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问题教学设计意图的分析与思考

作者：

李军

作者简介：

李军，江苏省宿迁市实验学校.

原文出处：

《中学数学教学参考》（西安）2018年第20185中期第2-5页

内容提要：

在问题教学屮，教师要把握住问题的设计导向，明确问题导学的目标意图•研究者结合教学实践，从问题引入、探究、变式、反思等方面进行梳理与分析•最后提出设计教学时要基于教材编写，把脉问题设计意图；基于“理解数学”，审视问题设计意图.

期刊名称：

《初中数学教与学》

复印期号：

2018年07期关键词:

问题教学/教学设计/设计意图/分析/思考

标题注释:

【基金项目】本文为江苏省“十三五”规划立项课题“初屮数学'自主一互动一展评'式教学的实践研究”（批准

号：

E-c/2016/05）的阶段性研究成果2—・

一、问题教学设计意图的基本理解

数学教学常以问题导学形式进行，即以问题为内容，以引导为线索，以会学为目的，以有效的问题作为教学活动的主要出发点、生长点和延伸点，从而引导、指导学生更好地面对问题、解决问题，形成能力，提升核心素养，最终促进学生更好地发展.

问题教学是具有目的性和方向性的,即要实现什么目的？

达到什么要求？

问题导向何方？

如何去引导？

在问题教学中，教师要把握住问题的设计导向，明确问题导学的目标意图，方可将〃内容本位"转向〃学生本位"教学[1],从而实现指向于人的成长与发展•这里提出的问题教学设计意图就是要进一步明确问题设计的目标扌旨向，把脉各种数学问题价值的正确取向，问诊问题设计与运用的目标意图，更好地发挥导学问题的功能和价值.

二、问题教学设计意图的实践分析

随着新课程理念的实施,数学教师对实施问题教学有了充分的认识,对《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中提出的"数学思考、问题解决〃等方面有一定的了解•但在实际教学中，师生对教学中问题所承载的价值扌旨向没有仔细推敲、深刻理解，或不能很好地分析问题预设及运用的宗旨意图.笔者现结合教学实践，从问题引入探究、变式、反思等方面进行梳理与分析，就问题教学设计意图谈谈自己的看法.

L问题引入——直击主题,激趣启思

良好的开端是成功的一半.良好的问题情境导入是展示教师教学艺术的〃导火索"，是教师对教学过程通盘考虑、周密安排的集中体现，创设开局精炼、现实、有趣、自然的问题情境，具有〃先声夺人"的力量，能把学生的思维调动到本课题的内容和目的上来，为统摄全课奠定良好的基础[2].

案例1:

〃勾股定理"导入教学片断

教师：

同学们，如图1是1955年希腊发行的一枚纪念邮票，大家想过没有，为什么要设计这样的图案呢？

学生1:

它是根据一个著名的数学定理设计的.

（多数学生摇头表示不知道）

教师：

请大家仔细观察，邮票图案涉及哪些图形？

它们之间位置上有什么关联?

学生2:

涉及正方形、直角三角形.三个大正方形的边长恰好是直角三角形的三边长,三个大正方形好像是从三角形三边上"长"出来似的.

教师：

这位学生回答得很好,非常形象地表达出图形间的位置关系.刚才观察到图形位置上的关联,那么数量上有什么联系呢？

请大家观察各个正方形内小方格的个数”你有什么发现？

学生兴致高昂地数着小方格的个数.接着，教师再将问题进一步〃数学化"，弓I向如图2所示网格中直角三角形三边关系的探究,从而揭示三边之间的数量关系,直抵目标，课题自然生成.

教学分析：

案例1中问题的引入取于教材，却又高于教材.问题设置指向明确,起到了激趣启思、直击主旨的作用教学以纪念毕达哥拉斯学派的纪念邮票为情境,借助历史文化激趣启学.通过观察邮票，从〃形"与"数"两个视角，简明、自然、必然地将学生的学习引向本节课的本质.

