概率论与数理统计及其应用课后答案浙江大学盛骤版.docx
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概率论与数理统计及其应用课后答案浙江大学盛骤版
第1章随机变量及其概率
1,写出下列试验的样本空间：
（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录
投掷的次数。
（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，
记录投掷的次数。
（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4）抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰
子，观察出现的各种结果。
解：
（1）S二｛2,345,6,7｝；
（2）S二｛2,3,4,｝；（3）S二｛H,TH,TTH,TTTH，…｝；
（4）S=｛HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6｝。
2，设A,B是两个事件，已知P（A）=0.25,P（B）=0.5,P（AB）=0.125,，求
P（AB）,P（AB）,P（AB）,P[（AB）（AB）]。
解:
P（A一B）=P（A）P（B）-P（AB）=0.625，
P（AB）二P[（S_A）B]二P（B）_P（AB）=0.375，
P（AB）=1-P（AB）-0.875，
P[（A-B）（AB）HP[（A-B）（S_AB）]二P（A-B）_P[（A-B）（AB）]二0.625_P（AB）二0.5
3,在100,101,…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：
在100,101,…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为899=648，所以所求得概率为
竺=0.72
900
4,在仅由数字0，1,2,3,4,
5组成且每个数字之多出现一次的全
体三位数中，任取一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；
（2）求该
数大于330的概率。
解：
仅由数字0,1,2,3,4,
5组成且每个数字之多出现一次的全
体三位数的个数有554=100个。
（1）该数是奇数的可能个数为
443=48个，所以出现奇数的概率为
48=0.48
100
（2）该数大于330的可能个数为245454=48，所以该数大于
330的概率为
辱0.48
100
5,袋中有5只白球,
4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列
事件的概率。
（1）
4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）
4只中至少有2只红球。
（3）
4只中没有白球。
（1）所求概率为C5C4C3
Ct
8
33；
⑵所求概率为沁毕虫疇嶋；
Cl2
C4
⑶所求概率为lb495-165
357
—。
6,一公司向M个销售点分发n（n:
:
：
M）张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k（k乞n）张提货单的概率。
解：
根据题意，n（n：
：
：
M）张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到k（k_n）张提货单的可能分法有
C：
（M-1）n±种，所以某一特定的销售点得到k（k乞n）张提货单的概率为
kn_k
Cn（M-1）
7,将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。
若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。
（1）求3只球至少有1只配对的概率。
（2）求没有配对的概率。
解：
根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！
=6
种：
123，132，213，231，312，321;没有1只配对的放法有2种：
312,231。
至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。
所以
（2）没有配对的概率为2」；
63
（1）至少有1只配对的概率为1-丄=2。
33
P（AB|A一B）,P（A|AB）.
（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。
连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
解：
（1）由题意可得P（A_.B）=P（A）•P（B）—P（AB）=0.7，所以
P（A|B）=
P（AB）
P（B）
0.1
0.3
1
P（B|A）=
P（AB）
P（A）
0J1
0.55
P（A|AB）
P[A（AB）]
P（AB）
P（A）5
P（AB厂7
P（AB|AB）=
P[AB（AB）]
P（AB）
P（AB）_1
P（AB）一7
P（A|AB）=血叫込=1。
P（AB）P（AB）
（2）设A（i=1,2,3,4）表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。
那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）
HA1A2A3A4）=P（A）P（A|A）P（A3|AA2）P（A4IAA2A3）
11121312
840
20592
=0.0408
9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。
解：
设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只
也是红球”记为事件B。
则事件A的概率为
22215
P（A）=2（先红后白，先白后红，先红后红）
43436
所求概率为
P（B|A）二
P（AB）
P（A）
10,一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。
以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。
（1）P（A）,P（B）；
（2）P（B|A）；（3）P（B|A）；（4）P（A|B）；（5）P（A|B）。
解：
（1）根据题意可得
P（A）=P（AB）P（AB）二5%45%=50%；
P（B）二P（BA）P（BA）二5%10%=15%；
（2）根据条件概率公式：
P（B|A）二P（AB）0.1；
P（A）50%
（3）
P（B|A）二
P（BA）
P（A）
*心；
1-50%
P（A|B）二連二孕
P（B）1—15%
9
石;
（5）
P（A|B）二
P（AB）
P（B）
11,在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。
解：
根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e,1个r。
从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11;第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10;类似地，可以得到6次抽取的概率。
最后要求的概率为
12313二丄•或者CQCQCQL。
111098763326409240'a619240
12,据统计，对于某一种疾病的两种症状：
症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。
在患这种病的人群中随机地选一人，求
（1）该人两种症状都没有的概率；
（2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：
（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状
都没有的概率为1-20%-30%-10%=40%；
（2）至少有一种症状的概率为1-40%=60%；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为
