包头市中考复习第4章 第2节 三角形与全等三角形.docx

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包头市中考复习第4章第2节三角形与全等三角形

第2节　三角形与全等三角形

与三角形有关的线段

1．三角形按边分类如下：

2．三边关系：

三角形的任意两边之和________第三边；任意两边之差________第三边．

3．三角形的高、中线与角平分线．

与三角形有关的角

1．三角形按角分类如下：

三角形

2．三角形的内角和为________．

3．三角形的一个外角________与它不相邻的两个内角之和；________与它不相邻的任何一个内角．

全等三角形

1．性质：

全等三角形的对应边________，对应角________．

2．判定：

一般三角形有________，________，________，AAS；对于两个直角三角形，还有______．

命题

1．定义：

________一件事情的语句，叫做命题．

2．命题由________和________两部分组成．

3．命题分为________、________两种命题．

证明

证明的一般步骤：

（1）审题，找出命题的________和________；

（2）由题意画出图形，具有一般性；（3）用数学语言写出________、________；（4）分析证明的思路；（5）写出________，每一步应有根据，要推理严密．

三角形的有关知识

【例1】

（1）（2013·温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（C）

A．1，2，4　　　　　B．4，5，9

C．4，6，8D．5，5，11

（2）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（A）

A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°

（1）三角形中任意两边之和大于第三边；

（2）借助三角形的外角性质，连接AA′，利用整体思想可证∠1＋∠2＝2∠A.

全等三角形

【例2】（2014·昆明）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥CF，且AE＝CF.求证：

∠E＝∠F.

解：

由SAS证△ABE≌△CDF，∴∠E＝∠F

由图形结合题中的条件，利用三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等．

在解与三角形的边有关的问题时不要忽视三角形的三边关系．

【例3】（2014·广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（A）

A．17B．15C．13D．13或17

注意分两种情况讨论：

①腰长为3；②腰长为7，最小两线段之和大于第三线段，才能构成三角形．

真题热身

1．（2012·德州）不一定在三角形内部的线段是（C）

A．三角形的角平分线B．三角形的中线

C．三角形的高D．三角形的中位线

2．（2014·宜昌）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形的第三边的长可能是（B）

A．5B．10C．11D．12

3．（2013·泉州）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是（D）

A．等边三角形B．锐角三角形

C．直角三角形D．钝角三角形

4．（2013·湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（A）

A．15°B．25°C．30°D．10°

第4题图）　　　　

第5题图）

5．（2014·深圳）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（C）

A．AC∥DFB．∠A＝∠D

C．AC＝DFD．∠ACB＝∠F

6．（2014·重庆）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：

（1）AF＝CG；

（2）CF＝2DE.

解：

（1）利用ASA可证△AFC≌△CGB，得AF＝CG　

（2）由

（1）得CF＝BG，连接AG，由SAS得△ACG≌△BCG，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵DA⊥AB，∴∠D＋∠ABD＝∠DAG＋∠GAB，∴∠D＝∠DAG，∴GD＝AG，∴DG＝CF，∵∠DAE＝∠GCE＝45°，AE＝EC，∠DEA＝∠GEC，∴△EDA≌△EGC，∴DE＝EG，∴CF＝2DE

第2节　三角形与全等三角形

基础过关

一、精心选一选

1．（2014·福州）下列命题中，假命题是（D）

A．对顶角相等

B．三角形两边的和小于第三边

C．菱形的四条边都相等

D．多边形的外角和等于360°

2．（2013·长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（B）

A．2B．4C．6D．8

3．（2014·益阳）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（A）

A．AE＝CFB．BE＝DF

C．BF＝DED．∠1＝∠2

第3题图）　　

第4题图）

4．（2013·贺州）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（C）

A．4cmB．6cmC．8cmD．9cm

5．（2013·台州）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：

①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断，下列说法正确的是（D）

A．①正确，②错误B．①错误，②正确

C．①②都错误D．①②都正确

6．（2014·连云港）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（C）

A．S1＝

S2B．S1＝

S2

C．S1＝S2D．S1＝

S2

7．（2013·河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°∠C＝100°，如图2，则下列说法正确的是（C）

A．点M在AB上

B．点M在BC的中点处

C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远

D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远

二、细心填一填

8．（2014·广州）已知命题：

“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：

__面积相等的两个三角形全等__，该逆命题是__假__命题（填“真”或“假”）．

9．（2014·长沙）如图，B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝__6__．

第9题图）

第10题图）

10．（2013·柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝__20__．

11．（2013·白银）如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为__AC＝DC等__．（答案不唯一，只需填一个）

第11题图）　

第12题图）

12．（2013·绵阳）如图，AC，BD相交于O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°，则∠AOD＝__75°__．

三、用心做一做

13．（2014·北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：

∠A＝∠E.

解：

利用SAS证△ABC≌△EDB，∴∠A＝∠E

14．（2014·南充）如图，AD，BC相交于O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB.求证：

AB＝CD.

解：

∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，从而可证△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD

15．（2013·义乌）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明，你添加的条件是__DE＝DF，答案不唯一__．（不添加辅助线）

16．（2013·天门）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N，请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

解：

△ABN≌△ADM，△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF等，证明略

17．（2013·聊城）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：

AE＝CE.

解：

过点B作BH⊥CE于H，由AAS可证△CDE≌△BCH，∴CE＝BH，又BH＝AE，∴AE＝CE

挑战技能

18．（2013·东营）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：

①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有（B）

A．4个B．3个C．2个D．1个

第18题图）　　　

第19题图）

19．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（B）

A．130°B．120°C．110°D．100°

20．（2014·泰安）如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.

（1）求证：

∠FMC＝∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗？

并说明理由．

解：

（1）∵AD＝DE，AD⊥DE，AF＝EF，∴MF⊥AE，DF＝AF＝EF，又∠ABC＝90°，∴∠ACB＋∠CAB＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠AMF＝∠FCD，∴△DFC≌△AFM（AAS），∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM　

（2）AD⊥MC.理由：

由

（1）∠MFC＝90°，MF＝CF，∴∠FCM＝45°，又∠DEF＝45°，∴DE∥MC，∵AD⊥DE，∴AD⊥MC

21．（2013·襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

（1）连接BE，CD，求证：

BE＝CD；

（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.

①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上；

②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？

并给予证明．

解：

（1）由SAS证△BAE≌△DAC即可　

（2）①60°　②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．证明：

由旋转可知，AB′与AD重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝

∠ABD＝

×60°＝30°，DP∥BC.∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝

∠ACE＝

×60°＝30°，又∵DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°，∴BD′＝CD′，∴△BDD′≌△CPD′（ASA）

22．（2013·齐齐哈尔）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC＝45°，点M，N分别是DE，AE的中点，连接MN交直线BE于点F.当点D在CB边的延长线上时，如图1，易证MF＋FN＝

BE.

（1）当点D在CB边上时，如图2，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．

（2）当点D在BC的延长线上时，如图3，请直接写出你的结论．（不需要证明）

解：

（1）不成立，猜想：

FN－MF＝

BE.理由：

连接AD，∵M，N分别是DE，AE的中点，∴MN＝

AD.∵在△ACD与△BCE中，AC＝BC，∠ACB＝∠BCE，DC＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE.∵MN＝FN－MF，∴FN－MF＝

BE　

（2）图3结论：

MF－FN＝

BE.证明：

连接AD，∵M，N分别是DE，AE的中点，∴MN＝

AD.∵在△ACD与△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴MN＝

BE，∵MN＝FM－FN，∴MF－FN＝

BE