房贷问题论文 终稿杨铭郭炯王莹.docx
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房贷问题论文终稿杨铭郭炯王莹
数学建模期末论文
（房贷问题）
小组成员：
杨铭（20111041130）
郭炯（20111041132）
王莹（20111041116）
房贷问题
摘要
随着房价逐年上涨，现如今尤其在一线城市一次性付清买房费用的人越来越少，因而贷款买房已成为一种趋势。
而面对多种贷款及还款方式，购房者如何选择与策划自己的房贷方案已成为备受关注的问题。
本小组针对此关于如何设计住房贷款还款方案的建模题目，通过互联网对各大商业银行现有住房贷款政策以及常见还款方式进行查找，并对统计年鉴上的数据分析与整理，进行合理的假设和推断，建立了以matlab软件运行算法为基础的数学模型。
针对问题一，根据现存的等额本金与等额本息还款方式计算方法以及题目中隐含条件“而预付三个月的还款只不过1896元”，得知此夫妇采用的是等额本息还款方式，运用迭代和等比数列求和两种不同方法从不同角度推导等额本息还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型。
运用MATLAB软件求解，判定问题一中，借贷公司以这种替房贷者还款的方式可以取得盈利，从而较为划算的还贷方式依然为向银行借款。
针对问题二，通过对现有的住房公积金和商业银行贷款还款方式的查找，得出公积金与商业贷款组合的各自贷款额度（分别为80万，70万）。
通过对各大商业银行的个人住房贷款模块提供的还贷方式的查找与分析，建立了如下四种模型：
25年期限下等额本息还款方式；25年期限下等额本金还款方式；等额本金，提前还款与分阶段还款相结合的还款方式；等额本息与提前还款相结合的还款方式。
同时又列示了几种现今适合更多贷款人群的特色还贷方式，为不同需求条件下的还贷者提供了不同的还款组合方式。
本小组通过反复斟酌，对自身模型的优缺点以及可拓展之处进行了分析，以便继续完善，为贷款买房者提供更多，更值得参考的建议。
关键词
住房贷款等额本息还款等额本金还款还款利息总和
一、问题重述
某地银行对个人住房25年贷款期限的条件通常为：
年利率0.12,而且是月均等额还款.小叶夫妇要买房还缺少6万元，正在考虑到银行去贷款6万元，正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以帮助你在年利率为0.12的前提下帮你提前3年还清借款，但是：
（1）每半个月还一次款。
（2）由于每半个月就要开一张收据等文书工作多了,因此要求顾客预付三个月的还款。
小叶夫妇为这则广告吸引，因为提前三年可节省2万多元。
而预付三个月的还款只不过1896元，多合算。
但他们是有点疑惑，难道这家还贷公司是一个慈善机构，他们不想赚钱？
（1）请你通过数据计算分析小叶夫妇究竟采取哪种方式借贷更划算？
（2）如果某26岁的夫妇每月固定收入共计1.5万元，年终奖金有2万元。
想买一套70平米的房子，需要贷款150万元，希望在25年内还清所有贷款。
根据现在银行推出的公积金住房贷款和商业住房贷款的产品种类，选择适合他们的贷款及还款方式。
如果他们希望尽快将贷款还清，需要如何设计还款计划？
如果他们不希望因为还贷款而导致生活质量急剧下降，应该如何设计还款方案？
二、模型假设
1.商业住房贷款利率以银行贷款利率为准，即25年期年利率为6.55%。
2.夫妇正常月消费性支出占月收入比例为30%。
3.不考虑通货膨胀及贷款利率变动，即工资收入和消费支出保持不变。
4.生活质量下降标准为工资收入不能满足还款与固定消费支出需要。
5.不考虑通货膨胀，及币值稳定。
6.假设此夫妇生活在北京。
其消费比率与住房公积金处理办法按北京市基本方法处理。
7.此夫妇没有公积金存款。
8.提前还款不存在违约金及手续费用。
三、符号说明
问题一
wo:
借款总额
w:
实际贷款额
r:
月利率（年利率/12）
r’：
半个月的利率
b:
月还款额
b’:
半个月还款额
n:
月数
n’:
半个月数
问题二
a1:
公积金贷款总额
a2:
商业贷款总额
n1：
公积金还款期数
n2：
商业贷款还款期数
n3:
考虑利率变动后公积金还款期数
n4:
考虑利率变动后商业贷款还款期数
r1：
公积金贷款利率
r2：
商业贷款利率
b1：
公积金月还款额
b2：
商业贷款月还款额
z1：
公积金总还款利息
z2：
