则乙输光的概率为1-
结果表明,当甲乙两人的赌博本领相当时,甲乙两个输光的概率分别为b/a+b和a/a+b,即谁的初始赌本大谁就处于有利地位;当甲乙两人本领不相当时（即p≠q）,通过一些数据统计可以看出,即使在赌本上占有明显优势,若本领差的话,结果仍会很糟糕.。
5.定理3 若一个赌徒在每一局赌博中以概率p赢一元,以概率q=1-p输一元,假定各局赌博是相互独立的,赌徒开始有i元,则P{他在下一局赌博中赢|目前的赌金为i,他最终到达N元}=
证明:
使用条件概率公式有
P{他在下一局赌博中赢|目前的赌金为i,他最终到达N元}
=P{他在下一局赌博中赢,目前的赌金为i,他最终到达N元}/P{目前的赌金为i,他最终到达N元}
=P{他目前的赌金为i,最终到达N元|在下一局赌博中赢}P{在下一局赌博中赢}/P{目前的赌金为i,他最终到达N元}
=
（二）扑克牌分析
接下来我们通过扑克牌的几种玩法，来看一看，在日常的一些赌博过程中的概率论问题：
2.1洗牌问题
例1.把一副扑克牌52张洗匀，求四张A连在一起的概率。
解：
洗匀一副扑克牌是指52张牌的各种各样排列出现的机会都一样，将每一个排列看成一个基本事件，则基本事件总数
。
当对52张牌依次查看时，找连着的四张A只要找到第一张A就可以了。
这第一张A能在第一张到第49张牌的49个位置上出现，故有利场合数为
从而所求概率为
。
例2.洗牌（52张），求
（1）结果“A23…K；A23…K；A…K；A…K”出现的概率;{2）前13张恰为“A23…K”的概率。
解:
基本事件总数仍为52!
（1）此时的排列对牌的花色没有要求，只与牌点数有关，因A的四个位置是固定的（第1,14,27,40号牌），则A的排法有4!
种.同样2到K各张扑克牌的排法都有4!
种，由乘法原理得有利场合数为
种。
从而所求概率
。
（2）前13张牌的每一张都有4种取法，而其余的39张牌可进行全排列。
由乘法原理得有利场合数
，故概率
。
2.2桥牌游戏
例：
打桥牌时把52张牌分给四人，求
（1）有人得到13张黑桃的概率;
（2）有人得到4张A的概率;（3）一人得到13张黑桃而另一人得到3张A的概率。
解：
（1）基本事件数为
，符合条件的事件数为
故
。
（2）基本事件数为
，符合条件的事件数为
故
（3）先考虑指定四人之一抓到13张黑桃，对此人来说只有一种选法。
再指定三人之一抓得3张A,抓牌方法有
种.而这两人的选法共有
种故.
2.3升级游戏
例1.升级游戏（54张牌，底牌为6张），底牌中有“王”的概率。
解：
底牌中有王，即在洗牌时将至少一张王牌放置于下方六页牌之中。
将54张牌的每一种排列看作一次随机试验，则基本事件总数为
符合条件的事件数为
故所求概率为
。
例2.升级游戏，
（1）求有人抓得双王的概率;
（2）求有一人得到4个A，另一人得双王，其余五人各有五张红桃的概率。
解：
升级游戏中，每人可得到12张牌，底牌有6张，按结论1求得基本事件
。
（1）有人得双王的事件有
故所求概率为
（2）从4人中选出2人（称为前二人）获得4个A和双王共有
种选法。
这两人确定后，从12张红桃中任选十张分给后两人,共
种,此二人的各自另7张牌可在其余36张中选取，方法有
种。
再将剩余的24张分给前两人和留底牌，分法有
种。
故所求概率为
。
2.4抽牌问题
例1.从洗匀的扑克牌（52张）中接连抽出二张（抽出的牌不放回）.求第二张才抽到红桃的概率。
解：
设A表第一张未抽到红桃，B表第二张抽到红桃，则
，
，所以第二次抽到红桃的概率为
例2.从一付牌中随机抽四张牌是同花顺的概率是多少?
解：
首先抽到非大小王，然后抽4花色之一种,然后在此种类中抽4连张（10种，可直接数出来,每种4!