从激趣的导向上看，一方面关注历史现实的外部激励作用，另一方面运用数学自身内部的表征或规律等来激发学生的原动力，启发学生不断思考，探究问题.

从启学引思角度上看，突出了直角三角形的〃主图〃地位，而正方形起辅图作用,主次分明•实际操作时,先画出直角三角形，再引进正方形，目的是更好地探究三边关系；数量关系上,强调面积与边长的关系,逬而实现从〃形"到"数"的规律揭示.平时观课中”笔者发现不少教师没有领会”邮票”情境的意图指向”出现三言两语的"滑过"现象

2.问题探究——活动引领，自然生长

《课标》强调：

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.

案例2:

"探索三角形全等的条件〃探究过程片断

大家知道,若两个三角形全等,那么它们的对应边相等、对应角相等.反之，要得到两个三角形全等，需要哪些条件?

是不是一定需要这六组元素都——对应相等呢？

即若要使两个三角形全等，至少需要有几组边或角对应相等呢？

（1）当两个三角形的一组条件（一组边或一组角）对应相等时，它们全等吗？

通过实物教具操作演示（可充分利用已有的三角板演示）,眼见为实,易得结论.

（2）当两个三角形的两组条件（一边一角、两条边或两个角）对应相等时，它

们全等吗?

首先让学生分清两组条件有哪几种情况？

其次让学生交流哪一种情况较容易验证（两角）？

接着，教师根据给定的已知两个条件：

①三角形的一个角为30°,-条边为6cm;②三角形的两条边分别是5cm和7cm;让学生画图，学生会发现,三角形不是唯一确定的.

（3）当两个三角形有三组条件（两边一角、两角一边、三条边或三个角）对应相等时，它们全等吗？

教学时仍然先引导学生分析从三角形的六个元素中，任意选取其中的三个，有多少种选法？

然后就两边一角情况再细分两种情况，逐一探究……

活动1：

如图3,每人用一张长方形纸片剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合？

（1）任意剪一个直角三角形，同学们得到的三角形都能够重合吗？

（2）重新利用这张长方形剪一个直角三角形，要使得全班同学剪下的都能够重合，你有什么办法？

（3）剪下直角三角形，验证是否能够重合，并能得岀什么结论?

活动2:

如图4,MBC与2EF,aMNP能完全重合吗？

（1）直觉猜想哪两个三角形能完全重合？

（2）将图形剪下来，验证猜想是否正确.

活动3:

按下列作法,用直尺和圆规作SBC，使zA=za,AB=a,AC=b.（如

图5）

你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?

从而得出基本事实.

教学分析：

案例2的探究过程中，借助活动探究，重点展现了两个方面的过程性目标导向.第一,知识自然生长过程.探索三角形全等的条件时，从一组边或角相等作为起点，采用逐步增加条件的方式来探究.一生二，二生三，循序渐进，引发思考,得出结论•知识发展自成体系,学生在经历知识探索过程中,感受硏学的快乐，体会成功的喜悦.第二，操作验证过程•通过画图举反例,对条件一一探究,培养画图意识及操作能力.接着，用长方形纸片任意剪直角三角形，进一步明确只有一个条件的两个直角三角形不全等，有两条直角边相等的两个直角三角形全等，为得岀基本事实提供特殊例子；活动2的设计目的是引导学生由特殊到一般进行探究,符合硏究问题的逻辑顺序；活动3设计的目标导向，一是会利用基本作图作三角形；二是提供验证图形,易于与同伴交流比较,发现结论；三是为得出基本事实做结论性的确认.过程经历于此，结果自然浮现•过程探究为学生实现〃思维之旅"指明了方向和路径.

3.问题变式一旨向联系,类比内化

变式教学是中国数学教育的一个创造.按照《认知心理》中的走义，变式是指在教学活动中使本质属性保持恒定,而从不同角度、不同方面和不同方式变换事物的非本质属性，以便揭示其本质特征的方法问题变式应具有明确的目的性、层次性和关联性.

