力的分析图如下所示：

小车的平衡方程：

摆杆的X轴方向力的平衡方程：

摆杆Y轴方向，力的平衡方程：

摆杆的转矩平衡方程：

选择摆杆的质心在端点处，则惯性惯量

方程的线性化处理

当

很小时，可对方程进行线性化。

由于控制的目的当小车在水平方向上运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。

在施加合适的外力下，

比较小，接近于0，

对以上方程进行线性化。

但要注意的是，

不能约等于0，因为摆杆的角速度在实际情况中是比较快的。

但对以上方程先求导会产生

及其平方项，但这些项都和

相乘，于是这些项还是约等于0。

另外，如果先线性化，再求导，则不会产生以上需要考虑的问题。

线性化后方程如下：

线性化方程：

1.1系统的传递函数分析

对SISO系统进行分析设计，可选择传递函数法，在这个系统中

作为输出，因为它比较直观，作用力u作为输入。

根据前面所建的数学模型，消除中间项后，可得到传递函数如下：

带入题目中的数据后可得到传递函数：

在matlab中，求单倒立摆传递函数的阶跃响应：

G=tf（num,den）

step（G）

传递函数阶跃响应

Figure1零初始扰动系统的零输入响应（和预期效果一样，若无初始扰动，系统处于稳态）

Figure2初始扰动0.1弧度，传递函数的零输入响应

Figure3传递函数的波特图以及相角裕度

Figure4原始系统传递函数的根轨迹分析

由以上分析可得原系统是一个不稳定的系统，存在两个极点，其中一个在右半平面

1.2系统的状态空间分析

系统状态方程为：

应用牛顿-欧拉方法，可得到系统状态空间方程为：

以上就是单倒立摆系统的状态空间表达式。

表达式中：

x为小车的位移；

为小车的速度；

（

）为摆杆的角度；

（

）为摆杆的角速度；u为输入；y为输出。

代入题目中的数据后可得单倒立摆的状态空间表达式（其中转动惯量为

）：

>>A=[0100;00-0.89770;0001;009.87480];

B=[0;0.9924;0;-0.916];

C=[1000;0010]

D=[0;0]

GSS=ss（A,B,C,D）

>eig（GSS）

ans=

0

0

3.1424

-3.1424

开环系统的阶跃响应：

图中上方是位移输出，下方是角度输出。

Figure5阶跃响应，图中上方是位移输出，下方是角度输出

从状态空间分析可知，原系统不稳定，存在四个极点，有两个位于原点处，一个处于右半平面。

阶跃响应也呈发散状。

2系统的状态反馈闭环系统设计

Figure6状态反馈闭环系统

在状态空间中，可通过状态反馈求取K阵，以任意配置极点，达到设计要求。

但状态反馈必须要求系统完全可控，现进行可控性分析。

AC=A-B*K；B矩阵不变；u=r-K*x;C矩阵不变

在MATLAB中，输入

Tc=ctrb（A,B）;

rank（Tc）;

Tc=

00.992400.8223

0.992400.82230

0-0.91600-9.0453

-0.91600-9.04530

Ans=4.

可知，可控性矩阵满秩，系统完全可控。

要求系统期望的特征值为：

-1，-2，-1+j，-1-j

P=[-1-2-1+i-1-i];

K=place（A,B,P）;

AC=A-B*K;

eig（AC）

GCS=ss（AC,B,C,D）;

由以上指令可求得K矩阵：

验证配置的极点是否正确：

Figure7零初始条件下，状态反馈系统的阶跃响应，图中上方是位移输出，下方是角度输出。

由图可知，倒立摆在阶跃输入下，摆动角度范围是（-4.6，2.29）度。

最终位移输出是-2.25m。

Figure8初始扰动弧度为1（60度），系统的零输入响应

小结：

此节内容设计了系统的状态反馈，并按要求配置了系统极点。

分析了系统的阶跃响应和60度初始扰动情况下，系统的零输入响应。

由于系统极点配置在S平面的左半平面，可知是一个稳定的系统，从系统的阶跃响应和零输入响应可得到验证。

3状态观测器的设计

Figure9观测器设计图，上方为原系统，下方为观测器

在设计系统的观测器前，必须对系统可观性进行判定，否则不能设计系统的状态观测器。

系统可观性判定：

由上可知，系统可观测。

根据系统的要求配置极点，由于一般要求观测器响应速度要快所以配置的极点更靠左些。

状态观测器的特征值为：

-2，-3，-2+j，-2-j

根据以下指令求出观测器的G矩阵

PS=[-2-3-2+i-2-i];

