河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练.docx
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河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练
专题七类比探究题
类型一线段数量关系问题
1（2018-河南）
（1）问题发现
如图①，在△OAB和厶OCD中，OA=OBOC=OD/AOB=ZCOD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
AC
1击的值为：
BD
2/AMB的度数为;
（2）类比探究
如图②，在△OAB和厶OCD中，/AOB=ZCOD=90°,/OAB=ZOCD=30°,连接AC交BD的延长线于点
AC
M.请判断乔的值及/AMB的度数，并说明理由；
BD
（3）拓展延伸在⑵的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M若OD=1,OB=Q7，请直接写
出当点C与点M重合时AC的长.
图①图②备用图
例1题图
得/AMB=180°—（/DBO-/OABH/ABD）
②由△COA^ADOB,得/CAO=/DBQ根据三角形的内角和定理
=180°—140°=40°;
一ACOC厂一
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AO&ABOD则BD=OD=3,由全等三角形的性质得/AMB的度数；
⑶正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：
如解图①和②，同理可得厶AO&ABOD则/AMB
AC厂
=90°,BD=3,可得AC的长.
【自主解答】
解：
⑴问题发现
①1【解法提示】•••/AOB=ZCO空40
•••/COAfZdob.
•/OC=ODOA=OB，
•••△COA^DOB（SAS,）
•AC=BD,
AC
二一=1
BD
②40°【解法提示】•/△COA^ADOB
•••/CAO/DBO.
•••/AO=40°,
•••/OABH/ABO=140°,
在厶AMB中，/AM=180°—（/CAO-/OABH/ABD=180°—（/DBO-/OABH/ABD=180°—140°=
（2）类比探究
AC
BD=,3,/AM=90°，理由如下:
在Rt△OCD中,/DC（=30°,/DO=90°,
同理，得OB=tan30
•••/AO=/CO=90°,
•/AO（=BOD
•△AOC^BOD
•
OD=.3,/CAO/DBO.
AC=
…BD=
•/AM=180°—/CAO-/OA—MBA180°—（/DA—/MB—/OBD^180°—90°=90°
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如解图①，
同理得△AO&ABOD
AC厂
•/AM=90°,侖,3,
BD
设BD=x，贝UAC=•3x,
在Rt△COD中,
•••/0C空30°,OD=1,•••CD=2,
BC=x—2.
在Rt△AOB中，/OA=30°,OB='7.
•AB=2OB=2：
7,
在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC+BC=Ah,
即（：
3x）2+（x—2）2=（2：
7）2,
解得xi=3,X2=—2（舍去），
•AC=3=：
.f3;
AC
②点C与点M重合时，如解图②，同理得：
/AM=90°,BD=；'3,
设BD=x，贝UAC=_：
3x,
在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC+BC=AB",
即（:
'3x）2+（x+2）2=（2；7）2
解得xi=—3,解得x2=2（舍去）.
•AC=2\3.
综上所述，AC的长为3'3或2：
'3.
图①
图②
例1题解图
:
针对训媒©
1.（2016-河南）
（1）发现
如图①，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.
填空：
当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a,b的
式子表示）•
（2）应用
点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=1，如图②所示，分别以ABAC为边，作等边三角形ABD和等边
三角形ACE连接CDBE.
1请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
2直接写出线段BE长的最大值.
⑶拓展
0），点B的坐标为（5,0），点P为线段AB外一动点,
AM长的最大值及此时点P的坐标.
如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,
且PA=2,PgPB,ZBP昨90°,请直接写出线段
备用图
2.（2015-河南）如图①，在Rt△ABC中，/B=90°,BC=2AB=8，点D,E分别是边BC,AC的中点，连
（X.
接DE.将厶EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为
⑴问题发现
（2）拓展探究
试判断：
当O°Wa<360°时,
AE
的大小有无变化？
请仅就图②的情形给出证明.
BD（3）解决问题
当厶EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.
3.（2014・河南）
⑴问题发现
如图①，△ACB和厶DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE.
填空：
1/AEB的度数为;
2线段ADBE之间的数量关系为.
（2）拓展探究
如图②，△ACB^n^DCE均为等腰直角三角形，/ACB=ZDCE=90°,点A,DE在同一直线上，DCE中DE边上的高，连接BE,请判断/AEB的度数及线段CMAE,BE之间的数量关系，并说明理由.
