高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt

上传人:wj 文档编号:359170 上传时间:2022-10-09 格式:PPT 页数:30 大小:725KB
下载 相关 举报
高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt_第1页
第1页 / 共30页
高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt_第2页
第2页 / 共30页
高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt_第3页
第3页 / 共30页
高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt_第4页
第4页 / 共30页
高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt_第5页
第5页 / 共30页
点击查看更多>>
下载资源
资源描述

高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt

《高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt(30页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。

高等代数北大版课件9.1定义与基本性质.ppt

2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,一、欧氏空间的定义,9.1定义与基本性质,二、欧氏空间中向量的长度,三、欧氏空间中向量的夹角,四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示,五、欧氏子空间,问题的引入:

性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.,其具体模型为几何空间、,1、线性空间中,向量之间的基本运算为线性运算,,但几何空间的度量,长度:

都可以通过内积反映出来:

夹角:

2、在解析几何中,向量的长度,夹角等度量性质,3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.,满足性质:

当且仅当时,一、欧氏空间的定义,1.定义,设V是实数域R上的线性空间,对V中任意两个向量,、定义一个二元实函数,记作,若,(对称性),(数乘),(可加性),(正定性),V为实数域R上的线性空间;,V除向量的线性运算外,还有“内积”运算;,欧氏空间V是特殊的线性空间,则称为和的内积,并称这种定义了内积的,实数域R上的线性空间V为欧氏空间.,注:

例1在中,对于向量,当时,1)即为几何空间中内积在直角,坐标系下的表达式.即,这样对于内积就成为一个欧氏空间.,易证满足定义中的性质.,所以,为内积.,2)定义,从而对于内积也构成一个欧氏空间.,由于对未必有,注意:

所以1),2)是两种不同的内积.,从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.,易证满足定义中的性质.,所以也为内积.,例2为闭区间上的所有实连续函数,所成线性空间,对于函数,定义,

(2),则对于

(2)作成一个欧氏空间.,证:

且若,则,从而,故,因此,为内积,为欧氏空间.,推广:

2.内积的简单性质,V为欧氏空间,,2)欧氏空间V中,,使得有意义.,二、欧氏空间中向量的长度,1.引入长度概念的可能性,1)在向量的长度(模),2.向量长度的定义,称为向量的长度.,特别地,当时,称为单位向量.,3.向量长度的简单性质,3)非零向量的单位化:

(3),1)在中向量与的夹角,2)在一般欧氏空间中推广(4)的形式,首先,三、欧氏空间中向量的夹角,1.引入夹角概念的可能性与困难,应证明不等式:

此即,(4),对欧氏空间V中任意两个向量,有,(5),2.柯西布涅柯夫斯基不等式,当且仅当线性相关时等号成立.,证:

当时,,结论成立.,当时,作向量,由内积的正定性,对,皆有,(6),取代入(6)式,得,即,两边开方,即得,当线性相关时,不妨设,于是,,(5)式等号成立.,反之,若(5)式等号成立,由以上证明过程知,或者,或者,也即线性相关.,3.柯西布涅柯夫斯基不等式的应用,柯西不等式,(7),1),施瓦兹不等式,由柯西布涅柯夫斯基不等式有,从而得证.,证:

在中,与的内积定义为,2),(7),证:

两边开方,即得(7)成立.,对欧氏空间中的任意两个向量有,3),三角不等式,设V为欧氏空间,为V中任意两非零,向量,的夹角定义为,4.欧氏空间中两非零向量的夹角,定义1:

零向量与任意向量正交.,注:

设为欧氏空间中两个向量,若内积,则称与正交或互相垂直,记作,定义2:

5.勾股定理,设V为欧氏空间,,证:

若欧氏空间V中向量两两正交,,推广:

则,证:

若,则,即,例3、已知,在通常的内积定义下,求,解:

又,通常称为与的距离,记作,设V为欧氏空间,为V的一组基,对V中,任意两个向量,四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示,令,(8),定义:

矩阵,称为基的度量矩阵.,(9),度量矩阵A是实对称矩阵.,由内积的正定性,度量矩阵A还是正定矩阵.,注:

事实上,对,即,有,为正定矩阵.,由(10)知,在基下,向量的内积,由度量矩阵A完全确定.,对同一内积而言,不同基的度量矩阵是合同的.,证:

设为欧氏空间V的两组,基,它们的度量矩阵分别为A、B,且,设,则,于是,欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是,一个欧氏空间,称之为V的欧氏子空间.,五、欧氏空间的子空间,

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索

当前位置:首页 > PPT模板 > 动态背景

copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有

经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1