高中数学开放题赏析.docx

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高中数学开放题赏析

高中数学开放题赏析

题目1：

如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：

①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。

请说出你认为正确的那些序号。

解：

分三种情形

第一种情形　从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。

设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，

∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，

∴AB，BC，AC的长分别为

在△ABC中，由余弦定理

cos∠BAC=

=

=

＞0

∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角

∴△ABC是锐角三形。

②正确。

当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。

第二种情形如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900

∵AD⊥BD，AD⊥DC，

∴AD⊥面DBC

∴BD是AB在平面DBC上的射影。

由三垂线定理知，BC⊥AB

∴第四个面△ABC是直角三角形。

①正确。

第三种情形如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900

设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，

则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，

∴AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2

在△ABD中，由余弦定理得

cos∠ADB=

＜0

∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。

显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。

故答案是①②③④⑤⑥。

注：

此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。

其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。

（注：

第三种情形的存在性可以这样来验证：

先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。

以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在）。

题目2：

设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。

（I）证明：

＜lgSn+1；

（II）假设存在常数C＞0，使得

成立？

并证明（1995年全国高考题）。

解：

（I）证明略。

得出Sn·Sn+2＜Sn+12。

  （II）假设存在常数C＞0，使得

成立？

并证明你的结论。

  Sn－c＞0①

Sn+1－c＞0②

Sn+2－c＞0③

（Sn－c）（Sn+2－c）=（Sn+1－c）2④

由④得

 SnSn+2－Sn+12=c（Sn+Sn+2－2Sn+1）⑤

由重要不等式及①②③④知

Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn―c）+（Sn+2―c）―2（Sn+1―c）

≥2

因为c＞0，故⑤式右端非负，即

SnSn+2－Sn+12≥0。

而由（I）的证明可知

SnSn+2－Sn+12＜0，产生了矛盾。

故不存在常数，c＞0，

使

评析：

这是一个台阶试题，在求解第（II）小题时，必然要用到第（I）题结论，也就是说第（I）题经过证明之后的结论将在解答第（II）小题时作为条件使用，而第（II）小题中究竟中是否存在常数c＞0？

最终要看假设存在之后，是否与第（I）小题矛盾。

题目3:

设等比数列

的公比为q，前n项和为Sn，是否存在常数C，使数列

也成等比数列？

若存在，求出常数C；若不存在，请说明理由。

讲解:

存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步深化解题进程的。

设存在常数C，使数列

成等比数列。

∵

∴

（i）当q=1时,

代入上式得

即

=0

但

于是不存在常数C，使

成等比数列。

（ii）当

时，

，代入上式得

综上可知，存在常数

，使

成等比数列。

等比数列n项求和公式中公比的分类,极易忘记公比

的情形,可不要忽视啊!

解析：

条件探索性开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目。

这类问题大致可分为：

其一是条件未知，需要探注；其二是条件不足，要求寻求充分条件。

解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。

题目4：

某选择题已知条件缺漏，原题为：

已知α、β均为锐角，且sinα－sinβ=－

，

则得

，

即cosα+cosβ=－

，

 此与α、β均为锐角矛盾。

若

，

则得

即cosα+cosβ=

，

这一结果与另一已知条件sinα－sinβ=－

在形式上了比较接近。

故所缺失的条件可能为cosα+cosβ=

。

 评析：

此类题可模仿分析法的解题方法，将结果加入条件，逆推导出需要寻求的条件，但一般情况下答案不惟一。

方法探索性开放型问题

这是一类条件、结论都不明确的问题，使得解题方法是开放的，需要探索出合适的解题方法，又需要进行严格的推理论证。

题目5：

已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α＜β≤π的常数，试问α、β取何值时，f（θ）的值恒为定值。

（日本御茶水女子大学入学试题）

分析一：

要使f（θ）的值不随θ的变化而变化，即函数f（θ）为常值函数，则可赋予特殊的自变量值探求。

解一：

令θ=0，

得

 f（0）= sin2α+sin2β

依题意可设f（0）=

 =

=  m，（m为常数），则由f（0）+

= 2m，解得m= 

。

再代入f（0）=

=

=

解得

。

 分析二：

要使f（θ）的值不随θ变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变量的系数为零，这样就可以把问题转化。

 解二：

      ∵f（θ）恒为定值，即f（θ）的值与θ无关。

 ∴1+2cos（α+β）cos（α－β）=0

sin（α+β）cos（α－β）=0

∴sin（α+β）=0

考虑到0≤α＜β≤π，有0＜α+β＜2π,

∴α+β=π①

∴cos（α－β）=

∵－π≤α－β＜0，∴α－β=－

　②

①、②联立可得：

。

题目6：

某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元。

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；

（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

（i）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

（ii）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？

请说明你的理由.

讲解：

本例兼顾应用性和开放性,是实际工作中经常遇到的问题。

（1）

=

（2）解不等式

＞0,

得

＜x＜

.

∵　x∈N，　∴　3≤x≤17.

故从第3年工厂开始盈利.

（3）（i）∵　

≤40

当且仅当

时，即x=7时，等号成立.

∴　到到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元。

（ii）∵y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102，

当x=10时，ymax=102。

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.

解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具。

题目7：

已知函数f（x）=（x<-2）

（1）求f（x）的反函数f-1（x）；

（2）设a1=1,=-f-1（an）（n∈N）,求an；

（3）设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<成立？

若存在，求出m的值；若不存在说明理由。

讲解：

本例是函数与数列综合的存在性问题,具有一定的典型性和探索性。

（1）y=

∵x<-2，∴x=-

即y=f-1（x）=- 

（x>0）

（2）∵

∴

=4

∴{

}是公差为4的等差数列

∵a1=1∴

=

+4（n-1）=4n-3

∵an＞0  ∴an=

（3）bn=Sn+1-Sn=an+12=

由bn<

得m>

对于n∈N成立。

∵

≤5,

∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn<

成立。

为了求an,我们先求

这是因为{

}是等差数列,试问:

你能够想到吗?

 该题是构造等差数列的一个典范。

 题目8：

已知数列

在直线x-y+1=0上。

（1）    求数列{an}的通项公式；

（2）若函数

求函数f（n）的最小值；

（3）设

表示数列{bn}的前n项和。

试问:

是否存在关于n的整式g（n）,使得

对于一切不小于2的自然数n恒成立?

若存在,写出g（n）的解析式,并加以证明；若不存在,说明理由。

讲解：

从规律中发现,从发现中探索。

（1）

（2）

.

     （3）

          ．．．．．．

 故存在关于n的整式

使等式对于一切不小2的自然数n恒成立。

事实上,数列{an}是等差数列,你知道吗？

题目9：

深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。

据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。

请问警察的认定对红色出租车公平吗？

试说明理由。

讲解：

设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

证人所说的颜色（正确率80%）

真

实

颜

色

蓝色

红色

合计

蓝色（85%）

680

170

850

红色（15%）

30

120

150

合计

710

290

1000

 从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为

，而它是蓝色的概率为

。

在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的。

本题的情景清新,涉及到新教材中概率的知识,上述解法中的列表技术显示了一定的独特性,在数学的应试复课中似乎是很少见的.

——节选自《高中数学开放题赏析》