傅里叶光学基础01.docx

资源描述

傅里叶光学基础01.docx

《傅里叶光学基础01.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶光学基础01.docx（36页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

傅里叶光学基础01.docx

傅里叶光学基础01

专题：

傅里叶光学基础

FundamentalsofFourierOptics

§1.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念

§1.2光波的傅里叶分析

§1.3平面波角谱理论

§1.4透镜的傅里叶变换

§1.5光阿贝成像原理

§1.6光全息术

傅里叶光学：

研究以光作为载波，实现信息传递、变

换、记录和再现的问题。

§1.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念

一、一些常用函数

在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。

常用函数定义图形表示应用

阶跃函数

1x0

step（x）

step（）20

0x0

直边（或刀口）

的透过率

符号函数

sgn（x）0x0

1x0

孔径的一半嵌有

相位板的复振幅

透过率

矩形函数

rect（）

11/2

0else

狭缝或矩孔的透

过率

常用函数定义图形表示应用

三角形函

数

|x|

1x1

（）a

0else

光瞳为矩形的非

相干成像系统的

光学传递函数

狭缝或矩孔的

sinc函数

xsin（x/a）

sinc（）

ax/a

夫琅禾费衍射

图样

高斯函数

Gaus（）exp

激光器发出的

高斯光束

circ（）

圆域函数圆孔的透过率

1xyr

0else

二、傅里叶级数的定义

一个周期性函数g（x），周期为T（频率f=1/T），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三

角傅里叶级数:

gxanfxbnfx

（）cos

（2）sin

（2）

傅里叶系数

在[-T/2,T/2]区间逐项积分：

T2T2T2T2

gxdxdxanfxdxbnfxdxT

（）cos

（2）sin

（2）

（1）nn

22T2T2T2T2

因此有：

ag（x）dx

将公式

（1）两端同乘以cos（2πmfx），并利用三角函数的正交性：

0,formn

sin（mx）sin（nx）dxcos（mx）cos（nx）dx

formn,

sin（mx）cos（nx）dx0,foranymandn

formn

逐项积分：

T2T2

g（x）cos（2mfx）dxcos（2mfx）dx

T2T2=0

T2T2

acos（2nfx）cos（2mfx）dxbsin（2nfx）cos（2mfx）dx

nTnT

（mn）T2

anfxdxT

cos

（2）n

ag（x）cos（2nfx）dx

系数：

T/2

直流分量

ag（x）dx

0/2

T/2

余弦分量的幅度

ag（x）cos2nfxdx

T/2

正弦分量的幅度

bg（x）sin2nfxdx

用傅里叶级数展开表示矩形

周期函数

gxanfxbnfx

（）cos2sin2

f周期信号可分解为直流，基波（）和

fnf

各次谐波（）的线性组合。

随着三角波数量逐渐的增长，

最终会叠加成一个标准的矩形

复指数形式的傅里叶级数

满足狄里赫利条件的周期函数g（x）也可以表示为无限多不同频率的复指数函数的线性组合，即指数傅里叶级数形式

gxcjnfx

（）exp

（2）

为了确定系数，用（exp（j2πmfx）*）乘两端并积分，得：

T2j2mfxT2j2（nm）fx

gxedxcedx

（）

T2T2

右端仅n=m时积分不为零，因此有：

T2j2nfx

g（x）edxcT

T2j2nfx

cg（x）edx

傅里叶系数cn是频率fn/Tnf的函数，称为频谱函数。

利用欧拉公式，可以确定指数傅里叶级数系数cn与三角傅里叶

级数系数an,bn之间的关系：

g（x）0acos（2nfx）bsin（2nfx）

j2nfxj2nfxj2nfxj2nfx

aeeee

0ab

222j

aajbajb

j2nfxj2nfx

0annebnne

222

若令

cajb

nnn

cajb

nnn

则有

g（x）ccejnfxcejnfx

0nn

j2nfx

指数傅里叶级数系数和三角

傅里叶级数系数是同一种级

数的两种表示方法

三、频谱的概念

푔（푥ሻ一个周期变化的物理量既可以在空间（或时间）域x中用描述，

휇푐푛也可以在空间（或时间）频率域中用描述，两者是等效的。

复函数cn:

