数学建模习题答案.docx
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数学建模习题答案
数学建模习题答案
【篇一：
数学建模习题解答】
/p>1．模型
模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造的原型替代物。
如地图、苯分子图。
2．数学模型
由数字、字母、或其他数字符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数据结构。
具体地说，数学模型也可以描述为：
对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型，如概率的功利化定义
3．抽象模型
通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型；如汽车司机对方向盘的操作。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类
按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。
形象模型：
直观模型、物理模型、分子模型等；抽象模型：
思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤
1）建模准备：
确定建模课题的过程；
2）建模假设：
根据建模的目的对原型进行抽象、简化。
有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；
3）构造模型：
在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型。
4）模型求解：
构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；
5）模型分析：
根据建模的目的要求，对模型求解的数学结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。
6）模型检验：
模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；
7）模型应用：
模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用
3．数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际的问题。
正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。
特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。
数学模型还物化于各种高科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分）
g题（7n+6,7n）
公司a、b、c是某地区三家主要灭虫机厂商.根据以往资料得知，公司a、b、c产品的市场占有率分别为50%、30%、20%.由于c公司实行了改善销售与服务方针的经营管理策略，使其产品销售额逐期稳定上升，而a公司却下降.通过市场调查发现三公司间的顾客流动情况如下表所示.
售各或客户转移的影响严重到什么程度？
更全面的，三公司的产品市场占有率将如何变化?
解：
设公司a、b、c在第k个周期拥有的顾客数分别为ak，bk，ck，于是
?
ak?
?
?
b?
k?
?
?
?
ck?
?
0.2?
?
ak?
1?
0.1?
0.7?
0.10.80.1?
?
b?
?
?
?
k?
1?
?
?
0.050.050.9?
?
?
?
ck?
1?
?
令?
?
（?
1?
2?
3）=（akbkck）=（ak?
1bk?
1ck?
1），于是
?
0.7?
1?
0.1?
2?
0.05?
3?
?
1?
0.1?
?
0.8?
?
0.05?
?
?
?
232?
1
?
0.2?
1?
0.1?
2?
0.9?
3?
?
3
?
?
?
1?
?
2?
?
3?
1
解可得?
1?
0.1765，?
2?
0.2353，?
3?
0.5882
所以a、b公司市场占有率逐期下降，c公司市场占有率逐期上升。
a、
b、c公司市场占有率最终分别达到17.65%、23.53%、58.52%。
四、综合题（41分）
l除雪机模型（6n+5,6n+2,6n+1）
有条10km长的公路，由一台除雪机负责除雪。
每当路面的平均厚度达到0.5m时，除雪机开始工作.但是雪仍在下着，路面雪的厚度在不断的增加，除雪机的前进速度会不断降低，其速度随雪的厚度呈现性变化，在无雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s；。
当雪的厚度达到1.5m时，除雪机将无法工作。
雪下了1h,雪最大时路面积雪厚度以0.1cm/s速度增加，前0.5h雪越下越大，后0.5h越下越少。
问除雪机能否将整条路面的积雪清除？
解：
1论文题目：
关于除雪机模型的数学建模论文
2论文摘要：
今年来我国遭受着，极端天气的影响；我国南方遭遇了五十年难遇的
雪灾。
路上积雪成堆，严重的影响了交通和人们的出行，因而此时就需要除雪机的作用来清理积雪。
对于该问题的解决分析有，首先要考虑下雪的速度是多少，因为下雪的快慢影响着学的厚度。
可是，不管如何除雪机的功率是有限的，当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作，学的厚度也会影响雪的进度。
由此可知除雪的进度和雪积累厚度的一些关系进行着更进一步的分析。
考虑下雪的速度是否可变，如果是可变的进行合理的假设；
3关键词：
积分、速度、雪的厚度。
4
1问题提出：
有一条10公里长的公路，由于下雪而导致路上大量的积雪影响了
交通，因而需要用除雪机来清扫。
每当路面的平均厚度达到0.5m
时，除雪机就开始工作，可是雪也在一直下着，路面的雪厚度会不
断的增加，除雪机的前进速度会不断的降低，其速度随雪的厚度呈
现线性变化，并且在无雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s。
当
雪的厚度达到1.5m时，除雪机将无法工作；现在提出问题：
当雪
连续下1h后，雪最大时路面积雪厚度以0.1cm/s速度增加，前0.5h
雪越下越大，后0.5h越下越少。
问除雪机能否将整条路面的积雪
清除？
2问题分析：
对该问题的分析有，首先是要考虑下雪的速度是多少，下雪的快慢
影响着雪的厚度。
因为无论如何除雪机的功率是有限的，当雪达到
一定的厚度时除雪机将无法正常的工作，雪的厚度也影响着雪的进
度。
由此可知除雪的进度是受多方面的影响的，除雪的进度与雪的
厚度是变量。
通过找出除雪的进度和雪积累厚度的一些关系进行更
进一步的分析。
又考虑到下雪的速度是否可变，如果可变将要进行
合理的假设，因为存在10公里的地域，因而可转化为考虑地域的
影响。
在分析问题时我们可以将其理想化，通过建立的模型与理想
化的模型进行比较，在除雪时不考虑雪的溶化，不考虑其他的车辆
等因素对除雪进度的影响。
因而对该题进行多方面的建立模型，对
其结果进行比较和的结论。
3模型假设：
1.问题假设
（1）、在除雪机开始扫雪时，雪的厚度刚好达到0.5m厚；
（2）、下雪的速度是可变的，但下雪下的最大时地面上雪的厚度
增加量为0.1cm/s；
（3）、当雪的厚度达到1.5米时，除雪机将无法工作；
（4）、在没有雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s;
2.关键词：
积分、时间、速度、距离、除雪厚度。
3.符号说明
4．模型的建立与求解
（1）、模型一
由假设条件3、4可得如下的公式：
设v0?
