第3节 圆周运动.docx
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第3节圆周运动
第3节 圆周运动
基础必备
1.如图所示,乘坐游乐园的翻滚过山车时,质量为m的人随过山车在竖直平面内旋转,下列说法正确的是（ D ）
A.过山车在最高点时人处于倒坐状态,全靠保险带拉住,没有保险带,人就会掉下来
B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C.人在最低点时对座位的压力等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
解析:
人过最高点时,FN+mg=m
当v≥
时,即使人不用保险带也不会掉下来,当v=
时,人在最高点时对座位产生的压力为mg,A,B错误;人在最低点时具有竖直向上的加速度,处于超重状态,故人此时对座位的压力大于mg,C错误,D正确.
2.（多选）自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样,它们的边缘上有三个点A,B,C,如图（a）所示.向心加速度随半径变化的图象如图（b）所示,则（ AD ）
A.A,B两点的加速度关系满足甲图线
B.A,B两点的加速度关系满足乙图线
C.B,C两点的加速度关系满足甲图线
D.B,C两点的加速度关系满足乙图线
解析:
A,B两点在两齿轮边缘通过链条传动,则A,B两点的线速度大小相等,由a=
a与R反比,所以A,B两点的加速度关系满足甲图线,选项A正确,B错误;B,C两点同轴转动,则B,C两点转动的角速度相同,由a=Rω2,a与R成正比,所以B,C两点的加速度关系满足乙图线,选项C错误,D正确.
3.如图所示,用一根细绳一端系一个小球,另一端固定在O点,给小球不同的初速度,使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动,则选项图中细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图象正确的是（ A ）
解析:
设细绳长度为l,小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ,细绳拉力为F,则有Fsinθ=mω2lsinθ,得F=mω2l,选项A正确;由mgtanθ=mω2lsinθ,h=lcosθ,得h=
选项B错误;小球的向心加速度a=ω2lsinθ,因为θ随着ω的变化而变化,sinθ不是一个定值,选项C错误;小球的线速度v=ωlsinθ,选项D错误.
4.（多选）铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的.弯道处要求外轨比内轨高,其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关,还与火车在弯道上的行驶速率v有关.下列说法正确的是（ AD ）
A.速率v一定时,r越小,要求h越大
B.速率v一定时,r越大,要求h越大
C.半径r一定时,v越小,要求h越大
D.半径r一定时,v越大,要求h越大
解析:
火车转弯时,向心力由重力mg与轨道支持力FN的合力来提供,如图所示,设轨道平面与水平面的夹角为θ,则有mgtanθ=
且tanθ≈sinθ=
其中L为轨间距,是定值,有mg
=
通过分析可知A,D正确.
5.（2019·山东青岛期末）（多选）如图所示,内壁光滑的大圆管,用一细轻杆固定在竖直平面内;在管内有一小球（可视为质点）做圆周运动.下列说法正确的是（ ABD ）
A.小球通过最低点时,小球对圆管的压力向下
B.小球通过最高点时,小球对圆管可能无压力
C.细杆对圆管的作用力一定大于圆管的重力大小
D.细杆对圆管的作用力可能会大于圆管和小球的总重力大小
解析:
小球通过最低点时,小球受到重力、圆管向上的支持力,合力指向圆心,根据牛顿第三定律,小球对圆管的压力向下,选项A正确;当小球通过最高点时,若速度为
圆管对小球的弹力为零,小球对圆管无压力,选项B正确;对圆管和球组成的整体为研究对象,当小球的向心加速度向上（或分量向上）时,细杆对圆管的作用力会大于圆管和小球的总重力大小;当小球的向心加速度向下（或分量向下）时,细杆对圆管的作用力小于圆管和小球的总重力大小,选项C错误,D正确.
6.如图所示,一根细线下端拴一个金属小球,细线的上端固定在金属块Q上,Q放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上,小球在某一水平面内做匀速圆周运动（图中P位置,圆锥摆）.现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P′位置）,两次金属块Q都静止在桌面上的同一点,则后一种情况与原来相比较,下面的判断正确的是（ B ）
A.细线所受的拉力变小
B.小球运动的角速度变大
C.Q受到桌面的静摩擦力变小
D.Q受到桌面的支持力变小
解析:
设OP长度为l,与水平面的夹角为θ,竖直方向平衡,有Fsinθ=mg,水平方向由牛顿第二定律得Fcosθ=mω2lcosθ,由以上方程分析可得,随θ角减小,F增大,A错误;结合Q受力平衡得Q受到桌面的静摩擦力变大,受到的桌面的支持力不变,C,D错误;由F=mω2l知,ω随F的增大而增大,B正确.
