第五讲函数的基本性质.docx
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第五讲函数的基本性质
第五讲:
函数的基本性质
基础知识:
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可以使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的.
函数的周期性:
如果函数y=f(x)对于定义域内任意的x,存在一个不等于0的常数T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,则称函数f(x)是周期函数,T是它的一个周期.一般情况下,如果T是函数f(x)的周期,则kT(k∈N+)也是f(x)的周期.
例1已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)()
A.在区间(-2,0)上单调递增B.在(0,2)上单调递增
C.在(-1,0)上单调递增D.在(0,1)上单调递增
【解析】:
可用图像,但是用特殊值较好一些.选C.
例2设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),当0≤x≤/时,f(x)=x,则f(2003)=()
A.-1B.0C.1D.2003
【解析】:
f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)∴f(x)的周期为6f(2003)=f(6×335-1)=f(-1)=-f
(1)=-1,选A
例3定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都有f(x+1)=f(2-x)成立,若f(x)=0仅有101个不同的实数根,那么所有实数根的和为()
A.150B./C.152D./
【解析】由已知,函数f(x)的图象有对称轴x=/于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是/,其余100个根可分为50对,每一对的两根关于x=/对称利用中点坐标公式,这100个根的和等于/×100=150所有101个根的和为/×101=/.选B
例4实数x,y满足x2=2xsin(xy)-1,则x1998+6sin5y=______________.
【解析】:
如果x、y不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法(x-sin(xy))2+cos2(xy)=0,∴x=sin(xy)且cos(xy)=0,∴x=sin(xy)=±1,∴siny=1xsin(xy)=1,原式=7
例5已知x=/是方程x4+bx2+c=0的根,b,c为整数,则b+c=__________.
【解析】:
(逆向思考:
什么样的方程有这样的根?
),由已知变形得x-/,∴x2-2/x+19=99,即x2-80=2/x,再平方得x4-160x2+6400=76x2,即x4-236x2+6400=0,∴b=-236,c=6400,b+c=6164
例6已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)=0有实数根,且f(x)=1在(0,1)内有两个实数根,求证:
a>4.
【解析】证法一:
由已知条件可得
?
=
?
?
2
?
4?
?
?
?
≥0①
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1
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?
+?
?
+?
?
>1②
?
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0
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>1③
0
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<1④
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≥
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?
>1?
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?
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?
>1
?
?
<0(∵?
?
>0)
,于是-b≥2/
所以a+c-1>-b≥2/,∴(/)2>1,∴/>1,于是/+1>2,∴a>4。
证法二:
设f(x)的两个根为x1,x2,则f(x)=a(x-x1)(x-x2),f
(1)=a(1-x1)(1-x2)>1,f(0)=ax1x2>1,由基本不等式,x1(1-x1)x2(1-x2)≤[/(x1+(1-x1)+x2+(1-x2))]4=(/)2,∴/≥a2x1(1-x1)x2(1-x2)>1,∴a2>16,∴a>4
例7已知f(x)=x2+ax+b(-1≤x≤1),若|f(x)|的最大值为M,求证:
M≥/.
【解析】:
M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-/)|}
⑴若|-/|≥1(对称轴不在定义域内部),则M=max{|f
(1)|,|f(-1)|},而f
(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,|f
(1)|+|f(-1)|≥|f
(1)+f(-1)|=2|a|≥4,则|f
(1)|和|f(-1)|中至少有一个不小于2,∴M≥2>/
(2)|-/|<1,M=max{|f
(1)|,|f(-1)|,|f(-/)|}=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-/+b|}=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-/+b|,|-/+b|}≥/(|1+a+b|+|1-a+b|+|-/+b|+|-/+b|)≥/[(1+a+b)+(1-a+b)-(-/+b)-(-/+b)]=/≥/。
综上所述,原命题正确.
例8⑴解方程:
(x+8)2001+x2001+2x+8=0
⑵解方程:
/
【解析】⑴原方程化为(x+8)2001+(x+8)+x2001+x=0,即(x+8)2001+(x+8)=(-x)2001+(-x),构造函数f(x)=x2001+x,原方程等价于f(x+8)=f(-x),而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数,于是有x+8=-x,x=-4为原方程的解
(2)两边取以2为底的对数得
?
?
?
?
?
?
2
2?
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+
4
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?
2
+1
?
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2
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2
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+1,即
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+(
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2
+1),构造函数?
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?
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=
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?
+
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?
2
+1
+?
?
,于是f(2x)=f(x2+1),易证:
f(x)世纪函数,且是R上的增函数,所以:
2x=x2+1解得:
x=1
例9设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=3,求/[f(4)+f(0)]的值.
【解析】:
由已知,方程f(x)=x已知有三个解,设第四个解为m,记F(x)=f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m),∴f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+x,f(4)=6(4-m)+4,f(0)=6m,∴/[f(4)+f(0)]=7
例10设f(x)=x4-4x3+/x2-5x+2,当x∈R时,求证:
|f(x)|≥/
【解析】:
配方得:
f(x)=x2(x-2)2+/(x-1)2-/
=x2(x-2)2+/(x-1)2-1+/=(x2-2x)2+/(x-1)2-1+/
=[(x-1)2-1]2+/(x-1)2-1+/=(x-1)4-2(x-1)2+1+/(x-1)2-1+/=(x-1)4+/(x-1)2+/≥/
例11已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=-f(x),求证:
2m是f(x)的一个周期.