v?
kd，当d?
1.5时，v?
0，又v0?
13，所以k?
13?
26，0.5
26v?
13?
d26d，即3…………………………
（1）故13?
v?
3
其中速度v的单位是米/秒，雪的厚度d的单位是米，且0?
d?
1.5。
由初始条件d?
0.5米，可以马上求得除雪机开始清扫的速度v?
8.7米
r?
t米=c米。
于是t秒末雪的厚度变成100
r?
td?
0.5?
c（米）…………………………
（2）100
由
（1）
（2）可得t26v?
（1?
c）…………………………（3）3100
这时除雪机行驶的距离s为
t26trts?
?
vdt?
?
（1?
c）dt030100
26rct2
）…………………………（4）=（t?
3200
当v=0时意味着除雪机停止工作，由（3）可求得100t?
…………………………（5）rc
现在，让我们把一些具体的下雪速度代入模型，看一看除雪机的工作情况。
情形一：
假设以每秒0.1厘米的速度（即rc?
0.1厘米/秒）持续下了一个小时的大雪，
100?
1000秒=16分40秒）后则用式（5）可以算出，除雪机在清扫了16分40秒（0.1
被迫停止了工作。
再由（（4）式可以知道，此时除雪机已行驶了10.3公里260.1?
10002?
10?
2
（1000?
）?
10.3，即除雪机在停止扫雪前已沿街道行了三分之一3200
的路程，但没有完成整条大街（10公里）的扫雪任务。
情形二：
（2）、模型二
假设下雪速度不是常量，它在前30分钟稳步增加到最大值0.1厘米/秒，然后在后30分钟逐渐减少到0，如图4-1所示。
用v（t）表示下雪速度，则
【篇二：
数学建模习题及答案】
>1.学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。
学
生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的q值方法。
（3）d’hondt方法：
将a，b，c各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，?
相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：
1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格c与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角?
应
多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工
出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下
建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重
第一部分课后习题答案
2.
（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本
也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。
又
因为形状一定时一般有s?
w
2/3
，故商品的价格可表为c?
?
w?
?
w
2/3
?
?
（?
?
?
为大于0的常数）。
（2）单位重量价格c?
c
?
?
?
?
w?
1/3?
?
w?
1，其简图如下：
w
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身
长l的立方成正比，即w?
k1l3，k1为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。
如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是
w?
k2d2l，k2为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得k1=0.014，k2=0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：
基本上满意。
4.将管道展开如图：
可得w?
?
dcos?
，若d一定，w趋于0，?
趋于?
/2；w趋于?
d，?
趋于0。
若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为?
dl/w，若考虑两端影响，则应加
上?
dw/sin?
。
对于其它形状管道，只需将?
d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板
材之间均可相切。
方案一：
圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为n1=[a/2][b/2]
方案二：
圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）?
a，于是m=?
?
a
?
2?
?
?
1?
3?
图1图2
列数（按图2第1行计数）n满足：
若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为n2?
?
?
m（[b]?
1）/2
（1）
?
m（[b]?
1）/2?
1/2
（2）
其中
（1）为：
m为偶数。
（2）为：
m为奇数，[b]为偶数。
两个方案的比较见下表（表中数字为n1/n2）：
当a，b较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。
6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主
要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积s与某特征尺寸l之间的关系是
s?
l2，所以饲养食物量w?
l2。
7.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积s?
l（l是某特
2
征尺寸），体重w?
l，于是y?
w2/3。
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合y?
w?