案例3:

"证明：

直角三角形的两锐角互余"的变式教学

环节1:

指导学生分析如何证明与图形有关的文字命题；

环节2:

学生完成画图，写已知、求证，并自主完成证明；

环节3（变式1）:

说出上述命题的逆命题，完成证明，并总结强调，它们是一对互逆的真命题，以后可作为定理使用.

环节4（变式2）:

（1）如图6,在RfABC中，zACB二90°,D是AB上一点.且zACD二zB.求证:

CD丄AB.

（2）你在

（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？

环节5（变式3）:

如图7,在RfABC中，zACB=90°,CD丄ABz垂足为D.

zBAC的平分线分别交CB,CD于点F,E.求证：

zCEF=zCFE.

教学分析：

当代数学家波利亚曾形象地指出:

"好问题同某种蘑

菇有些相像,

它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个•"数学教学也离不开问题的变化，但这种变化并不是孤立零散式的,要注意把握知识之间的横纵联系，从而有利于学生深入思考，更有利于问题的分析与解决.

案例3以问题串的形式呈现出教学指向〃流程图"，关注联系，拾阶而上，在变中揭示不变的问题实质•环节1和环节2以证明命题"直角三角形中两锐角互余〃

为问题起点,一方面强化“文字命题〃的证明步骤,另一方面让学生明白这个结论

的重要性及应用的广泛性，这与后续的学习联系密切；环节3从互逆角度关联，揭示正（性质）与反（判定）的辩证关系，其实这正是数学问题探究的基本套路.（如

图形的性质与判定，整式乘法与因式分解，公式的正用与逆用等）这些为以后类比迁移学习数学知识提供了研究问题的思维范式；环节4既综合应用了上述两个重要结论（定理），体现知识的迁移应用，又实现了几何问题三种语言的转换与联系;

环节5对问题进一步深化，通过类比迁移内化生成，让学生树立模型思想，学会提炼模型伺时，积累应用经验，即〃同角（等角）的余角相等"的广泛运用.这里通过正反关联、纵横比较、转化融合，使学生对数学本质、方法、思想有更深刻的认识,从而提升思维品质.

4.问题反思——聚焦方法，揭示内涵

问题解决后，教师要引导学生养成反思问题的习惯，对问题有全面深刻的认识,在发现问题、分析问题及解决问题的基础上，及时总结与提炼，让发散的思维得以聚合，以达到明晰化、条理化，实现由"鱼"到〃渔"的质的飞跃，以期举一反三,触类旁通•诸如回顾解答过程,总结梳理要点,明白得失,让问题理解更深刻,让学习更有效.

案例4:

"相似三角形〃复习教学片断

问题：

如图8,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=Fl+bx+c交x轴于A

（2,0）,B（6,0）两点，交y轴于点C（0,「）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设点P为抛物线对称轴上的一动点，若“PCB为直角三角形，求出点P的

坐标.

分析：

⑴略；

（2）由题意可知：

抛物线的对称轴为直线x二4.APCB为直角三角形，但并没有

指明直角顶点，所以必须分类讨论•分类讨论的依据是直角顶点，点P,C,B都有可

能是直角顶点.（如图9所示，可概括为"两线一圆法"）具体可分类如下：

当点C为直角顶点时（如图10）;

当点B为直角顶点时（如图口）:

当点P为直角顶点时（如下页图12、图13）（先求坐标，再坐

标）.

