=f（a）=a2-2a2+4
即
a
所以
综上1，2，3满足条件的a的范围为：
二确定主元，构造函数，利用单调性简单处理
例2．对于满足0
a
4的所有实数a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范围。
解：
不等式变形为x2+（x-1）a-4x+3>0
设f（a）=（x-1）a+x2-4x+3，则其是关于a的一个一次函数：
是单调函数
结合题意有
即得
或
三利用不等式性质快速处理
例3．若关于
的不等式|x-2|+|x+3|
a恒成立，试求a的范围
解：
由题意知只须
由
所以
四构造新函数，利用导数求最值迂回处理。
例4．已知
若当
时
在[0，1]恒成立，求实数t的取值范围。
解：
在[0，1]上恒成立，即
在[0，1]上恒成立
令
则须F（x）在[0，1]上的最大值小于或等于0
所以
又
所以
即
在[0，1]上单调递减
所以
即
得
（拓展：
若将恒成立改成有解，即
在[0，1]上有解，则应F（x）min
。
）
五分离参变量，变换处理
例5已知二次函数
对
恒有
，求
的取值范围。
解：
对
恒有
即
变形为
当
时对任意的
都满足
只须考虑
的情况
即
要满足题意只要保证
比右边的最大值大。
现求
在
上的最大值。
令
（
）
所以
又
是二次函数
所以
且
六利用数形结合，直观处理
例6：
不等式
在
内恒成立，求实数a的取值范围。
解：
画出两个函数
和
在
上的图象
如图
知当
时
，
当
时总有
所以
每周一计第二计——由递推关系求数列通项公式
给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法，这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。
1.形如an+1-an=f（n）型
（1）若f（n）为常数,即：
an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+（n-1）d.
（2）若f（n）为n的函数时，用迭加法.
例1.已知数列{an}满足
证明
证明：
由已知得：
an-an-1=3n-1，故
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+···+（a2-a1）+a1=
.
练一练1：
已知数列{an}满足
，
，求此数列的通项公式.2.形如型（答案：
）
（1）当f（n）为常数，即：
（q≠0），此时数列为等比数列，
=
.
（2）当f（n）为n的函数时,用累乘法.
例2.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1,2,3,…），则它的通项公式是an=________.
解：
已知等式可化为：
（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0
（
）
（n+1）
即
时，
=
=
.
评注：
本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an.
练一练2:
已知an+1=nan+n-1，a1>-1,求数列{an}的通项公式.（
-1.）
3.形如an+1=can+d（c≠0且c≠1,d≠0其中a1=a）型
用待定系数法构造辅助数列.
规律：
将递推关系
化为
构造成公比为c的等比数列
从而求得通项公式
例3．已知数列{an}中，
求通项
.
分析：
两边直接加上
构造新的等比数列。
解：
由
得
所以数列
构成以
为首项，以
为公比的等比数列
所以
即
.
4．形如an+1=pan+f（n）型
（1）若
（其中k,b是常数，且
）用构造法
例4．在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n求通项an.
解：
设an+1+p（n+1）+d=3（an+pn+d）则an+1=3an+2pn+2d-p
an+1=3an+2n∴2p=22d-p=0则p=1,d=
令cn=an+n+
则cn+1=3cn，{cn}是等比数列，公比为3
∵c1=
则
∴
练一练3：
在数列{an}中，
2an-an-1=6n-3求通项an.（
.）
（2）若f（n）=qn（其中q是常数，p≠1且n≠0,1）
）.两边同除以pn+1.即：
令
，则
变型为类型1，累加求通项.
）.两边同除以qn+1.即：
令
则可化为
.然后转化为类型3来解，
（
）.待定系数法：
设an+1+λqn+1=p（an+λqn）.则an+1=pan+λ（p-q）qn），，令
则cn+1=pcn{cn}是等比数列，可求{cn}通项。
例5.设a0为常数，且an=3n-1-2an-1．求通项an.
解：
设an+λ·3n=-2（an-1+λ·3n-1）,即:
an=-2an-1-5λ·3n-1,
比较系数得：
所以
所以
所以数列
是公比为－2，首项为
的等比数列.