商业贷款总还款利息
z3:
考虑利率变动后公积金总还款利息
z4:
考虑利率变动后商业贷款总还款利息
z：
总还款利息和
z’:
考虑利率变动后总还款利息和
X：
公积金月还款额与商业贷款月还款额比例
四、问题的分析
问题一
虽然说借贷公司承诺帮助此夫妇还款可以提前三年还清。
但是由于存在预付三个月的月还款额以及每半月付款的要求，这样它的本金相当于减少了，在这种本金及还款方式下算得25年期限总还款额不变的情况下月还款额减少，因而借贷公司可从中获利，从而小叶夫妇从借贷公司借款不划算。
问题二
对于问题二，首先考虑到住房公积金贷款利率较商业银行贷款利率低，因而应尽量多贷公积金贷款，而以北京市为例，住房公积金贷款最高限额按80万计算，商业贷款为70万。
而从年限长短及还款利息总和多少的角度考虑，除了对25年期下等额本金与等额本息方式进行建模外，还考虑到多种还款方式组合还款的模型。
五、模型的建立与求解
问题一：
在相同还贷期限，相同本金情况下，等额本金还贷方式比等额本息所还的总额小，但是等额本金还贷初期，月供数额较大，大部分工薪阶层贷款人没有能力承担，而老年人等有一定积蓄的人群可以选择该方式，所以，两种还贷方式并无好坏之分。
等额本金较适合有一定积蓄的人群，而等额本息较适合有固定收入的工薪阶层。
根据题目中隐含条件“而预付三个月的还款只不过1896元”可知，本题中小叶夫妇采用的为等额本息还款方式。
通过等额利息还款法公式知：
[第1个月还贷后的余款额]
[第2个月还贷后的余款额]
……
……
[第n个月还贷后的余款额]
那么，
[每个月还款额]
其中w0=60000;r=0.01;n=300;
用MATLAB求解得每月还款额，数据见附录
b=632（元）
那么，25年还款总额为300*b=189600（元）
若半个月支付一次，
则r’=0.005;n’=600；代入得b’=315.8429
由于借贷公司要求预付三个月还款额，且半个月支付一次：
即实际所贷款为w’=60000-1896=58104（元）；r’=0.005,n’’=22*12*2=528
建立关系式：
代入得此时半月还款额：
b’’=313.0038
即贷款58104元22年还清按照银行标准每半月还款313.0038元
因为313.0038<315.8429
所以向借贷公司借款并不划算。
所以，借贷公司多收（315.8429-313.0038）*25*12*2=1703.46（元）
由上述模型可知：
借贷公司作为盈利性机构其经营活动是为了赚取利润，如果小叶夫妇与其达成借贷关系，并没有从中受益。
亦即小叶夫妇应采取向银行借款的方式。
且每月具体还款情况见附录表一
问题二：
对于第二个问题，通过查找互联网可知，在现有商业住房贷款利率（表1）及公积金住房贷款利率（表2）情况下，公积金住房贷款相关计算公式以及数据为：
1、[（借款人月工资总额+借款人所在单位住房公积金月缴存额）×还贷能力系数-借款人现有贷款月应还款总额]×贷款期限（月）
2、使用配偶额度的：
[（夫妻双方月工资总额+夫妻双方所在单位住房公积金月缴存额）×还贷能力系数-夫妻双方现有贷款月应还款总额]×贷款期限（月）
（其中还贷能力系数为40%）
3、月工资总额=公积金月缴额÷（单位缴存比例+个人缴存比例）
则对于此夫妇，公积金月缴额：
15000*（12%+12%）=3600
使用配偶额度计算（贷款25年）
（15000+1800）*40%*25*12=2016000
借款人额度计算（25年）
（7500+900）*40%*25*12=1008000
进而确定贷款额度：
选择25年期住房公积金贷款总额为a1=80万，年利率为r1=4.5%
25年期商业贷款总额为7a2=0万。
年利率为r2=6.55%。
商业住房贷款利率如表1所示：
：
表1：
2013年商业贷款利率表
利率项目
年利率（%）
六个月以内（含6个月）贷款
5.60
六个月至一年（含一年）贷款
6.00
一至三年（含3年）贷款
6.15
三至五年（含5年）贷款
6.40
五年以上
6.55
公积金住房贷款利率如表2所示：
表2：
2013年公积金贷款利率表
利率项目
年利率（%）
个人住房公积金贷款五年以下（含五年）
4.00
个人住房公积金贷款五年以上
4.50
我们充分考虑并查阅到现有商业银行所提供的个人住房贷款种类，主要有以下几种：
1、等额本金还款方式
2、等额本息还款方式
3、等额本金递增还款方式
4、等额本金递减还款方式
