19版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形32同角三角函数的基本关系及诱导公式学案文.docx
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19版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形32同角三角函数的基本关系及诱导公式学案文
3．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
[知识梳理]
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
＝tanα
.
2．三角函数的诱导公式
[诊断自测]
1．概念思辨
（1）存在角α，β，使sin2α＋sin2β＝1.（ ）
（2）若sin（α－37°）＝
，则cos（α＋53°）＝－
.（ ）
（3）若sin（kπ－α）＝
（k∈Z），则sinα＝
.（ ）
（4）诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化；其中的“符号”与α的大小无关．（ ）
答案
（1）√
（2）√ （3）× （4）√
2．教材衍化
（1）（必修A4P29B组T2）已知cos
＝
，且α∈
，则tanα＝（ ）
A.
B.
C．－
D．±
答案 B
解析 因为cos
＝
，所以sinα＝－
.显然α在第三象限，所以cosα＝－
，故tanα＝
.故选B.
（2）（必修A4P71T3）设函数f（x）＝
－
，且f（α）＝1，α为第二象限角，则tanα的值（ ）
A.
B．－
C.
D．－
答案 B
解析 ∵函数f（x）＝
－
，且f（α）＝1，α为第二象限角．
∴
－
＝
－
＝－
－
＝－2tanα＝1，∴tanα＝－
.
故选B.
3．小题热身
（1）（2018·石家庄一模）已知f（α）＝
，则f
的值为（ ）
A.
B．－
C.
D．－
答案 A
解析 ∵f（α）＝
＝cosα，
∴f
＝cos
＝cos
＝cos
＝
.故选A.
（2）（2017·桂林模拟）若sin
＝
，则cos
＝________.
答案 －
解析 cos
＝cos
＝sin
＝－sin
＝－
.
题型1 同角三角函数关系式的应用
（2017·杭州模拟）已知－
.
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求tanx；
（3）求
的值．
本题可采用方程组法、平方法、“1”的巧用，切弦互化．
解
（1）∵sinx＋cosx＝
，∴（sinx＋cosx）2＝
2，
即1＋2sinxcosx＝
，∴2sinxcosx＝－
.
∵（sinx－cosx）2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝1－2sinxcosx＝1＋
＝
.①
又∵－
0，
∴sinx－cosx<0.②
由①②可知sinx－cosx＝－
.
（2）由已知条件及
（1）可知
解得
∴tanx＝－
.
（3）由
（1）可得
＝
＝
＝
.
∴
＝
.
[结论探究1] 在本典例条件下，求
的值．
解
＝
＝
＝
.
[结论探究2] 在本典例条件下，求sin2x＋sinxcosx的值．
解 sin2x＋sinxcosx＝
＝
＝
＝－
.
方法技巧
同角三角函数关系式的应用方法
1．利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用
＝tanα可以实现角α的弦切互化．见典例
（1）．
2．由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
3．sinα，cosα的齐次式的应用：
分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．见结论探究2.
冲关针对训练
1.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如右图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan
＝________.
答案 －7
解析 依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sinθ－5cosθ＝1
，即有sinθ－cosθ＝
.从而（sinθ＋cosθ）2＝2－（sinθ－cosθ）2＝
，则sinθ＋cosθ＝
，因此sinθ＝
，cosθ＝
，tanθ＝
，故tan
＝
＝－7.
2．（2018·阿勒泰调研）已知α为第二象限角，则
cosα
＋sinα
＝________.
答案 0
解析 原式＝cosα
＋sinα·
＝cosα
＋sinα
，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα
＋sinα
＝－1＋1＝0，即原式等于0.
题型2 诱导公式、同角三角函数关系的综合应用
角度1 化简与求值
（2017·东平月考）
（1）化简：
；
（2）求值：
.
（1）切化弦、转化法．
（2）配方法，根式化简．
解
（1）
＝
＝1.
（2）
＝
＝
＝1.
角度2 sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα三者之间的关系问题
（2018·葫芦岛模拟）
（1）已知sinx－cosx＝
，求sin4x＋cos4x的值；
（2）已知sinx＋cosx＝－
（0转化法、平方法．
解
（1）将sinx－cosx＝
，两边平方得：
（sinx－cosx）2＝
1－2sinxcosx＝
，
∴sinxcosx＝
，
则sin4x＋cos4x＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2xcos2x
＝1－2sin2xcos2x＝
.
（2）∵sinx＋cosx＝－
（0∴cosx<0，sinx>0，即sinx－cosx>0，
把sinx＋cosx＝－
，①
两边平方得1＋2sinxcosx＝
，即2sinxcosx＝－
，
∴（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝
，
即sinx－cosx＝
，②
联立①②，解得sinx＝
，cosx＝－
，
∴cosx－2sinx＝－
.