即
.
5、形如（
）型取倒数法
例6.已知数列{an}中，a1=2，，求通项公式an。
解：
取倒数：
6、形如f（Sn,n）=0型
可利用公式：
直接求出通项
（别忘了讨论n=1的情况！
）
例7：
已知数列{an}的前n项和为①Sn=2n2-n②Sn=n2+n+1，分别求数列{an}的通项公式。
解析：
①当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3
经检验n=1时，a1=1也适合∴an=4n-3
②当n=1时，a1=S1=3
当n≥2时，an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n
经检验n=1时，a1=3不适合∴
7、形如f（Sn,Sn+1）=0型
）.看成{Sn}的递推公式，求Sn的通项公式，再转化成类型1-5
）.利用an=Sn-Sn-1转化成关于an和an-1的关系式再求。
例8．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（t为常数且t>0，n=2,3,4…）
（1）求证：
数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，
，求bn
解析：
（1）由
，
，得
∴，又
，
得
，得
∴
是一个首项为1，公比为
的等比数列。
（2）由
，有
∴
是一个首项为1，公差为
的等差数列，∴
。
8、形如f（Sn,an）=0型
利用an=Sn-Sn-1转化为g（an,an-1）=0型或h（Sn,Sn-1）=0型
例9.数列{an}的前n项和记为Sn，已知
证明：
数列是等比数列.
方法
（1）∵
∴
整理得
所以，故是以2为公比的等比数列.
方法
（2）：
事实上，我们也可以转化为
，为一个商型的递推关系，
由
=
得，下面易求证。
每周一计第二计——由递推关系求数列通项公式
给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法，这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。
2.形如an+1-an=f（n）型
（1）若f（n）为常数,即：
an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+（n-1）d.
（2）若f（n）为n的函数时，用迭加法.
例1.已知数列{an}满足
证明
证明：
由已知得：
an-an-1=3n-1，故
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+···+（a2-a1）+a1=
.
练一练1：
已知数列{an}满足
，
，求此数列的通项公式.2.形如型（答案：
）
（1）当f（n）为常数，即：
（q≠0），此时数列为等比数列，
=
.
（2）当f（n）为n的函数时,用累乘法.
例2.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1,2,3,…），则它的通项公式是an=________.
解：
已知等式可化为：
（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0
（
）
（n+1）
即
时，
=
=
.
评注：
本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an.
练一练2:
已知an+1=nan+n-1，a1>-1,求数列{an}的通项公式.（
-1.）
3.形如an+1=can+d（c≠0且c≠1,d≠0其中a1=a）型
用待定系数法构造辅助数列.
规律：
将递推关系
化为
构造成公比为c的等比数列
从而求得通项公式
例3．已知数列{an}中，
求通项
.
分析：
两边直接加上
构造新的等比数列。
解：
由
得
所以数列
构成以
为首项，以
为公比的等比数列
所以
即
.
4．形如an+1=pan+f（n）型
（1）若
（其中k,b是常数，且
）用构造法
例4．在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n求通项an.
解：
设an+1+p（n+1）+d=3（an+pn+d）则an+1=3an+2pn+2d-p
an+1=3an+2n∴2p=22d-p=0则p=1,d=
令cn=an+n+
则cn+1=3cn，{cn}是等比数列，公比为3
∵c1=
则
∴
练一练3：
在数列{an}中，
2an-an-1=6n-3求通项an.（
.）
（2）若f（n）=qn（其中q是常数，p≠1且n≠0,1）
）.两边同除以pn+1.即：
令
，则
变型为类型1，累加求通项.
）.两边同除以qn+1.即：
令
则可化为
.然后转化为类型3来解，
（
）.待定系数法：
设an+1+λqn+1=p（an+λqn）.则an+1=pan+λ（p-q）qn），，令
则cn+1=pcn{cn}是等比数列，可求{cn}通项。
例5.设a0为常数，且an=3n-1-2an-1．求通项an.
解：
设an+λ·3n=-2（an-1+λ·3n-1）,即:
an=-2an-1-5λ·3n-1,
比较系数得：
所以
所以
所以数列
是公比为－2，首项为
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