湖南省长郡中学雅礼中学河南省南阳一中信阳高中等湘豫名校届高三联考理科数学.docx
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湖南省长郡中学雅礼中学河南省南阳一中信阳高中等湘豫名校届高三联考理科数学
湘豫名校2020届高三12月联考理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.设全集U
R，集合A
xx2
2x30，B
xx1，则（CUA）B
A.xx
1
B.x1
x3
C.xx
1
D.xx
3
2.复数zi2019（12i）的共轭复数为
A.2
i
B.
2
i
C.
2
i
D.
2
i
3.
若（
x
2
n
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是
x
2）
A.
1
B.
1
C.210
D.211
2
eloge3
4.
若a
（
3）3
，b
log2e，c
，则有
A.c
a
b
B.a
c
b
C.c
b
a
D.a
b
c
5.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为
A.
1
B.
6
5
25
C.
7
D.
8
25
25
6.
数列an,bn
满足a1b1
2，an1
an
bn1
2，n
N*
，则数列
bn的前n项
bn
和为
A.
4
（4n11）
B.
4
（4n
1）
3
3
C.1（4n11）
D.1（4n1）
3
3
7.
执行如图所示的程序框图，若输出的值为
5，则框图中①处可填入
A.S
6?
B.S
10?
C.S
15?
D.S
21?
8.将函数ysin2x的图像向右平移（0
）个单位长度得到
f（x）的图像，若函数
2
5,
f（x）在区间[0,
]上单调递增，且f（x）的最大负零点在区间（
）上，则
的
3
12
12
取值范围是
A.（
]
B.（
）
64
64
C.（
12
4
]
D.（
12
4
）
9.梅赛德斯—奔驰（Mercedes—Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌
之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆地、水上和空中的机械化。
已知该商标由1
个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O为圆形，OAB15，若在圆内任
取一点，则此点取值阴影部分的概率为
2
3
3
2
3
3
A.
2
B.
4
6
3
9
6
3
9
C.
2
D.
4
10.
我们把Fn2
2n
1,2,3）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）。
设
1（n
an
log2（Fn
1），n
1,2,3
，Sn表示数列an
的前n项之和，则使不等式
22
23
24
2n1
63
S1S2
S2S3
S3S4
SnSn
成立的最大正整数n的值是
1
127
A.5
B.6
C.7
D.8
11.
在
ABC
中，E,F分别是AB,AC上的点，且满足AE
2EB，AF
2FC，
为
EF
P
上的任意一点，实数x,y满足PA
xPByPC
0，设ABC、
PBC、PCA、
Si
i（i
1,2,3），则2,
3取到最大值时，
PAB的面积分别为S、S1、S2、S3，记
x,y的值分别为
S
A.0,2
B.1,2
C.1,1D.2,1
12.设f
（x）
是定义
在
R上的函数
f（x）
的导数，
函数
f（x）满足
f（x）
1f（x）e2x2
x2
2f（0）x，若
g（x）
f（x）x2
2x
，且方程
2
g（x2
x）
x0有两个不同的实数解，则实数
a的取值范围是
a
A.（
0）
1
B.（
0）
（1,）
C.（0,1）
D.（1,）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
log2x
3,x0
是奇函数，则
f（g（
2））
__________.
已知f（x）
0
g（x）,x
14.
已知函数f（x）
sin（x
1）
a，若f（0）
f（
1
）
f（
2）
f（2019）
2
2020
2020
2020
f
（1）
2021则实数a
__________.
15.
x2
y2
1（a
b0）的左、右焦点分别为
F1,F2，过F1的直线l与圆
已知双曲线C:
2
b
2
a
x2
y2
a2相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若F1P3F1T，则
双曲线C的离心率为__________.
16.正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点
A的距离是
5的点形
2
成一条曲线，这条曲线的长度是
__________.（参考数据cos37
4）
5
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
在
ABC
中
，
角
A,B,C所
对
的
边
分
别
为
a,b,c，
且
s
2
2
iAsnCi
2
iAns
iCns
nsiBn.
（1）求角B的大小；
（2）若ABC为锐角三角形，其外接圆的半径为53，求ABC的周长的取值范围。
3
18.（本小题满分12分）
在RtAOB中，OAB
，斜边AB
4，RtAOC可以通过RtAOB以直线AO
6
1
为轴旋转得到，且二面角
BAOC为120
，点D满足ADDB.
2
（1）求证：
平面BOC平面AOB；
（2）求直线CD与平面AOB所成角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:
x2
y21（t0）的左、右顶点分别为
A,B，
4t2
3t2
右焦点为F，过点A且斜率为k（k
0）的直线交椭圆C于另一点P.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若t
1，设直线l:
x2，延长AP交直线l于点Q，线段BQ的中点为E，求
证：
点B
关于直线EF的对称点在直线
PF上。
20.（本小题满分12分）
2019年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸
沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱
象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的2019年部门预
算中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文
6000篇，预算为800
万元，国务院学位
委员会、教育部
2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：
每篇抽检
的学位论文送
3为同行专家进行评议，
3位专家中有2位以上（含2
位）专家评议意见
为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文”；有且只有
1位专家评议意
见为“不合格”的学位论文，将再送
2位同行专家进行复评，2为复评专家中有1位以
上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”。
设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p（0p1），且个篇论文是
否被评议为“不合格”相互独立。
（1）相关部门随机抽查了300位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的部分数据如下表所示：
通过计算说明是否有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？
（2）若p
1
p0，
，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为
2
求p0的值；
（3）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为
900元，需要复评的评审费用为
1500
元；除评审费外，其他费用总计为
100万元，现以此方案实施，且抽检论文为
6000篇，
问是否会超过预算？
并说明理由。
21.（本小题满分12分）
已知函数f（x）ex
1ax21有两个极值点
x1,x2（e为自然对数的底数）。
2
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：
x1x2
lna.
2
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用
2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，
在答题卡选答区域指定位置答题。
如果多
做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x1
3cos
，其中
为参数，直线
l的
y
3sin
方程为x
3y20，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；
（2）已知射线OA:
与曲线C和直线l分别交于M,N两点，求线段MN的长。
3
23.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知关于x的不等式|xm|
2x
0的解集为（
1]，其中m0.
（1）求m的值；
（2）若正数a,b,c满足ab
c
m，求证：
b2
c2
a2
1.
a
b
c
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