G=place（A',C',PS）'

G=

4.81040.0084

5.8233-0.4745

-1.10744.1896

-1.898514.8885

>>AO=A-G*C

AO=

-4.81041.0000-0.00840

-5.82330-0.42320

1.10740-4.18961.0000

1.89850-5.01370

现在测试系统的跟踪性能。

设计状态观测器，并将观测器输出和原始系统输出进行比较。

Figure10观测器的跟踪性能（四条曲线，表示原始系统的两个输出）

放大后可以看到，观测器输出并不是和系统输出完全一致。

Figure11放大后观察观测器输出（虚线为实际系统输出，实线为观测器跟踪）

小结：

此节设计了状态观测器，并且测试了其跟踪性能。

4带状态观测器的状态反馈闭环系统

Figure12带观测器的闭环控制系统

带状态观测器的闭环控制系统，如上图所示。

由图可知，我们需要设计G矩阵和K矩阵。

在前文中，我们已经设计了K矩阵和G矩阵，所以按系统框图搭建即可。

在搭建仿真图时，由于G矩阵是个两列的矩阵，所以观测器的闭环系统会复杂不少。

搭建的仿真图如下所示：

Figure13观测器反馈的闭环控制系统

Figure14零初始条件下，系统的零输入响应

零初始条件，系统的零输入响应：

可以看到系统处于稳定状态，和预期相符。

状态观测器并没有使之不稳定。

无扰动的阶跃响应：

零初始条件下，系统的阶跃响应。

零初始状态下，系统的阶跃响应：

可以看到系统的开始的1s处于稳定状态。

理论上，阶跃输入，系统应该立即有所反应，是系统达到平衡状态，但仿真显示系统第一秒是稳定的，系统没有任何动作。

所以我们查看一下阶跃输入波形：

Figure16阶跃信号的波形

由阶跃输入波形可知，阶跃输入在1秒时才有输出，所以第一秒系统实际处于零初始零输入响应状态。

带扰动的系统的阶跃响应：

初始扰动1弧度，即60度情况下，位移输出不为0

Figure17初始扰动1弧度，系统的阶跃响应

Figure18初始扰动1弧度，观测器的阶跃响应

Figure19

初始扰动角度为60度时，系统的零输入响应：

由图可知，系统最终都能在7秒时稳定，且倒立摆的摆动角度范围在（-90，+90）范围内。

Figure1560度扰动下系统的零输入响应

观测器输出

Figure16扰动60度观测器的零输入响应

5设计小结

状态空间分析比传递函数分析更为准确全面。

状态反馈相比观测器反馈设计要简单很多，但是观测器仍然是非常重要的反馈设计手段。

本文对单倒立摆进行传统的传递函数、状态空间建模，全面分析了单倒立摆的物理性质。

建立状态空间表达时，选择位移x和角度

作为输出，是一个多输出系统。

但增加了状态观测器设计的复杂度。

本文所做的仿真实验达到了如下效果：

（1）在摆运动过程中，初始扰动角

可达60度左右；而且调节过程中，倒立摆

在（-90,90）范围内变化，符合实际情况。

（2）解释了带状态观测器反馈时，阶跃输入，但系统前1秒处于稳态的现象的原因。

（3）分别在原始系统、状态反馈系统、带状态观测器反馈系统，在初始扰动60度下，进行了零输入响应、阶跃输入响应的仿真实验。

有待进一步解决的问题是：

（1）系统的优化设计，进一步缩短调节时间，减小超调量；极点选择的优化设计。

（2）设计控制算法，达到系统的最优控制。

（3）将数学控制模型设计为实际的电路控制，由于在仿真中都是数学表达式，相对于实际系统中的模块有不少差距。

所以根据理论设计为实物，进行验证是很有必要的。

在这次课程设计中，我遇到了很多问题，但都通过自己的努力把它们一一解决，很有成就感。

并且能有机会和全班同学一起分享，也是一个非常愉快激动的过程。

同时由于设计时间比较短，所以还有很多问题有待进一步研究解决。