（3）解决问题
如图③，在正方形ABCD中,CD=〔2,若点P满足PD=1,且/BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
4.（2018•南阳二模）在厶ABC中，/ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE,连接EC.
（1）操作发现
若AB=AC/BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD
的位置关系和数量关系是
（2）猜想论证
在
（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断
（1）中结论是否成立，并证明你的
判断.
（3）拓展延伸
如图③，若AB^AC/BAO90°，点D在线段BC上运动，试探究：
当锐角/ACB等于度时，线
段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C,E重合除外）？
此时若作DF丄AD交线段CE于点F,且当AC=3匹
时，请直接写出线段CF的长的最大值是.
5.已知，如图①，△ABC△AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点BE重合），/BAC=ZAED=90°,
O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.
⑴问题发现
⑵类比延伸
（3）拓展探究
△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长.
类型二图形面积关系问题
W^.-（2017•河南）如图①，在Rt△ABC中，/A=90°,AB=AC点D,E分别在边AB,AC上,A»AE,连接DC点M,P,N分别为DE,DCBC的中点.
（1）观察猜想
图①中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;
⑵探究证明
把厶ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MNBDCE,判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把厶ADE绕A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值.
a
NCl
图①
甘
NC
图②
例2题图
11
【分析】⑴利用三角形的中位线定理得出pg2°Epn^尹D,进而判断出BD=CE即可得出结论，再
利用三角形的中位线定理得出PM/CE继而得出/DPM^ZDCA最后用互余即可得出结论；
11
⑵先判断出厶ABD^AACE得出BD=CE同⑴的方法得出PMkqBDPN^qBD即可得出PMkPN,同⑴
的方法即可得出结论；⑶先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大=A腑AN,最后用面积公式即可得出结论.
【自主解答】
解：
（1）•••点P,N是BC,CD的中点,
1
•••PN//BDPN=-BD.
〜2
•••点P,M是CDDE的中点，
1
•PM/CEPMI=qCE.
•/AB=AC,AD=AE,
•BD=CE
•PM=PN.
•/PN//BD
•/DPN=ZADC
•/PM/CE
•/DP=/DCA.
•••/BAC=90°,
•/ADCFZACD=90°,•/MPN=ZDPMMDPN=ZDCAbZADC=90°,
•••PMLPN
⑵由旋转知，/BAD=ZCAE
•/AB=AC,A»AE,
•△ABD^AACE（SAS）
•••/ABD=ZACEBD=CE.
1
同⑴的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=尹D,
1
pg2CE
•PMkPN
•••△PMN是等腰三角形，
同⑴的方法得，PM/CE
•••/DPM=/DCE
同⑴的方法得，PN//BD
•••/PNC=ZDBC.
•••/DPN=ZDCBFZPNC=ZDCBHZDBC
•••/MPN=ZDPMkZDPN=ZDCEbZDCBFZDBC=ZBCEFZDBC=ZACBFZACEFZDBC=ZACBFZABD+ZDBC=ZACBFZABC.
•••/BAC=90°,
•••/ACBFZABC=90°,
•••/MPN=90°,
•△PMN是等腰直角三角形，
8NCl
例2题解图
（3）如解图，同
（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形,
•••当MN最大时，△PMN的面积最大，
•DE//BC且DE在顶点A上面，
MN最大=AWAN
连接AMAN
在厶ADE中，AD=AE=4,/DAE=90°,
•••AMk22
在Rt△ABC中，AB=AC=10,ANk5-'2,
•MN最大=2:
'2+5,：
2=7:
'2,
121121-249
△pmn最大=2^gMNh4X（7、；2）=—.
［针祝II练©
=30
（1）操作发现
如图②，固定△ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
1线段DE与AC的位置关系是;
2设△BDC的面积为$,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是.
（2）猜想论证
当厶DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想
（1）中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作
出了△BDC和厶AEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想.
（3）拓展探究
已知/ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE//AB交BC于点E（如图④）.若在射线BA上存
在点F,使S^DCF=S^BDE,请直接写出相应的BF的长.
图①图②
2.已知Rt△ABC中，BC=AC,/C=90°,
D为AB边的中点，/ED「90°,将/EDF绕点D旋转，它的两边分别交ACCB（或它们的延长线）于E,F.当/EDF绕点D旋转到DELAC于E时，如图①所示，试证明
1
S^def+&CEF=•Saabc・
（1）当/EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？
若成立，请说明理由；若
不成立，试说明理由.