教学分析：

上述复习教学突出了问题反思的重要导向•第一，借〃形"助力.引导学生画图分析问题，以图启思，借"形"寻“路"，不难发现，借助垂线、辅助圆很容易找到满足条件的P点，渗透几何直观，得岀分析问题的基本方法与常用套路.随后自然地将“形"内化为“型"，通过问题的分类讨论，师生共同提炼基本模型——型图；第二，提炼思想方法.如分类（点P的四种位置），模型（"K"型图）,数形结合（以形分析,数融形中）,转化与化归（转化为相似问题）,类比迁移（由一种情况可类比移至其他情况）,等等.学生获得了应用思想方法的成功体验,有顿悟之感，便增添探索的欲望.

三、对问题教学设计意图的思考

L基于教材编写,把脉问题设计意图

教师在教学中要仔细分析教材选取问题的教学导向及所承载的价值.不要让教材

资源轻易流失，要在深刻理解教材用意的基础上活用教材如案例1中教材提供的情境创设”意蕴深厚•从现实生活来看”真切的故事”真实的邮票”激起学生探究问题的欲望；从数学角度分析,既有数学文化的传承,又有育人功能的渗透,既呈现了本课所探索的图形（直角三角形）直指课堂教学主旨,又体现了生活与数学的紧密联系；从思维角度分析，由外显之形引向数量关系的深思，由特殊图形的"数一数"到一般图形的”证一证”的验证探究等.此乃真是”识得庐山真面目，无限风光在其中•“明白这点，问题教学之路将会越走越通畅.

2.基于"理解数学"，审视问题设计意图

章建跃博士指出：

”理解数学,理解教学,理解学生是数学教学质量的根本保证".其中〃理解数学”与问题设计意图一脉相承，理解数学，就是要解决"教什么"的问题,进而牵涉对所选问题内容设计意图的把握.

（1）授之以鱼，得之以渔

备课时要深入领悟所教内容的用意与方向•设计时既要关注教学内容，更要关注内容背后隐藏的数学思想方法•案例3作为〃推理"的起步教学,其重要性不言而喻.问题以"直角三角形两锐角互余"这一核心知识的探究与运用为背景，通过〃变图形、改问法、增问题"等方式,让问题生长聚焦，使问题内容丰富厚重,同时触及数学的精髓内容,即数学思想方法,其间体现了数形结合、分类讨论、类比、转化与化归、特殊与一般、建模、图形变换等重要的思想方法.案例4作为复习教学，对数学思想方法的提炼显得更重要，其间有分类、模型、数形结合、转化与化归、类

比迁移等重要的数学思想方法.

（2）行于过程,成于经验

数学问题教学，不是灌输，也不是告诉，而是一个不断探索、慢慢发现、逐步积累的过程•案例2通过有意识的问题设计引领学生踏上探究之路.展示了探究的全过程,结论自然随之生发出来•它借助"探索三角形全等的条件"问题,以全等条件为〃根，以增加条件为〃线"・以画图操作为〃路"・以推理验证为"据"・亦步亦趋，步步为营，问题自然生长，思维慢慢深化，经验逐步积累（要判定三角形全等至少要有三组条件，其中至少要有一组边）,让学生在〃做"中经历过程，在建模解决问题过程中攻克〃磨难〃，品尝并获得探索过程的艰辛及成功的快乐.

（3）外解于题，内省于思

罗增儒教授（解题信息论）指出：

"值得注意的是，问题书写完成之后，信息

过程并没有结束,'解答’依然向我们输入信息,表现为解后的探究反思由此看来，倡导问题教学后反思是问题设计意图的一个重要导向，案例4坚持〃学思结合"〃学用结合"，采用"建立模型一解释、应用与拓展"的模式展开教学•诸多问题值得反思，如：

问题生长点在哪？

导学路径如何？

分析方法有哪些？

还有没有值得再研究的方面？

在平时的教学中，要锻炼学生仔细审题，克服困难，培养意志，用心思考，寻求解题的策略和方法.引导学生从中不断反思，积累经验.

原文参考文献：

•[1]姚志敏，虞青•基于“问题解决”教育理念下的数学综合实

践课的设计一一以“探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件”为例[J]•初中数学教与学,2015（3）：

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