高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt

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2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,一、欧氏空间的定义,9.1定义与基本性质,二、欧氏空间中向量的长度,三、欧氏空间中向量的夹角,四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示,五、欧氏子空间,问题的引入：

性质（如长度、夹角）等在一般线性空间中没有涉及.,其具体模型为几何空间、,1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，,但几何空间的度量,长度：

都可以通过内积反映出来：

夹角：

2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质,3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.,满足性质：

当且仅当时,一、欧氏空间的定义,1.定义,设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量,、定义一个二元实函数，记作，若,（对称性）,（数乘）,（可加性）,（正定性）,V为实数域R上的线性空间;,V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;,欧氏空间V是特殊的线性空间,则称为和的内积，并称这种定义了内积的,实数域R上的线性空间V为欧氏空间.,注：

例1在中，对于向量,当时，1）即为几何空间中内积在直角,坐标系下的表达式.即,这样对于内积就成为一个欧氏空间.,易证满足定义中的性质.,所以,为内积.,2）定义,从而对于内积也构成一个欧氏空间.,由于对未必有,注意：

所以1），2）是两种不同的内积.,从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.,易证满足定义中的性质.,所以也为内积.,例2为闭区间上的所有实连续函数,所成线性空间，对于函数，定义,

（2）,则对于

（2）作成一个欧氏空间.,证：

且若,则,从而,故,因此，为内积，为欧氏空间.,推广：

2.内积的简单性质,V为欧氏空间，,2）欧氏空间V中，,使得有意义.,二、欧氏空间中向量的长度,1.引入长度概念的可能性,1）在向量的长度（模）,2.向量长度的定义,称为向量的长度.,特别地，当时，称为单位向量.,3.向量长度的简单性质,3）非零向量的单位化：

（3）,1）在中向量与的夹角,2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先,三、欧氏空间中向量的夹角,1.引入夹角概念的可能性与困难,应证明不等式：

此即,（4）,对欧氏空间V中任意两个向量，有,（5）,2.柯西布涅柯夫斯基不等式,当且仅当线性相关时等号成立.,证：

当时，,结论成立.,当时，作向量,由内积的正定性，对，皆有,（6）,取代入（6）式，得,即,两边开方，即得,当线性相关时，不妨设,于是，,（5）式等号成立.,反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知,或者，或者,也即线性相关.,3.柯西布涅柯夫斯基不等式的应用,柯西不等式,（7）,1）,施瓦兹不等式,由柯西布涅柯夫斯基不等式有,从而得证.,证：

在中，与的内积定义为,2）,（7）,证：

两边开方，即得（7）成立.,对欧氏空间中的任意两个向量有,3）,三角不等式,设V为欧氏空间，为V中任意两非零,向量，的夹角定义为,4.欧氏空间中两非零向量的夹角,定义1：

零向量与任意向量正交.,注：

设为欧氏空间中两个向量，若内积,则称与正交或互相垂直，记作,定义2：

5.勾股定理,设V为欧氏空间，,证：

若欧氏空间V中向量两两正交，,推广：

则,证：

若,则,即,例3、已知,在通常的内积定义下，求,解：

又,通常称为与的距离，记作,设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中,任意两个向量,四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示,令,（8）,定义：

矩阵,称为基的度量矩阵.,（9）,度量矩阵A是实对称矩阵.,由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.,注：

事实上，对，即,有,为正定矩阵.,由（10）知，在基下，向量的内积,由度量矩阵A完全确定.,对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.,证：

设为欧氏空间V的两组,基，它们的度量矩阵分别为A、B，且,设,则,于是,欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是,一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.,五、欧氏空间的子空间,