13,一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随
机选择的进入讯号无误差地被接受的概率
通讯线
通讯量的份额
无误差的讯息的份额
1
0.4
0.9998
2
0.3
0.9999
3
0.1
0.9997
4
0.2
0.9996
解：
设“讯号通过通讯线
i进入计算机系统”
记为事件A（=1,23,4），
“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。
则根据全概率公式有
4
P（B）「P（A）P（B|AJ=0.40.99980.30.99990.10.99970.20.9996
i1
=0.99978
14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。
已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。
解：
设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名
被检验者确实患有关节炎”记为事件B。
根据全概率公式有
P（A）二P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）=10%85%90%4%=12.1%，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为
P（B|A）二
P（BA）
P（A）
P（B）P（A|B）
1-P（A）
10%（1-85%）
1-12.1%
=17.06%
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为
15,计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1,打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。
已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打
字的概率分别为多少？
解：
设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M,“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件Ni,N2,N3。
则根据全概率公式有
3
P（M）二yP（Ni）P（M|Ni）二0.60.010.30.050.10.04二0.025，
i4
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
P（N1|M）二
P（NJP（M|NJ
P（M）
0.60.01
0.025
-0.24
P（N2IM）二
P（N2）P（M|N2）
P（M）
0.30.05
0.025
=0.60
P（N3|M）
P（N3）P（M|N3）
P（M）
0.10.04
0.025
=0.16
16,在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。
又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。
求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：
设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信
的”记为事件B。
根据Bayes公式，所要求的概率为
P（B|AH^
P（B）P（A|B）
95%1
99.9947%
P（A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）95%15%0.1%
17,将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”,“两次得同一面”。
试验证A和B,B和C,C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。
解：
根据题意，求出以下概率为
1
P（A"B匕，
1
P（AB^2
P（BC）=P（CA）二
1
p（Abc）j
所以有
P（AB）=P（A）P（B），
P（AC）二P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C）。
即表明A和B，B和C，C和A两两独立。
但是
P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
所以A,B,C不是相互独立
18,设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,
0.7,0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求
（1）恰有一人进球的概率；
（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。
解：
设“A,B,C进球”分别记为事件叫0=1,2,3）。
（1）设恰有一人进球的概率为5，则
p二P31N2N3}PNN2N3}P{N1N2N3}
二P（N1）P（N2）P（N3）p（Njp（N2）p（N3）p（Njp（N2）p（N3）（由独立性）
=0.50.30.40.50.70.40.50.30.6
-0.29
（2）设恰有二人进球的概率为P2，则
P2二P{NiN2“}卩币小2弘}P{NiN>3}
二P（Ni）P（N2）P（N3）P（Ni）P（N2）P（N3）P（Ni）P（N2）P（N3）（由独立性）
=0.50.70.40.50.70.60.50.30.6
=0.44
（3）设至少有一人进球的概率为P3，则
p3=^P{N1N2N3}P（N1）P（N2）P（N3）=^0.50.30.4=0.94。
19,有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的
A-RH+血才能得救。
设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。
求病人能得救的概率。
解：
根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。
问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？
因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.60.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为0.620.4=0.144；
第四次才检验出该型血的概率为0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
20,—元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。
如图设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为P，试求系统的可靠性。
12
第20题
解：
设“元件i能够正常工作”记为事件A（i二123,4,5）
那么系统的可靠性为
P{（AA2）一（人）一（A4AJ}=P（AA2）P（A3）P34A5）
-P（AA2A3）-P（AA2A4A5）-P（A3AA5）P（A1A2A3A4A5）
二p（A）p（A2）P（AOp（A4）p（A5）-p（a）p（A2）p（A3）-p（a）p（A2）p（A4）p（A5）-P（A3）P（A4）P（As）P（A）P（A2）P（A3）P（A0P（A5）
223435
二ppp「p「p「pp
2345
=p2p-2p-pp
21,用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。
若真含
有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4,0.6。
今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。
（注：
本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：