振幅频谱+相位频谱

*122b

cccabarctan

（）n

nnnnnn

周期信号可分解为直流，基波（0）和各次谐波（）的线性组合。

c关系曲线称为幅度频谱图

关系曲线称为相位频谱图

将一个系统的输入函数展

开成傅里叶级数，在频率

域中分析各谐波的变化，

最后综合出系统的输出函

数，这种处理方法称作频谱分析方法。

锯齿波及它的振幅频谱图形

周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性!

四、傅里叶变换

对非周期函数也可以作傅里叶分析,只是其频率取值不是离散而是连续的。

1.二维傅里叶变换

푔（푥,푦ሻ푥푦

非周期函数在整个无限平面上满足狄里赫利条件，而且

g（x,y）dxdy存在，则有

1gxyGffjfxfydfdfFGff

（,）（,）exp2（）（,）

XYXYXYXY

其中（,）（,）exp2（）（,）

GffgxyjfxfydxdyFgxy

XYXY

Gffg（x,y）（,）

（,）Gff

是函数的傅里叶变换（或称为傅里叶频谱），

XYXY

的作用类似于傅里叶系数，表示各频率成分的权重因子，描述了各复

指数分量的相对幅值和相移

g（x,y）

是频谱函数G（f,f）的傅里叶逆变换。

2.广义傅里叶变换

若函数可以定义为某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每

一个函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原

来函数的广义傅里叶变换。

2.广义傅里叶变换

若函数可以定义为某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每

一个函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原

来函数的广义傅里叶变换。

例如：

对于函数g（x,y）=1，显然它不符合傅里叶变换存在条件，但是可以把它定义为矩形函数序列的极限

g（x,y）limrect（）rect（）

矩形函数的傅里叶变换为

Frectrect2ff

（）（）=sincsinc

根据广义变换定义

Fgx,y=limsincfsincff,f

xyxy

即

1=,

Fff

§1.2光波的傅里叶分析一、单色光波场：

单色光波场中某点P（x,y,z）在t时刻的光振动E（x,y,z,t）可表示为

Ex,y,z,tAx,y,zcos2vtx,y,z

其中，v是光波的时间频率；A（x,y,z）和（x,y,z）分别是P点光振动的振幅和初相位。

根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数：

jvtxyz

Ex,y,z,tAx,y,ze

2,,

二、平面波

其中复振幅为：

UxyzAxyze

（,,）,,j（x,y,z）

沿k方向传播的单色平面波，在光场中

P（x,y,z）点产生的复振幅可以表示为：

Uxyzajkxyz

,expcoscoscos

其中

（1）a是常量振幅；

（2）cos、cos、cos为传播方向的方向余弦，而且有

cos2cos2cos21

改写为

Ux,y,zaexpjkxcosycoszcos

aexpjkz1coscosexpjkxcosycos

引入复数常量A

Aajkz

exp1coscos

xy平面上复振幅分布可以表示为

UxyAjkxy

expcoscos

等位相线的方程

xyC

coscos

三、平面波的空间频率

Ux,yAexpjkxcosycos

首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0,

（1）xy平面上复振幅分布为

expcos

UxyAjkx

（2）xy平面内，等位相线是一组

垂直于x轴且等间距平行线。

复振

幅在xy平面周期分布的空间周期

可以用位相差2的两相邻等位相

线的间隔X表示：

cos2

kcoscos

空间周期的倒数即为空间频率

1cos

xy平面上的复振幅分布

exp2

UxyAjfx

（3）光沿Z方向传播

xy平面内等相位线是一组斜平行线。

则沿x和y方向的空间

频率为

