北师版文数高考一轮复习 第7章 第1节 简单几何体的结构三视图和直观图.docx

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北师版文数高考一轮复习第7章第1节简单几何体的结构三视图和直观图

第

章　立体几何初步

第一节　简单几何体的结构、三视图和直观图

[考纲传真]　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

（对应学生用书第92页）

[基础知识填充]

1．简单几何体的结构特征

（1）多面体

①棱柱：

两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．

②棱锥：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．

③棱台：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．

（2）旋转体

①圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．

②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．

③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．

2．三视图

（1）三视图的名称

几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图．

（2）三视图的画法

①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图．

③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．

3．直观图

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的

.

[知识拓展]

1．底面是梯形的四棱柱，侧放后易被误认为是四棱台．

2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下．

S直观图＝

S原图形，S原图形＝2

S直观图．

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（　　）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（　　）

（3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.（　　）

（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（教材改编）如图711，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是（　　）

图711

A．棱台B．四棱柱

C．五棱柱D．简单组合体

C　[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]

3．（2018·兰州模拟）如图712，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

【导学号：

00090224】

图712

A．三棱锥

B．三棱柱

C．四棱锥

D．四棱柱

B　[由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，

经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．]

4．（2016·天津高考）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的主视图与俯视图如图713所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）

图713

B　[由几何体的主视图和俯视图可知该几何体为图①，

故其侧（左）视图为图②.]

5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．

2π　[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，

所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]

（对应学生用书第93页）

简单几何体的结构特征

（1）下列说法正确的是（　　）

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

（2）以下命题：

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为（　　）

A．0B．1　　　　　

C．2　　　　　D．3

（1）B　

（2）B　[

（1）如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．

①　　　　　　②

根据棱台的定义，可知C，D不正确．

（2）由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．]

[规律方法]　1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．

2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．

3．因为棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．

[变式训练1]　下列结论正确的是（　　）

【导学号：

00090225】

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

D　[如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．

　　　　　　　　　　　①　　　　　　　　　　　　②

C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．

由母线的概念知，选项D正确．]

简单几何体的三视图

角度1　由简单几何体的直观图判断三视图

（1）（2018·肇庆模拟）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（　　）

（2）（2018·秦皇岛模拟）如图714，在图

（1）的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为CD、BC的中点，将图

（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图

（2）中的几何体，则该几何体的左视图为（　　）【导学号：

00090226】

图714

（1）C　

（2）D　[

（1）由题意该四棱锥的直观图如下图所示：

则其三视图如图：

（2）依次找出图

（2）中各顶点在投影面上的正投影，可知该几何体的左视图为

]

角度2　已知三视图，判断几何体

（1）某四棱锥的三视图如图715所示，该四棱锥最长棱棱长为（　　）

图715

A．1　　　　B．

C．

　　　　D．2

（2）（2018·内江模拟）如图716，已知三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝

，侧面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（　　）

图716

A．

，1，

B．

，1,1

C．2,1，

D．2,1,1

（1）C　

（2）B　[

（1）由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABCD．

又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，

所以PC为最长棱．

连接AC，则PC＝

＝

＝

.

（2）由题意知，x是等边△PAB边AB上的高，x＝2sin60°＝

，

y是边AB的一半，y＝

AB＝1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z＝

AB＝1；

∴x，y，z分别是

，1,1.]

[规律方法]　1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”的特点确认．

2．根据三视图还原几何体．

（1）对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．

（2）明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．

（3）根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．

易错警示：

对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．

简单几何体的直观图

（1）（2017·桂林模拟）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（　　）

A．

a2　　B．

a2　　

C．

a2　　D．

a2

（2）（2018·广安模拟）如图717所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________.

【导学号：

00090227】

图717

（1）D　

（2）2＋

　[

（1）如图①②所示的实际图形和直观图，

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝

OC＝

a，

在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝

O′C′＝

a，

所以S△A′B′C′＝

A′B′·C′D′＝

×a×

a＝

a2.

（2）根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD＝1，高AB＝2A′B′＝2，下底为BC＝1＋

，

∴

×2＝2＋

.]

[规律方法]　1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（两坐标轴成45°或135°）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变）来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．

2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：

S直观图＝

S原图形．

[变式训练2]　

（1）（2018·南昌模拟）如图718，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是（　　）

图718

A．4B．6

C．8D．10

（2）已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝

，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．

【导学号：

00090228】

（1）D　

（2）

　[

（1）以C为原点，以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，在x轴上取点A，使得CA＝C′A′＝6，

在y轴上取点B，使得BC＝2B′C′＝8，则AB＝

＝10.

（2）如图所示：

因为OE＝

＝1，所以O′E′＝

，E′F＝

，

则直观图A′B′C′D′的面积S′＝

×

＝

.]