【解析】:
因为f(x+m)=-f(x)所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m]=-f(x+m)=f(x),所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例12已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=f(x-m),求证:
2m是f(x)的一个周期.
【解析】证明:
因为f(x+m)=f(x-m)令x-m=t,则x+m=t+2m于是f(t+2m)=f(t)对于t∈R恒成立,所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例13已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=/,求证:
2m是f(x)的一个周期.
【解析】:
由已知?
?
?
?
+2?
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=?
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?
?
+?
?
+?
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=
1?
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+?
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)
1+?
?
(?
?
)
=?
?
(?
?
),所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例14已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=-/,求证:
4m是f(x)的一个周期.
【解析】:
由已知?
?
?
?
+2?
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=?
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?
?
+?
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+?
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=?
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)
=?
1
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(?
?
)
,于是f(x+4m)=-/=f(x)
所以f(x)是以4m为周期的周期函数.
例15已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),
求证:
2|a-b|是f(x)的一个周期.(a≠b)
【解析】证明:
不妨设a>b,于是f(x+2(a-b))=f(a+(x+a-2b))
=f(a-(x+a-2b))=f(2b-x)=f(b-(x-b))=f(b+(x-b))=f(x)
∴2(a-b)是f(x)的一个周期,当a<b时同理可得,所以,2|a-b|是f(x)的周期
例16已知函数f(x)的定义域为N,且对任意正整数x,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1)
若f(0)=2004,求f(2004)
【解析】:
因为f(x)=f(x-1)+f(x+1),所以f(x+1)=f(x)+f(x+2),两式相加得0=f(x-1)+f(x+2),即:
f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=f(x),f(x)是以6为周期的周期函数,2004=6×334,∴f(2004)=f(0)=2004
例17已知对于任意a,b∈R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且f(x)≠0,⑴求证:
f(x)是偶函数;⑵若存在正整数m使得f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T值(T≠0)
【解析】⑴证明:
令a=b=0得,f(0)=1(f(0)=0舍去),又令a=0,得f(b)=f(-b),即f(x)=f(-x),所以,f(x)为偶函数
⑵令a=x+m,b=m,得f(x+2m)+f(x)=2f(x+m)f(m)=0,所以f(x+2m)=-f(x),于是f(x+4m)=f[(x+2m)+2m]=-f(x+2m)=f(x),即T=4m(周期函数)
例18数列{an}中,a1=a,a2=b,且an+2=an+1-an(n∈N+),①求a100;②求S100.
【解析】:
由已知a1=a,a2=b,所以a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,……由此可知,{an}是以6为周期的周期数列,于是a100=a6×16+4=a4=-a
又注意到a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,S100=a1+a2+a3+……+a96+a97+a98+a99+a100=0+a97+a98+a99+a100=a1+a2+a3+a4=a+b+(b-a)+(-a)=2b-a
例19对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a.
【解析】:
令x=y=0,得f(0)=-1,再令x=y=-1,得f(-2)=2f(-1)+2,又f(-2)=-2,所以f(-1)=-2,又令x=1,y=-1,可得f
(1)=1,令x=y=1得f
(2)=2f
(1)+1+1=4,令y=1,得f(x+1)=f(x)+x+2,即f(x+1)-f(x)=x+2①,当x取任意正整数时,f(x+1)-f(x)>0,又f
(1)=1>0,所以f(x)>0,于是f(x+1)=f(x)+x+2>x+1,即对任意大于1的正整数t,f(t)>t,在①中,令x=-3,得f(-3)=-1,进一步可得f(-4)=1,注意到f(x)-f(x+1)=-(x+2),所以当x≤-4时,f(x)-f(x+1)>0,即f(x)>f(x+1)>f(x+2)>……>f(-4)=1,所以x≤-4时,f(x)>x,综上所述,满足f(a)=a的整数只有a=1或a=-2
例20设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且f(x)+/,求证:
f(x)是周期函数.
【解析】:
由已知?
?
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),所以?
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+
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+
42
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),
即/①
同理有/
即/②
由①②?
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2
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+
84
42
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(?
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+
42
42
),于是f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1),记这个差为d,同理f(x+3)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+1)=d,……f(x+n+1)-f(x+n)=f(x+n)-f(x+n-1)=……=f(x+1)-f(x)=d,即是说数列{f(x+n)}是一个以f(x)为首项,d为公差的等差数列,因此f(x+n)=f(x)+nd=f(x)+n[f(x+1)-f(x)]对所有的自然数n成立,而对于x∈R,|f(x)|≤1,即f(x)有界,故只有f(x+1)-f(x)=0,即f(x+1)=f(x)x∈R,所以f(x)是周期为1的周期函数.