完整word高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
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完整word高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章线性空间
1.设MN,证明：
MIN
M,MUNN。
证任取M,由MN,得N,所以MN,即证MNIM。
又因
MN
M,故MIN
M。
再证第二式，任取M或N,但MN,因此无论
哪一种情形，都有N,此即。
但N
MN,所以MUN
N。
2.
M（NL）（MN）（ML）
，M（NL）（MN）（ML）
。
证明
证xM（NL）,则xM且xNL.在后一情形，于是xMN或xML.
所以x（MN）（ML），由此得M
（NL）（M
N）（M
L）。
反之，若
x（MN）（M
L），则xMN或xML.在前一情形，x
M,xN,因此
xNL.故得xM（NL）,在后一情形，因而xM,xL,x
NUL，得
xM（NL）,故（MN）（ML）M（NL）,
于是M（NL）（MN）（ML）。
若xMU（NIL），则xM，xNIL。
在前一情形X
x
MUN，且XMUL，因而x（MUN）。
I（MUL）在后一情形，x
N,x因而xMUN,且，即X（MN）（ML）所以
L,XMULUIU
（MUN）I（MUL）MU（NUL）故
MU（NIL）=（MUN）I（MUL）
即证3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2）设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和乘法；
3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算（a1，b1）（a
b（a1a2，b1b2a1a2）
（kk1）2
k。
（a，b1）=（ka1，kb1+a1
12
6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
koa0；
7）集合与加法同6），数量乘法定义为：
koaa；
8）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
ab
ab，
koa
ak；
解1）否。
因两个
n次多项式相加不一定是
n次多项式，例如
（xn5）（xn2）3。
2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}因f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）
所f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的
1~8条，故
v构成线性空间3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的
1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明：
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
（A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），A+B仍是反对称矩阵（KA）KAK（A）（KA），所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间4）否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是2
（-a，a-b）。
对于数乘：
。
（，）（。
，。
1（11）a2
）（a,b）,
1ab1a1b
2
k.（l.（a,b）
k.（la,lbl（l1）a2）（kla,k[lbl（l1）a2]k（k1）（la）2）
222
（kla,k[lb
l（l1）a2]k（k1）（la）2）（kla,
kl（kl
1）
a2k（k1）（la）2）2222
（kla,
kl（kl
1）a2klb）（kl）.（a,b）,
2（kl）.（a,b）[（kl）a,
（k
l）（kl1）a2（kl）b]2k.（a,b）
l.（a,b）（ka,kbk（k1）a2）（la,lbl（l1）a222（kala,kb
k（k1）a2k（k1）a2kla2）
22[（kl）a,（k1）（kl1）a2
（kl）b].
2即（kl）（a,b）
k（a,b）l（a,b）。
k[（a1,b1）（a2,b2）]k（a1a2,b1b2a1a2）
＝[k（a1a2）,k（b1b2a1a2
k（k1）（a1a2）2）]，
2
k（a1,b1）k（a2,b2）
k（k
＝（ka1,kb1
2
＝（ka1ka2,kb1
＝（k（a1a2）,k（b1
＝（k（a1a2）,k（b1
1）a12）
（ka2,kb2k（k1）a22）
2
k（k1）a12
kb2k（k1）a22k2a1a2）22
b2a1a2）k（k1）a12k（k1）a22k2a1a2ka1a2）
22
b2a1a2）
k（k1）（a12a22）2），
2即k（a1,b1）（a2,b2）k（a1,b1）k（a2,b2），所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为
7）否，10.。
（kl）,kl2,所以（kl）（k）（l），
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i）ababbaba;
ii）（ab）c（ab）cabca（bc）
a（b
c）;
iii）1是零元：
a
1a1a;
iv）a的负元是1:
a1
a
1
1,且1
a1;
aaaa
v）1aa1a;
vi）（ko（loa））ko（al）
（al）kalkakl
（kl）oa;
vii）（k
l）o
klk
l
（la）;
aaaa（ka）
viii）ko
b）ko（ab）（ab）k
ak
bk
（koa）（kob）.
