专题04 新定义综合题几何全国各地中考数学压轴题几何大题题型分类汇编解析版.docx

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专题04新定义综合题几何全国各地中考数学压轴题几何大题题型分类汇编解析版

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

四、几何新定义题

1.（2019•宁波）定义：

有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．

求证：

四边形ABEF是邻余四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．

（3）如图3，在

（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

解：

（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∠FAB与∠EBA互余，

∴四边形ABEF是邻余四边形；

（2）如图所示（答案不唯一），

四边形AFEB为所求；

（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴BD＝CD，

∵DE＝2BE，

∴BD＝CD＝3BE，

∴CE＝CD+DE＝5BE，

∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，

∴DM＝ME，

∴∠MDE＝∠MED，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△DBQ∽△ECN，

∴

，

∵QB＝3，

∴NC＝5，

∵AN＝CN，

∴AC＝2CN＝10，

∴AB＝AC＝10．

2.（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：

如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．

（2）操作：

能画出这类正方形吗？

小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：

如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．

（3）推理：

证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：

在

（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝

时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

（1）解：

如图1中，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴

＝

，即

＝

，

解得PN＝

．

（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．

（3）证明：

如图2中，

由画图可知：

∠QMN＝∠PQM＝∠NPQ＝∠BM′N′＝90°，

∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，

∴△BN′M′∽△BNM，

∴

＝

，

同理可得：

＝

，

∴

＝

，

∵M′N′＝P′N′，

∴MN＝PN，

∴四边形PQMN是正方形．

（4）解：

如图3中，结论：

∠QEM＝90°．

理由：

由tan∠NBM＝

＝

，可以假设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，BQ＝k，BE＝2k，

∴

＝

＝

，

＝

＝

，

∴

＝

，

∵∠QBE＝∠EBM，

∴△BQE∽△BEM，

∴∠BEQ＝∠BME，

∵NE＝NM，

∴∠NEM＝∠NME，

∵∠BME+∠EMN＝90°，

∴∠BEQ+∠NEM＝90°，

∴∠QEM＝90°．

3.（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．

①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：

五边形ABCDE是正五边形；

②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）

如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．

①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（　假　）

②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（　假　）

（1）①证明：

∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，

在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、EAB中，

，

∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，

∴五边形ABCDE是正五边形；

②解：

若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：

在△ABE、△BCA和△DEC中，

，

∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），

∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，

在△ACE和△BEC中，

，

∴△ACE≌△BEC（SSS），

∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，

∵四边形内角和为360°，

∴∠ABC+∠EBC=180°，

∴AB∥CE，

∴∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，

∴∠CAE=∠CEA=2∠ABE，

∴∠BAE=3∠ABE

同理：

∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，

∴五边形ABCDE是正五边形；

（2）解：

①若AC＝CE＝EA，如图3所示：

则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：

∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，

在△AEF、△CAB和△ECD中，

，

∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），

如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，

而正六边形的各个内角都为120°，

∴六边形ABCDEF不是正六边形；

故答案为：

假；

②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：

如图4所示：

连接AE、AC、CE、BF，

在△BFE和△FBC中，

，

∴△BFE≌△FBC（SSS），

∴∠BFE＝∠FBC，

∵AB＝AF，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴∠AFE＝∠ABC，

在△FAE和△BCA中，

，

∴△FAE≌△BCA（SAS），

∴AE＝CA，

同理：

AE＝CE，

∴AE＝CA＝CE，

由①得：

△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，

而正六边形的各个内角都为120°，

∴六边形ABCDEF不是正六边形；

故答案为：

假．

4.（2019•咸宁）定义：

有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．

求证：

四边形ABCD是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？

请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴

，

∴AD＝CD，

∴四边形ABCD是等补四边形；

（2）AD平分∠BCD，理由如下：

如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，

则∠AEB＝∠AFD＝90°，

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴∠B+∠ADC＝180°，

又∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF，

∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴AE＝AF，

∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；

（3）如图3，连接AC，

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

又∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠BCD，

∵AF平分∠EAD，

∴∠FAD＝

∠EAD，

由

（2）知，AC平分∠BCD，

∴∠FCA＝

∠BCD，

∴∠FCA＝∠FAD，

又∠AFC＝∠DFA，

∴△ACF∽△DAF，

∴

，

即

，

∴DF＝5

﹣5．

5.（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　假　命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　假　命题）

③两个大小不同的正方形相似．（　真　命题）

（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，

＝

＝

．求证：

四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求

的值．

（1）解：

①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．

③两个大小不同的正方形相似．是真命题．

故答案为假，假，真．

（2）证明：

如图1中，连接BD，B1D1．

∵∠BCD＝∠B1C1D1，且

＝

，

∴△BCD∽△B1C1D1，

∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，

∵

＝

＝

，

∴

＝

，

∵∠ABC＝∠A1B1C1，

∴∠ABD＝∠A1B1D1，

∴△ABD∽△A1B1D1，

∴

＝

，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，

∴，

＝

＝

＝

，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，

∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）如图2中，

∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．

∴

＝

，

∵EF＝OE+OF，

∴

＝

，

∵EF∥AB∥CD，

∴

＝

，

＝

＝

，

∴

+

＝

+

，

∴

＝

，

∵AD＝DE+AE，

∴

＝

，

∴2AE＝DE+AE，

∴AE＝DE，

∴

＝1．

6.（2019•常州）【阅读】

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

【理解】

（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：

n2＝　1+3+5+7+…+2n﹣1．　；

【运用】

（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以