7.如图所示,轻绳的一端固定在O点,另一端系一质量为m的小球（可视为质点）.当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时,通过传感器测得轻绳拉力F、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式F=a+
bcosθ,式中a,b为常数.若不计空气阻力,则当地的重力加速度为（ D ）
A.
B.
C.
D.
解析:
设物体在最高点的速度为v1,此时θ=180°,绳的拉力F1=a-b;根据向心力公式有mg+a-b=
;设物体在最低点的速度为v2,此时θ=
0°,绳的拉力F2=a+b;根据向心力公式有a+b-mg=
;从最高点到最低点的过程,只有重力做功,由机械能守恒定律得
m
=
m
+mg·2r,解得g=
选项D正确.
8.（2019·辽宁沈阳三模）如图所示,水平地面上有一光滑弧形轨道与半径为r的光滑圆轨道相连,且固定在同一个竖直面内.将一只质量为m的小球由圆弧轨道上某一高度处无初速释放.为使小球在沿圆轨道运动时始终不脱离轨道,这个高度h的取值可为（ D ）
A.2.2rB.1.2rC.1.6rD.0.8r
解析:
小球始终不脱离轨道,一种情况是小球做完整的圆周运动,刚好不脱离圆轨时,在圆轨道最高点重力提供向心力,有mg=m
;由机械能守恒定律得mgh-mg·2r=
mv2,解得h=2.5r.另一种情况是小球不超过与圆心等高处,由机械能守恒定律得mgh=mg·r,得h=r,综上得为使小球在沿圆轨道运动时始终不脱离轨道,h的范围为h≤r或h≥2.5r,故A,B,C错误,D正确.
能力培养
9.（多选）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型,如图所示的两个水平放置的转盘靠摩擦力传动,其中O,O′分别为两转盘的轴心,已知两个转盘的半径比r甲∶r乙=3∶1,且在正常工作时两转盘不打滑.今在两转盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A,B,两滑块与转盘间的动摩擦因数相同,两滑块距离轴心O,O′的间距关系为RA=2RB.若转盘乙由静止开始缓慢地转动起来,且转速逐渐增加,则下列叙述正确的是（ ABC ）
A.滑块A和B在与转盘相对静止时,角速度之比为ω甲∶ω乙=1∶3
B.滑块A和B在与转盘相对静止时,向心加速度的比值为aA∶aB=2∶9
C.转速增加后滑块B先发生滑动
D.转速增加后两滑块一起发生滑动
解析:
假设转盘乙的半径为r,由题意可知两转盘边缘的线速度大小相等,则有ω甲·3r=ω乙·r,得ω甲∶ω乙=1∶3,所以滑块A,B在与转盘相对静止时,角速度之比为1∶3,根据a=ω2r得,此时A,B的向心加速度之比为2∶9,故A,B正确;由题意知,滑块的最大静摩擦力分别为fA=μmAg,fB=μmBg,最大静摩擦力之比fA∶fB=mA∶mB;转动过程中所受的静摩擦力之比fA′∶fB′=mAaA∶（mBaB）=mA∶（4.5mB）,故滑块B先达到最大静摩擦力,先开始滑动,故C正确,D错误.
10.（2019·湖南湘潭月考）如图（甲）所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为FN,小球在最高点的速度大小为v,其FN
v2图象如图（乙）所示.则（ A ）
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=c时,在最高点杆对小球的弹力方向向上
D.v2=2b时,在最高点杆对小球的弹力大小为2a
解析:
由图（乙）可知,当小球运动到最高点时,若v2=b,则FN=0,小球只受重力的作用,有mg=
得v2=gR=b,故g=
B错误;当v2>b时,轻杆对小球的弹力方向向下,C错误;当v2=0时,轻杆对小球弹力的大小等于小球重力,即a=mg,代入g=
得小球的质量m=
A正确;当v2=2b时,由向心力公式得FN′+mg=
则FN′=mg=a,D错误.
