1718版 第4章 431 空间直角坐标系 432 空间两点间的距离公式.docx

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1718版第4章431空间直角坐标系432空间两点间的距离公式

4.3　空间直角坐标系

4.3.1　空间直角坐标系

4.3.2　空间两点间的距离公式

1．了解空间直角坐标系的建系方式．（难点）

2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．（重点、易错点）

3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．（难点）

4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．（重点）

[基础·初探]

教材整理1　空间直角坐标系

阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．

1．空间直角坐标系

定义

以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法

在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°

图示

说明

本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系

2.空间中一点的坐标

空间一点M的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z），其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）．（　　）

（2）在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成（0，b，c）．（　　）

（3）在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作（0,0，c）．（　　）

（4）在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是（a,0，c）．（　　）

【解析】　

（1）错误．x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.

（2）、（3）、（4）正确．

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√

教材整理2　空间两点间的距离公式

阅读教材P136“练习”以下至P137部分，完成下列问题．

1．点P（x，y，z）到坐标原点O（0,0,0）的距离|OP|＝

.

2．任意两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）间的距离|P1P2|＝

.

在空间直角坐标系中，A（－1,2,3），B（2,1，m），若|AB|＝

，则m的值为________．

【解析】　|AB|＝

＝

，

∴（3－m）2＝100,3－m＝±10.

∴m＝－7或13.

【答案】　－7或13

[小组合作型]

空间中点的坐标的确定

　在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝

CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．

【精彩点拨】　要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．

【自主解答】　建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为

.

由F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知FM＝

、FN＝

，则F点

坐标为

.

点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝

，故G点坐标为

.由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝

、CK＝

.∴DK＝

.故H点坐标为

.

1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则

（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；

（2）充分利用几何图形的对称性．

2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标．

[再练一题]

1．在棱长都为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标.

【解】　取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连接OA，OO1，

根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且OA＝

×2＝

，

以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则正三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标分别为：

A（

，0,0），B（0,1,0），C（0，－1,0），A1（

，0,2），B1（0,1,2），C1（0，－1,2）.

求空间对称点的坐标

　在空间直角坐标系中，已知点P（－2,1,4）．

（1）求点P关于x轴对称的点的坐标；

（2）求点P关于xOy平面对称的点的坐标；

（3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标．

【精彩点拨】　对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．

【自主解答】　

（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）．

（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2,1，－4）．

（3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点，

由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，

y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12，

所以P3的坐标为（6，－3，－12）．

（1）求空间对称点的规律方法

空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.

（2）空间直角坐标系中，任一点P（x，y，z）的几种特殊对称点的坐标如下：

①关于原点对称的点的坐标是P1（－x，－y，－z）；

②关于x轴（横轴）对称的点的坐标是P2（x，－y，－z）；

③关于y轴（纵轴）对称的点的坐标是P3（－x，y，－z）；

④关于z轴（竖轴）对称的点的坐标是P4（－x，－y，z）；

⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5（x，y，－z）；

⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6（－x，y，z）；

⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7（x，－y，z）.

[再练一题]

2．已知M（2,1,3），求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.

【解】　由于点M与M1关于原点对称，所以M1（－2，－1，－3）；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2（2,1，－3）；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3（2，－1，－3），同理M4（－2,1，－3）．

[探究共研型]

空间两点间的距离

探究1　已知两点P（1,0,1）与Q（4,3，－1），请求出P、Q之间的距离．

【提示】　|PQ|＝

＝

.

探究2　上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．

【提示】　设M（0,0，z），由|MP|＝|MQ|，

得（－1）2＋02＋（z－1）2＝42＋32＋（－1－z）2，

∴z＝－6.∴M（0,0，－6）．

　如图431所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．

图431

【精彩点拨】　先建立空间直角坐标系，求出点M、N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．

【自主解答】　如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C（3,3,0），D（0,3,0），

∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，

∴C1（3,3,2），D1（0,3,2），

∵N为CD1的中点，

∴N

.

M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，

∴M（1,1,2）．由两点间距离公式，得

|MN|＝

＝

.

　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：

[再练一题]

3．如图432所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

图432

【解】　以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，

∴C（0,0,0），A（2,0,0），B（0,2,0），C1（0,0,2），B1（0,2,2），

由中点坐标公式可得，

D（1,1,0），E（0,1,2），F（1,0,0），

∴|DE|＝

＝

，

|EF|＝

＝

.

1．点A（－1,2,1）在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为

（　　）

A．（－1,0,1），（－1,2,0）

B．（－1,0,0），（－1,2,0）

C．（－1,0,0），（－1,0,0）

D．（－1,2,0），（－1,2,0）

【解析】　点A（－1,2,1）在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为（－1,0,0），点A（－1，2,1）在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为（－1,2,0）．

【答案】　B

2．在空间直角坐标系中，点P（3,4,5）与Q（3，－4，－5）两点的位置关系是

（　　）

A．关于x轴对称

B．关于xOy平面对称

C．关于坐标原点对称

D．以上都不对

【解析】　点P（3,4,5）与Q（3，－4，－5）两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．

【答案】　A

3．已知A（3,2，－4），B（5，－2,2），则线段AB中点的坐标为________．

【解析】　设中点坐标为（x0，y0，z0），

则x0＝

＝4，y0＝

＝0，z0＝

＝－1，

∴中点坐标为（4,0，－1）．

【答案】　（4,0，－1）

4．设A（4，－7,1），B（6,2，z），|AB|＝11，则z＝________.

【解析】　由|AB|＝

＝11，

解得z＝7或－5.

【答案】　7或－5

5．VABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.

【解】　以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．

∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，

∴点V的坐标是（0,0,3）．而A、B、C、D都在xOy平面上，

∴它们的竖坐标都是零．

又|AB|＝2，

∴A（1，－1,0），B（1,1,0），C（－1,1,0），D（－1，－1,0），V（0,0,3）．