⑵直接写出图③中，&DEF,&CEF与SUBC之间的数量关系.
图①图②图③
3.（2018-郑州模拟）如图①所示，将两个正方形ABCD^正方形CGFE如图所示放置，连接DE,BG.
（1）图中/DC曰/BCG=°;设厶DCE的面积为Si,ABCG的面积为S,则S与S的数量关系为
猜想论证：
⑵如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG连接DEBG设厶DCE的面积为
S,ABCG的面积为S，猜想Si和S2的数量关系，并加以证明；
⑶如图③所示，在△ABC中，AB=AC=10cm,/B=30°，把△ABC沿AC翻折得到厶AEC过点A作AD平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点巳使厶ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长.
4.（2018•驻马店一模）如图①，△ABC与厶CDE都是等腰直角三角形，直角边AC,CD在同一条直线上，
点M,N分别是斜边AB,DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD,PM，PN,MN.
（1）观察猜想
图①中，PM与PN的数量关系是，位置关系是；
⑵探究证明
将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转a（0°判断APM”的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把厶CDE绕点C任意旋转，若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN面积的最大值.
图①
参考答案
类型一
针对训练
1解：
⑴•••点A为线段BC外一动点，且BOa,AB=b,
•••当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b.
⑵①CD=BE
理由：
•••△ABD与厶ACE是等边三角形，
•AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,
•••/BADbZBAC=ZCABFZBAC即/CAD=ZEAB.
AD=AB
在^。
人。
和厶EAB中,/CAD=ZEAB,
AC=AE
•△CAD^AEAB•-CD=BE.
②•••线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，
由
（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
•线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=4;
⑶•/将厶APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN连接AN,如解图①，
则厶APN是等腰直角三角形，
PN=PA=2,BN=AM.
•••点A的坐标为（2,0），点B的坐标为（5,0）,
•OA=2,OB=5,•AB=3,
•••线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，
•••当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值,最大值为AB+AN.
•/AN='2AP=2'2,
•线段AM的长最大值为2'2+3.
如解图②，过点P作PELx轴于点E.
•••△APN是等腰直角三角形，
ppAE=.'2,
•OBBO-AB—AE=5—3-：
2=2—；2,
•P（2—、2：
2）•
第1题解图
2•解：
⑴①当a=0°时，
•/在Rt△ABC中，/B=90°,
•AO■,aB'+bC=（8-2）2+82=45.
•••点D、E分别是边BCAC的中点，
•AE=4.5—2=2\-5,BD=8—2=4,
.ae=2砺_V5
…BDT4=2.
②如解图①，当a=180°时，
得可得AB//DE
ACBC
••,,,
'AE=BD，
•AE=AC=4\/5\[5
…BETBC=~8~=亍
ae
⑵当0°WaW360°时，BD勺大小没有变化.
•••/ECD=ZACB
•••/ECA=ZDCB.
EC=AC=^5'DCBC2，
•△ECMADCB
•AEEC亜
•
•BDTDcT~2.
（3）①如解图②,
•/AC=45,CD=4,CDLAD
•AD=AC—CD=（4,5）2-42=80-16=8.
•/AD=BC,AB=DC/B=90°,
•四边形ABCD是矩形，
•-BD=AC=4』5.
③如解图③，连接BD过点D作AC的垂线交AC于点Q过点B作AC的垂线交AC于点P,
•/AC=45，CD=4，CDLAD
•AD=AC—CD=.（4,5）2-42=80-16=8,
•••点D、E分别是边BCAC的中点，
111
•DE=2AB=2X（8十2）=2X4=2,
•AE=AD-DE=8-2=6,
由⑵，可得
AE=込
BD=2,
•••BD=
6_12寸5,55
"2"
综上所述，BD的长为45或一^―.
3.解：
（1）•••△ACB和厶DCE均为等边三角形,
•CA=CBCD=CE/ACB=ZDCE=60°,•••/ACD=ZBCE.
在厶ACD和厶BCE中,
AC=BC
/ACD=ZBCE,
CD=CE
•△ACD^ABCE（SAS）ADC=ZBEC.
•/△DCE为等边三角形，•/CDE=ZCED=60°•••点A,D,E在同一直线上，•/ADC=120°,•••/BEC=120°,
•••/AEB=ZBEC-/CED=60°.