11.（2019·山西吕梁质检）（多选）如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是（ BC ）
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
解析:
小球通过最高点时的最小速度为0,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下管道运动时,由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力,所以外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,故C正确;小球在水平线ab以上管道运动时,由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力,可能外侧壁对小球有作用力,也可能内侧壁对小球有作用力,故D错误.
12.（2019·湖南怀化联考）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点,如图所示,绳a与水平方向成θ角,绳b在水平方向且长为l,当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是（ C ）
A.a绳的张力可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω>
b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断,则a绳的弹力一定发生变化
解析:
由于小球m的重力不为零,a绳的张力不可能为零,b绳的张力可能为零,选项A错误;由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力,所以a绳的张力随角速度的增大不发生变化,b绳的张力随角速度的增大而增大,选项B错误;若b绳中的张力为零,设a绳中的张力为F,对小球m,Fsinθ=mg,Fcosθ=mω2l,联立解得ω=
即当角速度ω>
b绳将出现弹力,选项C正确;若ω=
b绳突然被剪断,则a绳的弹力不发生变化,选项D错误.
13.（2019·山东青岛期末）在科技探究活动中,一组同学利用一水平放置的绕竖直固定轴转动的透明圆盘来测量一不透明矩形窄条的宽度.将此矩形窄条沿圆盘半径方向固定在圆盘上,将激光器与传感器上下对准,使二者间连线与转轴平行,分别置于圆盘的上下两侧,且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动,激光器连续向下发射激光束.在圆盘转动过程中,当窄条经过激光器与传感器之间时,传感器接收不到激光,将发出一个由电流强度反映的信号,并将其输入计算机,经处理后画出相应图线.图（a）为该装置示意图,图（b）为调定圆盘转速,使激光器与传感器沿半径方向匀速移动4cm时所接收的两个对应连续电信号随时间变化的图线,横坐标表示时间,纵坐标表示接收到的电流强度信号,图中Δt1=1.0×10-3s,Δt2=0.8×10-3s.
（1）求图（b）中0.2s时圆盘转动的角速度;
（2）求激光器和传感器沿半径移动速度的大小和方向;
（3）求窄条的宽度（取两位有效数字）.
解析:
（1）由图（b）读得,转盘的转动周期T=0.8s,故
角速度ω=
=
πrad/s.
（2）激光器和传感器沿半径由中心向边缘移动（理由:
由于电信号宽度在逐渐变窄,表明光不能通过狭缝的时间逐渐减少,即圆盘上对应传感器所在位置的线速度逐渐增加,因此激光器和传感器沿半径由中心向边缘移动）.激光器与传感器沿半径方向匀速移动4cm,故速度大小v=
=
=5cm/s;
（3）设窄条宽度为d,传感器接收到第i个电信号时距转轴的距离为ri,第i个电信号的时间间隔为Δti.
则有
=
即ri=
故r2-r1=
（
-
）
有d=
将相关数据代入得d≈1.3mm.
答案:
（1）
πrad/s
（2）5cm/s 方向沿半径由中心向边缘移动
（3）1.3mm
14.如图所示,一玩滚轴溜冰的小孩（可视作质点）质量为m=30kg,他在左侧平台上滑行一段距离后平抛,恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道,并沿轨道下滑,A,B为圆弧两端点,其连线水平.已知圆弧半径为R=1.0m,对应圆心角为θ=106°,平台与AB连线的高度差h=0.8m.（取g=10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6）求:
（1）小孩平抛的初速度大小;
（2）小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力.
解析:
（1）小孩无碰撞进入圆弧轨道,即小孩落到A点时速度方向沿A点切线方向,则
tan
=
=
=tan53°,
又由h=
gt2得t=
=0.4s.
而vy=gt=4m/s,
联立以上各式得v0=3m/s.
（2）设小孩到最低点的速度为vt,由机械能守恒定律有
m
-
m
=mg[h+R（1-cos53°）]
在最低点,据牛顿第二定律有FN-mg=m
联立得FN=1290N;
由牛顿第三定律可知,小孩对轨道的压力为1290N,方向竖直向下.
答案:
（1）3m/s
（2）1290N,方向竖直向下
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