结构的位移计算和刚度校核.docx

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结构的位移计算和刚度校核

第6章结构位移计算和刚度校核

到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。

我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。

讲第一章时，结力的第二大任务：

刚度问题，而要解决…，首先应该…

杆件结构位移计算

（结构变形+刚度位移）

→

{

刚度校核

截面设计

确定Pmax

又是超静定结构计算的基础（双重作用）。

另外本章主要讨论各种杆件结构的位移计算问题。

结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。

§6-1概述

一、结构的位移

画图：

梁、刚架、桁架（内力N、Q、M——拉伸、剪切、弯曲）

截面C线位移：

。

一般分解成水平、垂直两方向：

、

角位移：

截面C线位移：

角位移：

结点的线位移：

两点（截面）相对线位移：

杆件的角位移：

两截面相对角位移：

两杆件相对角位移：

1、位移定义：

由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。

2、位移的分类：

6种

绝对位移：

点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向

截面角位移：

杆件角位移：

相对位移：

两点（截面）相对线位移——沿连线方向

两截面相对角位移：

两杆件相对角位移：

统称为：

广义位移：

角、线位移；相对、绝对位移

Δki：

k：

产生位移的方向；i：

引起位移原因。

如ΔAP、Δat、ΔAC

广义力：

集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合

二、引起位移的原因

1、荷载作用：

（荷载→内力→变形→位移）

2、温度改变：

静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形

（材料胀缩引起的位移性质同）

3、支座移动；（无应力，无应变，但几何位置发生变化）

{

刚体位移（制造误差同）

变形位移

三、计算位移的目的

1）刚度验算：

最大挠度的限制

（框架结构弹性层间位移限值1/450）

2）为超静定结构的弹性分析打下基础

3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：

（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密）

四、计算位移的有关假定（简化计算）

1）弹性假设

2）小变形假设

建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系

3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）

变形体系

{

线性变形体系（线弹性体系）

荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消失，无残余变形，（可用位移叠加原理）

非线形变形体系

（分段线形叠加）

4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）

§6-2变形体系的虚功原理

一、位移

实位移：

外因作用下结构实际位移

虚位移：

根据解题需要，虚设位移状态（满足变形协调＋边界条件）

统称为：

广义位移

二、功：

力所做的功：

该力大小乘以力方向上的相应位移

常力的功：

　T＝P×Δ＝P×D×cosa（大小、方向、作用点不变）

变力的功：

Ｔ＝

＝

P×cos（

，ds）×ds

力偶所做的功：

功两要素：

力与位移P：

广义力（力、力偶、相对力、相对力偶）

Δ：

和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角）

注意：

在定义功T时，没有说位移Δ是由力

引起的，可能由P或其它原因，但P力照样作功。

例：

简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。

可以看出：

不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作功。

引出功的形式有两种：

实功：

力与位移相关。

力在其本身引起的位移上所做的功。

积分得：

T=P×相对位移/2，恒正

虚功：

力与位移无关。

力在由其它原因（别的力、温度变化……）引起的位移上所做的功，T’＝力×位移

注：

①力：

广义力；位移：

广义位移

②虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调作功的力与位移彼此独立无关：

做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、其它外因）引起的

③作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。

④实功恒为正，虚功可正可负

⑤两种功计算方法不同

本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态：

1）未知力：

虚位移

2）求位移：

虚力

所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随便假设。

所以对于虚功，应该强调两点：

1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以独立地按照我们的目的而虚设；

2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态；

也就是：

位移状态：

应该满足结构的变形协调条件，边界条件

　力状态：

应该满足结构的平衡条件。

关于虚功的几点说明

1、广义力和广义位移对应（虚功的几种形式）

2、无关

3、其他外因

4、一个实际、一个虚设、解决两类问题

5、独立按求解目的假设

6、满足相应条件

三、刚体虚功原理（简单回顾一下）

对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件

同时存在一个位移状态，满足变形协调条件＋边界条件两种状态无关

，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0。

注意：

力状态、位移状态可以分别是虚设的，则：

虚功原理有两种形式：

虚位移原理：

求力

虚力原理：

求位移

1、虚位移原理，求静定结构的约束力（支反力或内力）（结合例题）

步骤

{

取实际力状态，解除待求约束力的约束，用约束力代替，静定结构→可变

（刚体体系）

沿待求约束力方向虚设单位位移，以刚体体系产生的位移状态

虚位移状态→虚功原理

单位位移法：

在拟求未知力X方向虚设单位位移，利用几何关系求δP。

特点：

利用几何方法求解静力平衡问题。

2、虚力原理，求刚体体系的位移（结合例题）

单位荷载法：

在待求位移方向虚加一个单位荷载（两者对应，以达作虚功的目的）

特点：

用静力平衡的方法来求解几何问题。

推广到变形体的位移计算。

3、静定结构在支座移动时的位移计算（结合例题）

上面2的方法可以推广一下：

从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。

例：

四、变形体体系的虚功原理

1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动：

刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广：

由能量守恒：

H：

外部吸收的能量；W：

外力所做的功

T：

动能；U：

变形能的增加（内力做功）；E：

结构能量的改变

若加载缓慢，不考虑能量损耗：

W＝U外力所做的功＝结构形变能的变化=内力所做的功

变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）=变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。