1cos

expcoscos

UxyAjkxy

复振幅

Ux,yAexpj2fxfy

（4）光沿任意方向传播

1cos

cos

Ux,y,zAexpjkxcosycoszcos

复振幅

UxyzAjfxfyfz

,exp2

xyz

空间频率

coscoscos1

222

ffff

2222

xyz

四、复振幅分布的空间频谱

（角谱）

平面波

UxyAjfxfy

exp2

利用傅里叶变换对位于单色光场中的xy平面上的复振幅分布进行傅里叶

分析，有：

Ux,yAf,fexpj2fxfydfdf

xyxyxy

其逆变换为：

Af,fUx,yexpj2fxfydxdy

xyxy

coscos

其中，

平面上的复振幅分布U（x,y）看作频率不同的复指数分量的线性组合，

各频率分量的权重因子是A（x,y），而且

exp2

jfxfy

代表一个传播方向余弦为（cos=x、cos=y）的单色平面波。

复振幅分布可以看作为不同方向传播的单色平面波分量

的线性叠加,A（x,y）则为复振幅分布U（x,y）的空间频谱。

§1.3平面波角谱理论

一、角谱的定义

根据傅里叶逆变换可以看出，A（x,y）也可用方向余弦表示

coscoscoscos

A,Ux,yexpj2xydxdy

此时，称A（cos/，cos/）为xy平面上复振幅分布的角谱。

引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：

（1）单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的

单色平面波的叠加;

（2）在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们的

值分别取决于角谱的模和幅角。

二、角谱的传播

物场像场

E（x,y,z）

单色平面波入射到（x,y）

平面上，并有沿着z方向传播

的分量，令z=0处，平面光波

为U（x,y,0）采用傅里叶光学变换

E（x,y,0）

Ux,y,0Af,f,0expj2fxfydfdf

xyxyxy

Af,f,0Ux,y,0expj2fxfydxdy

xyxy

U（x,y,0）角谱

coscos2

A（,;0）U（x,y,0）exp[i（cosxcosy）]dxdy

coscos2

U（x,y,0）角谱

A（,;0）U（x,y,0）exp[i（cosxcosy）]dxdy

物场像场

xU（x,y,z）

,expcoscoscos

UxyzAjkxyz

coscoscos1

222

U（x,y,0）

U（x,y,z）角谱

coscos2

A（,;z）U（x,y,z）exp[i（cosxcosy）]dxdy

逆变换

coscos2coscos

U（x,y,z）A（,,z）exp[i（cosxcosy）]dd

1cos

2Uk2U0

U（x,y,z）满足亥姆霍兹方程

coscoscoscos

A（,）k（1coscos）A（,）0

222

cos

coscoscoscos2

A（,,z）A（,,0）exp[i（1coscos）z]

coscoscoscos2

A（,,z）A（,,0）exp[i（1coscos）z]

2222

ffff

讨论：

xyz

1/f

fff2222

zXY

fff

cos/;cos/;cos/,

XYZ

1/f

（1）当cos2cos21时，1cos2cos2是实数。

（ff）

说明:

经过z距离的传播,光场中各个平面波分量的振幅

不变，只是改变了各自的相对相位.

（2）当cos2cos21时，cos0

（ff）22

光场在z轴方向上的净能流为0，对角谱传播无贡献。

coscoscoscos2

A（,,z）A（,,0）exp[i（1coscos）z]

（2）当cos2cos21时，

（ff）

122j22

coscoscoscos1

coscoscoscos

A,;zA,;0expkzcoscos1

随z的增大,迅速衰减，在一个波长的距离几乎衰减为0。

这些方向上的波动分量称为倏逝波。

电磁波（）

远场（>）

倏逝波：

局限于物

近场（<~）

倏逝波

体表面且急剧衰减。

其性质与物体的表

面结构，材料紧密