设“一产品真含有杂质”记为事件A,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。
则要求的概率为P（A|B），根据Bayes公式可得
P（A|B）二
P（A）P（B|A）
P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）
又设“产品被检出含有杂质”记为事件C,根据题意有P（A）=0.4，而
且P（C|A）=0.8,P（C|A）=0.9，所以
P（B|A）二C；0.82（1-0.8）=0.384;P（B|A）二C：
（I-0.9）20.9=0.027
故,
P（A|B）
P（A）P（B|A）
P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）
0.4x0.384
0.40.3840.60.027
0.1536
0.1698
二0.9046
（第1章习题解答完毕）
随机变量及其分布
1,设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人
为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。
解：
显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k-1个人都不是A型血，因此有
P{Y=k}=0.4（1—0.4）k」=0.4o.6k」，（k=1,2,3,…）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）
2,水自A处流至B处有3个阀门1，2,3,阀门联接方式如图所示。
当信号发出时各阀门以0.8的概率打
开，以X表示当信号发岀时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。
设各阀门的工作相互独立。
解：
X只能取值0，1，2。
设以A（i二1,2,3）记第i个阀门没有打开这一事件。
则
P{X=0}=P{A1（A2A3）}=p{（AA2）一（AA3）}
二P{AA}p{AA3}-p{AA2A3}=p（a）p（A2）P（AJP（A3）-P（A）P（A2）P（A3）
二（1-0.8）2（1-0.8）2-（1-0.8）3=0.072，
类似有P{X=2}=P{A1（A2A3）HP（AAA）=0.83=0.512，
P{X=1}=1-P{X=0}—P{X=2}=0.416,综上所述，可得分布律为
X
0
1
2
P{X=k}
0.072
0.512
0.416
3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是
1
否有健康保险相互独立）。
问X服从什么分布？
写岀分布律。
并求下列情况下无任何健康保险的概率：
（1）
恰有3人；
（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：
根据题意，随机变量X服从二项分布B（15,0.2），分布律为
P（X=k）=G；0.2k0.815」，k=0,1,2,15
（i）P（X=3）=C；50.230.812=0.2501,
（2）P（X_2）=1-P（X=1）-P（X二0）=0.8329；
（3）P（1乞X空3）=P（X=1）P（X二2）P（X二3）=0.6129；
（4）P（X5）=1-P（X=5）-P（X二4）-P（X二3）-P（X二2）
-P（X=1）-P（X=0）=0.0611
4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有
k（0:
:
:
k-n）个元件正常工作时，系统正常工作。
现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设
每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：
对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。
而系统中正常工作的元件个数X
服从二项分布B（5,0.9），所以系统正常工作的概率为
55
kk5_k
'P（X二k）='C50.90.1=0.99144
k=3k-3
5,某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常岀现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现
取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。
（设各产品是否为次品相互独立）
解：
根据题意，次品数X服从二项分布B（8000,0.001），所以
6
P（X：
：
7）=P（X乞6）八c80000.001k0.9998000*
k=0
（8000O.001）ke*0000.001
8ke"
k!
k=0
k!
=0.3134（查表得）
6,
（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数x〜二（10），求P{X15}
（2）已知随机变量x〜二（■），且有P{X•0}=0.5，求P{X_2}。
解：
（1）P{X15}=1—P{X乞15}=1—0.9513=0.0487；
（2）根据P{X>0}=1—'P{X=C}—^q~=0.5，得到，=In2。
所以
X~二（2t）（设各人收到讯息与否相互独
（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰
5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。
P{X_2}J—P{X=0}-P{X=1}=1一0.5-e=（仁In2）/2：
0.1534
7,—电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数立）。
（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。
有4人未收到讯息的概率。
（3）写岀在一给定的一分钟内，所有
解：
在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X〜二
（2）
（1）P{X=0}=e<-0.1353；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则丫〜B（5,0.1353），所以
P{Y二4}二C；0.13534（1-0.1353）=0.00145。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为
8,—教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。
他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以
X表示铃响
至结束讲解的时间。
设X的概率密度为f（x）=«
1）确定k；
（2）求P{X一丄}；
其他3
（3）求P{1
4
<1}；（4）
2
2求P{X.3}。
解：
（1）根据1二
f（x）dx二
k
kx2dx「，得到
（2）
1/3
3x2dx=
27
（3）
P{^1X
4
1/2
1
乞1}「3xdx=
1/4
64
22
P{X}=.3xdx=1-
（2-3
2/3
19
27
r2
r“、0.003x2
9,设随机变量X的概率密度为f（X）=
0乞x^10
其他
，求t的方程t
2Xt5X一4=0
从而要求X_4或者X乞1。
因为
1
P{X<1}=0.003x*2*dx=0.001,P{X_4}
10
0.003x2dx=0.936
4
所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10,设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
f（x）=S100
i0
（1）
（2）
（3）
求寿命不到一周的概率;求寿命超过一年的概率;已知它的寿命超过
20周，求寿命超过26周的条件概率。
解：
（1）
1
P{X:
:
1}=
x_x2/200
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