种排列，共240）
故依次相乘得：
本部分通过对四类扑克牌的玩法进行概率分析，对在日常生活中赌博的概率问题有所了解，在这里仅列出具有代表性的几类扑克牌游戏中的概率问题。
扑克牌游戏法多种多样，可设计更多不同的概率问题。
（三）其他例题分析
3.1骰子游戏
规则说明：
一般采用三枚骰子和一个骰盅，简单分为大小两门，规定4点至10点为小，11点至17点为大。
若押小开小，押小者可获一倍彩金，押大者则输，赌注（现金筹码）归庄家；若押大开大，则类推。
若庄家摇出全骰（即三枚骰子现出一样的点数），赌徒无论押大押小皆输。
分析：
I：
首先分析若庄家摇出全骰（即三枚骰子现出一样的点数）的概率：
各点数组合共有
种，全骰共有6种，其概率为
Ⅱ：
再分析小的概率，逐个分析：
4点有（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）三种组合，则其概率为
5点：
有（1，1，3）（1，2，2）（1，3，1）（2，1，2）（2，2，1）（3，1，1）六种组合，则其概率为
6点有（1，1，4）（1，2，3）（1，3，2）（1，4，1）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）（4，1，1）九种组合，则其概率为
7点有（1，1，5）（1，2，4）（1，3，3）（1，4，2）（1，5，1）（2，1，4）（2，2，3）（2，3，2）（2，4，1）（3，1，3）（3，2，2）（3，3，1）（4，1，2）（4，2，1）（5，1，1）则其概率为
以此类推
8点的概率为
9点的概率为
10点的概率为
则小的概率为
则由此可知大的概率为
。
在实际的赌博过程中，会因为庄家的技术等原因改变概率的分布，在此就不做考虑了。
3.2轮盘游戏
规则介绍及分析：
轮盘是一种十分刺激的游戏。
它由一个轮盘、一个象牙制小球以及一张赌桌构成。
轮盘以转轴为中心转动，并且分成38个（美式轮盘）细长沟道。
36个沟道分别编号为1至36，一半是红色一半是黑色。
另外两个绿色沟道分别标为0和00。
玩家按照赌桌上的赌区下注。
一旦赌桌上的赌注总额超过最小赌注，小球就会被掷进轮盘。
小球进入任何一个沟道并停止卷动之后，输赢即确定下来。
无论哪一轮游戏，玩家所下的赌注均不能超过最大赌注。
骤眼看轮盘上数字的排列是完全随机的！
较明显是红色和黑色单双数的比例是不同的，其实数字的分布排列是经过小心处理的，而轮盘上每一格的光滑度及大小都是一样的，多数一对的数字都有另一个数字相隔，这对数字总和是37或39。
赌场优势
美式轮盘有38个号码，如果你赌一个号码，赢的几率是37：
1，如果你投1元赢了，赌场赔你37元，你共有38元，这样就是公平的游戏；实际上赌场只赔你35元，你共有36元，2元留在赌场的口袋里，这就是赌场的优势，即2/38＝5.26％。
所以以上美式轮盘规则，投注赌场优势是5.26%，除了0-00-1-2-3的投注组合，因为其赌场优势为7.89%。
但在实际的生活中，由于种种的人为因素，概率往往不符合例题的分析，作弊等现象屡禁不止，所以人们常说：
“十赌九输”，就是在说明在人为因素介入的情况下，往往最终获胜的是庄家，而玩家才是真正的受害人。
三、彩票陷阱的分析
（一）定义
彩票陷阱又称作抽奖陷阱是指用概率极小的中奖吸引消费者，以后去更大的利益，受害者通常是消费者。
与古典概率问题联系紧密。
但在当今我国社会中彩票被用来进行慈善事业，在这里我们只考虑其概率不研究它的陷阱设置。
（二）彩票的基本分析
近年来,“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使得越来越多的人加入到“彩民”这一行列.目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种,下面对这两种类型彩票的具体购买方式和中奖方式进行叙述:
2.1 传统型
2.1.1玩法和设奖方式
传统型彩票玩法比较简单,2元买一注,每一注填写一张彩票。
每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成。
每位数字均可填写0、1、…、9这10个数字中的一个;特别号码为0、1、2、3、4中的一个。
每期设六个奖项,投注者随机开出一个奖号———一个6位数号码,另加一个特别号码即0~4中的某个数字。
中奖号码规定如下:
彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同,而且特别号码也相同———特等奖;6位数完全相同———一等奖;有5个连续数字相同———二等奖;有4个连续数字相同———三等奖;有3个连续数字相同———四等奖;有2个连续数字相同———五等奖。
每一期彩票以收入的50%作为奖金。
三、四、五等奖的奖金固定,特、一、二等奖的奖金浮动。
例如,如果一等奖号码是123456,特别号为0,那么各等奖项的中奖号码和每注奖金,如下表所列:
奖级
中奖号码
每注奖金
特等奖
123456+0
（奖金总额-固定奖金）×65%÷注数88万元（保底）~500万元（封顶）
一等奖
123456
（奖金总额-固定奖金）×15%÷注数
二等奖
12345□ □23456
（奖金总额-固定奖金）×20%÷注
三等奖
如:
□2345□等共3组
300元
四等奖
如:
□□□456等共4组
20元
五等奖
如:
□□□45□等5组
5元
2.1.2中奖概率
以一注为单位,计算每一注彩票的中奖概率。
特等奖———前6位数有106种可能,特别号码有5种可能,共有106×5=5000000种选择,而特等奖号码只有一个,因此,一注中特等奖的概率为:
；
一等奖———前6位数相同的,只有一种可能,故中一等奖的概率为:
；
二等奖———有20个号码可以选择,故中二等奖的概率为:
；
三等奖———有300个号码可以选择,故中三等奖的概率为:
；
四等奖———有4000个号码可以选择,故中四等奖的概率为:
；
五等奖———有50000个号码可以选择,故中五等奖的概率为:
。
合起来,每一注总的中奖率为:
这就是说,每1000注彩票,约有54注中奖（包括五等奖到特等奖）。
2.2乐透型
2.2.1玩法和设奖方式
同样也是2元一注,每一注填写一张彩票,从01、02、…、33这33个号码中,选取7个号码。
每一期开出7个号码,以及一个特别号码。
中奖号码如下表所示：
奖级
基本号码
特别号码
每注奖金
●●●●●●●
★
一等奖
●●●●●●●
（顺序不限）
（奖金总额-固定奖金）×75%÷注数
二等奖
●●●●●●★
（顺序不限）
（奖金总额-固定奖金）×10%÷注数
三等奖
●●●●●●○
（顺序不限）
（奖金总额-固定奖金）×15%÷注数
四等奖
●●●●●★○
（顺序不限）
500元
六等奖
●●●●★○○
（顺序不限）
10元
七等奖
●●●●○○○
●●●★○○○
（顺序不限）
（顺序不限）
5元
2.2.2 中奖概率
也是以一注为单位,计算一注中奖的概率。
为简单起见,我们建立一个摸球模型:
假设袋子里有33个球,其中有7个红球,1个黄球和25个白球。
红球为中奖号码,黄球为特别号码,白球为其他号码。
于是,每一注彩票,就相当于一次从袋子中摸出7个球来,如果摸出7个红球,即为一等奖;摸出6个红球、一个黄球,即为二等奖;摸出6个红球、一个白球,即为三等奖;摸出5个红球、一个黄球、一个白球,即为四等奖;摸出5个红球、两个白球,即为五等奖;摸出四个红球、一个黄球、两个白球,为六等奖;摸出4个红球、3个白球,或者3个红球、一个黄球、三个白球,为七等奖。
因此,各个奖级选中的概率为：
一等奖———
二等奖———
三等奖———
四等奖———
五等奖———
六等奖———
七等奖———
合起来,每一注中奖的概率为：
P=0.0417848=4.17848%≈4.18%,即每10000注彩票中,约为418注中奖（包括各个奖级）。
由上面对两种彩票玩法中奖概率的分析可见，中奖概率极低，如果参与者被高额的奖金所吸引，其不断的投入只能换回很少的回报，一个理智的人不应该将中彩票作为自己发家致富的手段。
（三）抽奖陷阱实例分析
上面是对彩票及其中奖概率的分析，下面我们来看一看免费抽奖中的陷阱设制。
我们通过实例对具体问题进行具体分析。
下面是一个搞免费抽奖的地摊，玩家很多。
其具体方法是:
在一个碗中放有20个红白各半的小玻璃珠,参与者从碗中随意抓出10个小玻璃珠来,如抓到:
1、10个颜色全同,即10个全红或10个全白,可得一等奖,奖金300元;
2、9个颜色全同,即9个红色、1个白色或9个白色、1个红色,获二等奖,奖金30元;
3、8个颜色全同,即8个红色、2个白色或8个白色、2个红色,获三等奖,奖金3元;
4、7个颜色全同,即7个红色、3个白色或7个白色、3个红色,获四等奖,奖金2元;
5、6个颜色全同,即6个红色、4个白色或6个白色、4个红色,获五等奖,奖金1元;
6、5个颜色全同,即5个红色、5个白色,则罚款5元。
乍一看来,这类抽奖非常优惠:
一是免费抽奖,多抽
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