②•••△ACD^ABCE•-AD=BE.
（2）/AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由如下：
•••△ACB和厶DCE均为等腰直角三角形，
•CA=CBCD=CE,/ACB=/DCE=90°.
•••/ACD=/BCE.
在厶ACD和厶BCE中，
CA=CB
/ACD=/BCE,
CD=CE
•△ACD^ABCE（SAS）
•AD=BE,/ADC=/BEC.
•/△DCE为等腰直角三角形，•/CDE=/CED=45
•••点A,D,E在同一直线上，
•/ADC=135°,•/BEC=135°,
•/AEB=/BEC-/CED=90°.
•/CD=CECMLDE•-DM=ME.
•••/DCE=90°,•DM=ME=CM
•AE=AD+DE=BE+2CM.
⑶•/PD=1,「.点P在以点D为圆心，1为半径的圆上.
•••/BPD=90°,「.点P在以BD为直径的圆上，
•••点P是这两圆的交点.
①当点P在如解图①所示位置时，
连接PD,PBPA作AHLBP,垂足为H,
过点A作AELAP,交BP于点E.
•••四边形ABCD是正方形，
•••/ADB=45°,AB=AD=DC=BC=-'2,ZBAD=90°,
•BD=2.vDP=1,「.BP='3.
•••/BPD=ZBAD=90°,
•••点A、P、DB在以BD为直径的圆上，
•••/APB=ZADB=45°.
•△PAE是等腰直角三角形.
又•••△BAD是等腰直角三角形，点B,E,P共线，AHLBP,
•••由
（2）中的结论可得：
BP=2AH+PD,••,;3=2AH+1,•AH=
②当点P在如解图②所示位置时，
连接PDPBPA作AHLBP,垂足为H,过点A作AE!
AP,交PB的延长线于点E,同理可得：
BP=2AH-PD,
•：
'3=2AH-1,
曲+1
•-AH=—.
综上所述，点A到BP的距离为送二^或.
图①
图②
第3题解图
4•解：
⑴①TAB=AC,/BAC=90°,
线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
•••AD=AE,ZBAD=ZCAE
•••△BAD^ACAE
•CE=BD,/ACE=ZB,
•••/BCE=ZBCAbZACE=90°,
•线段CEBD之间的位置关系和数量关系为CE=BD,CELBD
⑵
（1）中的结论仍然成立•证明如下：
如解图①，
•••线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
•AE=AD,/DAE=90°.
•/AB=AC,/BAC=90°,
•••/CAE=ZBAD
•△ACE^AABD
•CE=BD,/ACE=ZB,
•••/BCE=90°,
•线段CEBD之间的位置关系和数量关系为CE=BD,CELBD
过A作AMLBC于M,过点E作ENLMA交MA的延长线于N,如解图②.
•••线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
•••/DAE=90°,AD=AE,
•••/NAE=ZADM易证得Rt△AMD^Rt△ENA
•NE=AM.
•••CELBD即CELMCMCE90°,
•四边形MCE为矩形，
•NE=MC•-AM=MC
•••/ACB=45°.
••四边形MCE为矩形，
•••Rt△AMORt△DCF
MDAM
CF=DC,设DG=X，
•••在Rt△AMC中，/ACB=45°,AC=3\2,
3—x3
•-AM=CM=3,MD=3—x,•
CFx
121323
••CF=——x+x=——（x—）+
332，4'
•••当x=2时，CF有最大值，最大值为4.
3
故答案为45°,4；
图①
图②
第4题解图
5•解：
（1）①•/△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形,
•AD=BC.
TO为BC的中点，F为AD的中点，
•AF=OC.
•••/BAC=ZAED=90°,AB=AC,AE=DE
•••/DAE=ZCBA=45°,
•AD//BC
•四边形AFOC是平行四边形，
故答案：
匚
BAO=ZCAO=45°,/DAE=45
•/DAE=ZCAO.
•/ABAC,•••AF=AO
AF_AO
…苕AC
•△AFSAAEC
.OFAO'2
…ecTACT~2；
故答案：
乎.
理由：
在等腰直角△ADE中，F为AD的中点,
在等腰直角△ABC中，O为BC的中点,
如解图①，连接AO
/BAO=ZCAO45
•••/DAT45°,
•••/DAT/CAO即/DAO=ZCAE.
•/AEtAC,
•AF=AQ
AFAO
…荷
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