2、形变能：

由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量，等于加载过程中内力所做的功：

任一隔离体轴向拉伸或压缩剪切错动弯曲变形

U=内力所做的功

对任一微段：

若各微段的变形连续分布：

对一杆件

对整个结构而言：

3、虚功方程

外力虚功=内力虚功

例：

实际力状态：

外力：

P；

内力：

N、Q、M满足平衡条件

实际位移状态：

位移：

Δ；

变形：

满足相容条件

虚位移状态：

虚位移：

虚变形：

虚力状态：

虚外力：

虚内力：

虚位移原理：

实际力状态+虚位移状态

虚力原理：

实际位移状态+虚力状态

实

虚位移原理

力系平衡

注：

虚功原理

力与位移无关

1）

虚

实

虚

虚力原理

功能原理

位移相容

也就是说：

作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件；位移和应变（变形）、位移状态应满足变形协调条件和边界条件。

这两种状态是彼此无关的，其中一个可以虚设，计算结构位移时应取实际的位移状态，再虚设一种平衡的力状态进行求解（虚力原理）。

2）上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构和三维块体），我们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。

3）实际的力状态或虚设的力状态（内外力）均应满足的静力平衡条件。

4）杆件结构的每一个杆件的位移状态（实际或虚设）均应满足：

①任一微段满足应变～位移关系；②边界位移满足约束边界条件。

这两个条件即为变形协调条件，如果一个杆件的位移状态满足这两个条件，则称这种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态。

§6-3位移计算的一般公式（单位荷载法）

一、基本公式的推导：

一刚架：

在外荷载、支座位移及温度变化等作用下而发生变形→产生位移，要求：

任一点K沿指定方向K-K的位移分量Δka，实际位移状态5-14a，Ca实际的支座位移，εa、γa、κa，实际的轴向应变、剪切角、曲率。

仿照刚体体系求位移方法（单位荷载法）：

取实际的位移状态作为位移状态，虚设一个力状态，越简单越好，且要求和Δka相对应，使虚功方程含Δka，要求对Δka作虚功，所以沿K-K方向虚加一无量纲的单位荷载PK=1（单位荷载法），则结构在虚单位荷载作用下，支座C产生虚反力

，

，产生内力

，

，

组成一个平衡的力状态，和原位移状态无关（虚）。

例：

5-14b）

外力虚功

内力虚功

由虚力原理建立虚力方程得：

因此：

二、公式应用说明：

1、引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、制造误差、材料胀缩等。

2、引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。

3、所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线（角）位移，也就是广义位移。

4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可以是超静定的。

5、材料可以是弹性，也可以是非弹性的。

6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。

沿待求位移方向加虚单位力时指向可以任意假设，若求得的位移为正值，则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。

7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。

1）求某点（截面）的线位移：

水平、竖向、某方向、总的线位移，沿所求线位移方向加单位力。

ΔCVΔCV

（方向未知时，求ΔCV、ΔCH→ΔC）

2）结构上某截面C的角位移，单位力偶。

3）杆件角位移θAB，加两集中力组成的单位力偶

4）A、B两点沿其连线方向的相对位移ΔAB，其连线上加两个方向相反的单位力

5）两截面相对角位移，两截面上加两方向相反的单位力偶。

θC左右

θAB

6）两杆件的相对角位移

两个方向相反的单位力偶如图，每个单位力偶由两个集中力形成。

前述广义位移主要有六种形式，相应的广义力也有六种，两者一致。

§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算

一、一般公式

若引起位移的外因仅是荷载，即仅考虑荷载作用：

1）支座位移C=0，也无温度影响；

2）微段变形du，rds，d

是由实际荷载在ds微段引起的轴向、剪切和弯曲变形,记为：

duP，rPds，d

。

设NP、QP、MP分别表示实际荷载作用下结构内微段的轴力、剪力、弯矩。

对于线弹性材料，由材料力学公式知：

，

，

注：

①杆件的拉伸刚度剪切刚度弯曲刚度

②

——剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有关。

{

矩形截面：

k=1.2