方法技巧
化简与求值问题的常见类型及求解策略
1．知弦求弦问题，利用诱导公式及同角的平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．
2．知切求弦问题，利用同角的商数关系
＝tanα化为sinα＝cosα·tanα的形式，再结合平方关系求解．
3．知弦求切问题，结合平方关系，三个关系式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα可进行相互转化，此时要注意
＝tanα的灵活运用．见角度2典例．
提醒：
巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有
－α与
＋α；
＋α与
－α；
＋α与
－α等，常见的互补关系有
＋θ与
－θ；
＋θ与
－θ等．
冲关针对训练
1．（2017·衡水模拟）已知cos
＝
，且－π<α<－
，则cos
等于（ ）
A.
B.
C．－
D．－
答案 D
解析 因为
＋
＝
，
所以cos
＝sin
＝sin
.
因为－π<α<－
，所以－
<α＋
<－
.
又cos
＝
>0，所以－
<α＋
<－
，
所以sin
＝－
＝－
＝－
.故选D.
2．（2017·启东市校级期中）已知α∈
，且f（α）＝
cosα·
＋sinα·
.
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝
，求
＋
的值．
解
（1）∵α∈
，
∴sinα∈（0,1），cosα∈（0,1），
∴f（α）＝cosα·
＋sinα·
＝cosα·
＋sinα·
＝1－sinα＋1－cosα＝2－sinα－cosα.
（2）∵f（α）＝
＝2－sinα－cosα，
∴sinα＋cosα＝
，
∴两边平方可得1＋2sinαcosα＝
，解得sinαcosα＝
，
∴
＋
＝
＝
＝
＝
.
1．（2016·全国卷Ⅲ）若tanα＝
，则cos2α＋2sin2α＝（ ）
A.
B.
C．1D.
答案 A
解析 当tanα＝
时，原式＝cos2α＋4sinα·cosα
＝
＝
＝
＝
.故选A.
2．（2017·湖南衡阳二模）已知θ∈
且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈（0,1），则tanθ的可能取值是（ ）
A．－3B．3或
C．－
D．－3或－
答案 C
解析 sinθ＋cosθ＝a，两边平方可得2sinθ·cosθ＝a2－1，由a∈（0,1）得sinθ·cosθ<0，
又∵θ∈
，∴cosθ>0，∴sinθ<0，
θ∈
，又由sinθ＋cosθ＝a>0知|sinθ|<|cosθ|，∴θ∈
，从而tanθ∈（－1,0）．故选C.
3．（2017·兴庆区校级期中）若θ∈
，化简
＝（ ）
A．sinθ－cosθB．cosθ－sinθ
C．±（sinθ－cosθ）D．sinθ＋cosθ
答案 B
解析 θ∈
，cosθ>sinθ，
＝
＝|sinθ－cosθ|＝cosθ－sinθ.故选B.
4．（2018·湖南模拟）已知sinα＋
cosα＝
，则tanα＝________.
答案
解析 已知等式两边平方得
（sinα＋
cosα）2＝sin2α＋2
sinαcosα＋2cos2α＝3，
∴
＝
＝3，
整理得（
tanα－1）2＝0，
解得tanα＝
.
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．（2017·郑州期末）若tan（5π＋α）＝m，则
的值为（ ）
A.
B.
C．－1D．1
答案 A
解析 由tan（5π＋α）＝m，得tanα＝m.
原式＝
＝
＝
＝
.
故选A.
2.
化简的结果是（ ）
A．sin3－cos3B．cos3－sin3
C．±（sin3－cos3）D．以上都不对
答案 A
解析 ∵sin（π－3）＝sin3，cos（π＋3）＝－cos3，
∴原式＝
＝
＝|sin3－cos3|.
∵
<3<π，∴sin3>0，cos3<0.
∴原式＝sin3－cos3.选A.
3．（2017·梅州模拟）已知α为锐角，且tan（π－α）＋3＝0，则sinα的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由tan（π－α）＋3＝0得tanα＝3，即
＝3，sinα＝3cosα，所以sin2α＝9（1－sin2α），10sin2α＝9，sin2α＝
.又因为α为锐角，所以sinα＝
.故选B.
4．（2017·化德县校级期末）设cos（－80°）＝m，那么tan100°等于（ ）
A.
B．－
C.
D．－
答案 B
解析 ∵cos（－80°）＝m，
∴cos80°＝m，sin80°＝
＝
.
∴tan100°＝－tan80°＝－
.故选B.
5.
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析
＝
＝
＝
.故选B.
6．（2017·雅安模拟）已知sinθ＋cosθ＝
，θ∈
，则sinθ－cosθ的值为（ ）
A.
B
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