，可得
3
?
=0.57，结果如下图4。
图3图4
第二部分课后习题
1.
2.3.4.5.6.
malthus模型预测的优缺点。
阻滞增长模型预测的优缺点。
简述动态模型和微分方程建模。
按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
叙述leslie人口模型的特点。
并讨论稳定状况下种群的增长规律。
试比较连续形式的阻滞增长模型（logistic模型）和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分课后习题答案
1.优点:
短期预报比较准确;缺点:
不适合中长期预报;原因:
预报时假设人口增长率为
常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。
2.优点:
中期预报比较准确;缺点:
理论上很好，实用性不强;原因:
预报时假设固有人口
增长率以及最大人口容量为定值。
实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
3.动态模型:
描述对象特征随时间（空间）的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对
象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:
模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预
防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
【篇三：
数学建模习题答案】
t>中国地质大学能源学院华文静
1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？
解：
模型假设
（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形
（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），
即从数学角度来看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件
（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为了保证这一点，要求对于椅脚的间
距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度?
这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形abcd,以对角线ac所在的直线为x轴，对称中心o为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕o点沿逆时针方向旋转角度?
后，长方形abcd转至a1b1c1d1的位置，这样就可以用旋转角?
（0?
?
?
?
）表示出椅子绕点o旋转?
后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是?
的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是?
的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是?
的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的?
，其函数值至少有三个同时为0。
因此，只需引入两个距离函数即可。
考虑到长方形abcd是对称中心图形，绕其对称中心o沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但a,c和b,d对换了。
因此，记a，b两脚与地面竖直距离之和为f（?
），c,d两脚之和为g（?
），其中?
?
0，?
，使得f（?
0）?
模型求解如果f（0）?
?
?
g（?
0）成立。
g（0）?
0，那么结论成立。
与g（0）不同时为零，不妨设f（0）?
0,g（0）?
0.这时，将长方形abcd绕点如果f（0）
o逆时针旋转角度?
后，点a,b分别于与c，d互换，但长方形abcd在地面上所处的位
f（0）?
g（0）?
0,h（?
）?
f（?
）?
g（?
）?
0，
g（?
0）；
根据连续函数介值定理，必存在?
0?
使得h（?
0）?
0,即f（?
0）?
（0，?
），又因为f（?
0）?
g（?
0）?
0,所以f（?
0）?
于是，椅子的四只脚同时着地，g（?
0）?
0。
放稳了。
模型讨论
2.人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？
模型假设
人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。
符号说明
x1：
代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0;x2：
代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；x3：
代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0；x4：
代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:
；
sk?
（x1,x2,x3,x4）:
状态向量，代表时刻k左岸的状态；dk?
（x1,x2,x3,x4）:
决策向量，代表时刻k船上的状态；
模型建立
限制条件：
x1?
0?
?
?
x2?
x3?
2
x?
x?
24?
3
初始状态：
s0?
（1，1，1，1）,d0?
（0，0，0，0）模型求解
根据乘法原理，四维向量共有2（x1,x2,x3,x4）
4
?
16种情况根据限制条件可以排除
（0,1,1,1）（0，1,0，1）（0,0,1,1）三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知
可行决策集仅有五个元素d?
（1，1，1，0）,（1，0，1，0）,（1，0，0，1）,（1，0，0，0）,（0，0，,0，0）,状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：
方案一：
人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；
方案二：
人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2）；
?
?
（1,1,1,1）?
（0,0,0,0）目标：
确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由
3.学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.
（2）2.1节中的q值方法.
（3）d’hondt方法：
将各宿舍的人数用正整数n?
1,2,3,?
相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）,在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.
（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.解：
先考虑n=10的分配方案，
p1?
235,p2?
333,p3?
432,?
pi?
1000
i?
1
3
方法一（按比例分配）
q1?
p1n?
2.35,q2?
p2n?
3.33,q3?
p3n?
4
分配结果为：
n1?
3,n2?
3,n3?
4方法二（q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
n1?
3,n2?
3,n3?
4
第10个席位：
计算q值为
235233324322
q1?
?
920417，q2?
?
924075q3?
?
93312
2?
33?
44?
5
q3最大，第10个席位应给c.分配结果为n1?
2,n2?
3,n3?
5方法三（d’hondt方法）
原理：
记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）,
pi
是每席位ni
2,3…，从而得到的代表的人数，取ni=1,
接近。
pip
中选较大者，可使对所有的i，i尽量nini
所以此方法的分配结果为：
n1?
2,n2?
3,n3?
5
再考虑n?
15的分配方案，类似地可得名额分配结果。
现将3中方法两次分配额结果
俱乐
部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析，再用数据确定参数。
模型分析
本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在
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