（a
所以，所给集合R构成线性空间。
4在线性空间中，证明：
1）k002）k（）kk。
证1）k0k（（））kk（）kk
（1）（k（k））00。
2）因为k（）kk（）k,所以k（）kk。
5证明：
在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。
证因为cos2
2cos2
t1，所以1，cos2
t,cos2t式线性相关的。
t
6如果f1（x）,f2（x）,f3（x）是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1（x）k2f2（x）k3f3（x）0，
不妨设k10,则f1（x）
k2f2（x）
k3f3（x），这说明f2（x）,f3（x）的公因式也是f1（x）k1k1
的因式，即f1（x）,f2（x）,f3（x）有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以
f1（x）,f2（x）,f3（x）线性无关。
7在P4中，求向量在基1,2,3,4下的坐标。
设
1）1（1,1,1,1）,2（1,1,1,1）,3（1,1,11）,4（1,1,1,1）,（1,2,1,1）；
2）1（1,1,0,1）,2（2,1,3,1）,3（1,1,0,0）,4（0,1,1,1）,（0,0,0,1）。
abcd1解1）设有线性关系a1
b2
c3
d4abcd2
，则
bcd，
a1abcd
1
在基1,2,
511
1
可得3,4下的坐标为a
b,c
d
。
44
44
a2bc0a1b2c3dabcd0
2）设有线性关系4，则
d0，
3b
abd1
可得在基1,2,3,4下的坐标为a1,b0,c1,d0。
8求下列线性空间的维数于一组基：
1）数域P上的空间Pnn；2）Pnn中全体对称（反对
称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3）第3题8）中的空间;4）实数域上由矩阵A的全
1001
3i
体实系数多项式组成的空间,其中A=00,
。
0
02
2
解1）Pnn的基是Eij}（i,j1,2,...,n）,且dim（Pn
n
）
n2。
...
......
...1...
2）i）令Fij
......，即aijaji
1,其余元素均为零,则
...
1.........
...
...
F11,...,F1n,F22,...,F2n,...,Fnn是对称矩阵所成线性空间Mn
的一组基,所以Mn是
n（n1）维的。
2
...
.........
1...
ii）令Gij......，即aijaji
1,（i
j）,其余元素均为零,则
...
1.........
......
G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn1,n是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基,所以它是
n（n1）维的。
2
所以它是n（n1）
iii）
E11,...,E1n,E22,...,E2n,...,Enn
是上三角阵所成线性空间的一组基
2
维的。
3）任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a,可经2线性表
出，即.a
（log2a）2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
13i
1,n3q
4）因为3
1,所以n
n3q1，
2,
2,n3q
2
1
1E,n3q
于是A2
2
A3
1E，而An
A,n3q1。
1
A2,n
3q2
9.在P4中,求由基1,，2
3,4,到基1,2
3
4的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐
标。
设
1
1,0,0,01
0,1,0,0，2
0,0,1,0
30,0,0,14
2,1,1,1
0,3,1,0
，
5,3,2,1
6,6,1,3x1,x2,x3,x4在1,2,3,4下的坐标；
1
1,2,101
2,1,0,122
1,1,1,1
，2
0,1,2,23
4
1,2,1,131,1,0,1
4
2,1,1,2
1,3,1,2
1,0,0,0在1,2,3,4,下的坐标；
11,1,1,1
1321,1,1,1，2
1,1,1,1
334
1,1,1,14
1,1,0,1
2,1,3,1
，
1,1,0,0
0,1,1,1
1,0,0,1在1,2
3,4下的坐标；
2
056
1（1,2,
3,4
）=（1,2,3,1336
1,
2,3,4）A
解4,）
12=（
11
1013
这里A即为所求由基1,
2,3,4,到1,
2
