八年级数学全等三角形能力培优.docx

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八年级数学全等三角形能力培优

八年级数学《全等三角形》能力培优

一．解答题（共8小题）

1．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系；

（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．

2．已知：

点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．

（1）当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；

（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？

若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：

CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：

PB=CP+CF；

4．如图

（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？

请说明理由；

若过O点的直线旋转至图

（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图

（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？

请说明理由．

5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？

（用含有x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

6．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：

AF⊥AD；

（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．

求证：

DE=BF．

8．已知：

△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

求证：

AB=AC．

八年级数学《全等三角形》能力培优

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系；

（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．

【分析】

（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E∥DC；

（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．

【解答】解：

（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，

∠AB′E=∠B=∠D=90°，

∴B′E∥DC；

（2）∵折叠，

∴△ABE≌△AB′E，

∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=

∠BEB′，

∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°，

∴∠AEB=

∠BEB′=65°．

【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．

2．已知：

点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．

（1）当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；

（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？

若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．

【分析】

（1）过C作CM⊥y轴于M，通过判定△BCM≌△ABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，进而得到OM=3，据此可得C（﹣1，﹣3）；

（2）过C作CM⊥y轴于M，根据△BCM≌△ABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME（AAS），可得BE=EM，进而得到BE=

BM=2．

【解答】解：

（1）如图1，过C作CM⊥y轴于M．

∵CM⊥y轴，

∴∠BMC=∠AOB=90°，

∴∠ABO+∠BAO=90°

∵∠ABC=90°，

∴∠CBM+∠ABO=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM与△ABO中，

，

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴CM=BO=1，BM=AO=4，

∴OM=3，

∴C（﹣1，﹣3）；

（2）在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2，

理由：

如图2，过C作CM⊥y轴于M，

由

（1）可知：

△BCM≌△ABO，

∴CM=BO，BM=OA=4．

∵△BDO是等腰直角三角形，

∴BO=BD，∠DBO=90°，

∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°，

在△DBE与△CME中，

，

∴△DBE≌△CME（AAS），

∴BE=EM，

∴BE=

BM=2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△DBE≌△CME是解第

（2）题的关键．

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：

CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：

PB=CP+CF；

（3）在

（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=3

，BG=6，求AC的长．

【分析】

（1）根据ASA证明△BCG≌△CAF，则CF=BG；

（2）先证明△ACG≌△BCG，得∠CAG=∠CBE，再证明∠PCG=∠PGC，即可得出结论；

（3）作△AEG的高线EM，根据角的大小关系得出∠CAG=30°，根据面积求出EM的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+

，根据线段的和得出AC的长．

【解答】证明：

（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠ACG=∠BCG=45°，

∴∠A=∠BCG，

在△BCG和△CAF中，

∵

，

∴△BCG≌△CAF（ASA），

∴CF=BG；

（2）如图2，∵PC∥AG，

∴∠PCA=∠CAG，

∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，

∴△ACG≌△BCG，

∴∠CAG=∠CBE，

∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°，

∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，

∴∠PCG=∠PGC，

∴PC=PG，

∵PB=BG+PG，BG=CF，

∴PB=CF+CP；

（3）如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，

∵S△AEG=

AG•EM=3

，

由

（2）得：

△ACG≌△BCG，

∴BG=AG=6，

∴

×6×EM=3

，

EM=

，

设∠FCH=x°，则∠GAC=2x°，

∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，

∵∠ACH=45°，

∴2x+x=45，

x=15，

∴∠ACF=∠GAC=30°，

在Rt△AEM中，AE=2EM=2

，

AM=

=3，

∴M是AG的中点，

∴AE=EG=2

，

∴BE=BG+EG=6+2

，

在Rt△ECB中，∠EBC=30°，

∴CE=

BE=3+

，

∴AC=AE+EC=2

+3+

=3

+3．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明△BCG≌△CAF即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，利用到S△AEG=3

列式是突破口．

4．如图

（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？

请说明理由；

若过O点的直线旋转至图

（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图

（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？

请说明理由．

【分析】

（1）证明三角形ACD和CAB全等．根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD∥BC，也就得出∠1=∠2了．

（2）（3）和

（1）的证法完全一样．

【解答】解：

∠1与∠2相等．

证明：

在△ADC与△CBA中，

，

∴△ADC≌△CBA．（SSS）

∴∠DAC=∠BCA．

∴DA∥BC．

∴∠1=∠2．

②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠2．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．

5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？

（用含有x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

【分析】

（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；

（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；

（3）根据

（2）中的表示方法，可以求得∠1+∠2，再找到∠A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系．

【解答】解：

（1）△EAD≌△EA'D，其中∠EAD=∠EA'D，∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE；

（2）∠1=180°﹣2x，∠2=180°﹣2y；

（3）∵∠1+∠2=360°﹣2（x+y）=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．

规律为：

∠1+∠2=2∠A．

【点评】在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质．

6．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：

AF⊥AD；

（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长．

【分析】

（1）推出∠3=∠E，推出AC=AE，根据等腰三角形性质得出AF⊥CE，根据平行线性质推出即可；

（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x，BE=AB+AE=4+7﹣x．得出方程4+7﹣x=x．求出即可．

【解答】（1证明：

∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2．

∵CE∥AD，

∴∠1=∠E，∠2=∠3．

∴∠E=∠3．

∴AC=AE．

∵F为EC的中点，

∴AF⊥EC，

∵AD∥EC，

∴∠AFE=∠FAD=90°．

∴AF⊥AD．

（2）解：

延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，

∴∠3=∠C，∠F=∠4

∵M为BC的中点

∴BM=CM．

在△BFM和△CNM中，

∴△BFM≌△CNM（AAS），

∴BF=CN，

∵MN∥AD，

∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．

∴∠E=∠5=∠F．

∴AE=AN，BE=BF．

设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x，BE=AB+AE=4+7﹣x．

∴4+7﹣x=x．

解得x=5.5．

∴CN=5.5．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．

求证：

DE=BF．

【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．

【解答】证明：

∵CD平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵DE⊥AC，∠ABC=90°

∴DE=BD，∠3=∠4，

∵BF∥DE，

∴∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴BD=BF，

∴DE=BF．

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

8．已知：

△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

求证：

AB=AC．

【分析】证明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论．

【解答】证明：

在Rt△BOF和Rt△COE中，

，

∴Rt△BOF≌Rt△COE，

∴∠FBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠CBO=∠BCO，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．