3,4的过渡矩阵，将上式两边右乘得1，
得（1,2,3,4）=（1,2,3,
4）1，
于是
x1x1
（1,
2,3
4x2=（1,2
3
1
x2，
）4
）
x3
x3
x4x4
所以在基下的坐标为
x1
1
x2，
x3
x4
41111939
11423这里1
=27
9327。
100233
11726279
3
27
2令e1
（1,0,0,0）,e2
（0,1,0,0）,e3（0,0,1,0）,e4
（0,0,0,1）则
1111（1,2,3,4）=（e1,e2,e32121,e4）
11=（e1,e2,e3,e4）A，
1001
11
2021（1,2,3,4）=（e1,e2,e31113,e4）
21=（e1,e2,e3,e4）B，
0112
2
2
将（e1,e2,e3,e4）=（1,
2,3,4）A1
代入上式,得
（1,2,3,4）=（1,2
3
4）A1B，
这里
3365
1313131310015134
11
011
13
131313
A1
=B=
，
234
1
01111313131300
10
3278
13
131313
且A1B即为所求由基1,
2,3,4,到基1
2,3,
4的过渡矩阵，进而有
11
1,0,0,0=（e1,e2,e3,e4）0=（1,2
3
4）A
1
0
0000
3135=（1,
2
3,4
）13，
2
13313
所以在1,
2
3,4下的坐标为3,5,2,3。
1313
13
13
3e1,e2,e3,e4同2，同理可得
11111210A=
1111,B=
111111110301
11
1
11
10111
11
1
1111
1
=
1
111
41
1
11
则所求由1
2
3
4到1,
2,3
4的过渡矩阵为3711442411131
B=442
4。
131
0
444
110
1
44
4
再令a1+b2+c3+d
4，即
11
1011,0,0,0
a,b,c,d
2
2131
a,b,c,d
10，
3104
0
11
1
由上式可解得在下的坐标为1,2
3,4下的坐标为a,b,c,d2,14,3
a1。
22
10．继第9题1）求一非零向量，它在基1,2,3,4与1,2,3,4下有相同的坐
标。
解设在两基下的坐标为x1,x2,x3,x4，则
x1x1
=（1,
2,3,4
x2=（1,
2,3,4
）x2。
）
x3x3
x4x4又因为
（1,2,3,4）=（1,2,3,4）
所以
x1x1
x1
x2x2（A-E）x2x3=A
=0。
x3x3x4
x4
x4
又
2056
1336
=（1,2,3,4）A，
11211013
1
05623
1
231
6
110，AE
110,且1110
1
1
011
2
于是只要令x4c,就有
x12x23x36c
x1x2x3c，
x1x32c
解此方程组得x1,x2,x3,x4=c,c,c,c（c为任意非零常数），
取c为某个非零常数c0，则所求为
c01c02c03c04。
11.证明：
实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1V2，证明：
如果V1的维数与V2的维数相
等，那么V1V2。
证设dim（V1）=r，则由基的扩充定理，可找到V1的一组基a1,a2,.....ar,，因V1V2，
且它们的唯数相等，故a1,a2,.....ar,，也是V2的一组基，所以V1=V2。
13．APnn。
1）证明：
全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）2）当A=E时，求C（A）；
1
2
3）当A=
时，求C（A）的维数和一组基。
..........................
n
证1）设与A可交换的矩阵的集合记为C（A）。
若B,D属于C（A），A（B+D）=AB+AD=BA+DA=（B+D）A，
故B+DC（A）。
若k是一数，BC（A），可得
A（kB）=k（AB）=k（BA）=（kB）A，
所以kBC（A）。
故C（A）构成Pnn子空间。
2）当A=E时，C（A）=Pnn。
3）设与A可交换的矩阵为B=（bij），则B只能是对角矩阵，故维数为n,E11,E22,...Enn
即为它的一组基14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组解若记
100
000
A=0
10000ES，
001
311
abc并设B=a1b1c1
与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。
且a2b2c2
000abc00SB=000a1b1c1000，
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