5、分阶段还款法
6、按周还本付息法（双周供，三周供，且在此由于原理相同，我们以双周供为例）以等额本息或等额本金还款法为基础，以7天或者7天的整倍数作为还本付息的周期，周期最短为7天，最长不超过21天（含）。
7、固定+浮动混合利率个人住房贷款
8、提前还款
9、各种还款方式组合
并针对本问题对其中几种典型的还款方式及其组合进行了模型建立。
模型1：
等额本息还款还款方式
在贷款期间，每个月的还款额是相同，其利息的计算方式比较复杂，而且还款初期是以利息为主，到后面才是以还本金为主。
月还款额=每个月还的本金+每个月支出的利息。
等额本息还款方式的优势是还款初始时的压力小，适合年轻人，相对来说比较适合首次购房的年轻人;适合工作时间不久的工薪族。
劣势是前期还款主要还的是利息，本金相对占得少，在总的还款期内，支出的利息总额要多。
以没有哪种还款方式好与不好，只有哪种更加适合你，具体来说与你现在的收入、还款压力以及提前还清的时间有关系。
当采用等额本息还款方式，还款期数为300期时，经Matlab计算，此时，所还款总利息为1258770元。
其他数据如表3所示
表3等额本还款方式具体还款数据
月还款额
每月应还利息
每月应还本金
还款利息总和
公积金贷款
4446.7
1780
2333.3
534000
商业贷款
4749.2
2415.9
2666.7
724770
模型2：
等额本金还款方式
计算公式：
等额本金还款方式比较简单。
顾名思义，这种方式下，每次还款的本金还款数是一样的。
因此：
=总贷款数×（1－
）×月利率当月月还款额=当月本金还款＋当月利息=总贷款数×（
＋（1－
）×月利率）
总利息=所有利息之和
=总贷款数×月利率×（还款次数－
）
其中“1+2+3+…+还款次数－１”是一个等差数列，其和为
＝
所以，经整理后可以得出：
总利息=
由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的，而每月的利息是递减的，因此，等额本金还款每个月的还款额是不一样的。
开始还得多，而后逐月递减。
将商业贷款70万，住房公积金贷款80万带路计算公式，当采用等额本金还款方式，还款期数为300期时，第一期还商贷6155.33元，公积金贷款5666067元，最后一期还商贷2346.07元，公积金贷款2676067元。
具体每期还款数据如附录2所示。
此时，所还款总利息为1026711元，总还款金额为2526711元。
。
结果分析
由于等额本金还款方式每个月还的本金相同，利息逐渐减少的，月还款额一开始的时候是最大的，以后每月逐渐减少的，因为本金还得快，相对来讲支出的总利息要少，但是一开始的时候还款压力会比较大。
等额本金还款的优势是本金还得快，支出的总利息要少，劣势则是一开始的时候还款压力大，一般刚购完房屋时留存现金不多。
而且适合的人群不多，一般适合购房时月收入较高者，大多为中年人。
模型3：
等额本金还款方式，分阶段还款与提前还款方式的组合
在消费占支出比为30%的前提下，
每月用于还款的总支出=15000*（1-30%）=10500元。
现假定每月都按比例x分配此还款总额（
），在公积金贷款总还款额为800000元，商业贷款总还款额为700000元，且两者还款年限均在25年以内的条件下，考虑用等额本金还款方式来分别按比例x进行还款，并且在其中一项还款完成后，每月用于还款支出10500元全部用于还剩于一项贷款。
这里每月除去等额本金应还款额剩于的为采用提前还款方式提前还的本金，并且其中期限较长的贷款同时采用了等额本金，提前还款以及分阶段还款的还款方式。
（即当另一项还款结束之后，其月还款额发生改变的分两阶段还款的方式）。
用matlab解得不同比例下公积金贷款与商业贷款的还款年限以及应还利息总和如表4所示。
表4不同比例下公积金贷款与商业贷款还款的具体数据
比例x
公积金还款总利息z1
公积金还款期数n1
商业贷款还款总利息z2
商业贷款还款期数n2
还款总利息z
43
517220.8988
292
418665.9474
187
935886.8462
44
493516.7112
280
433663.9129
193
927180.6241
45
472007.5642
270
449849.1843
200
921856.7486
46
452387.5274
260
467380.7423
206
919768.2697
47
434408.6873
251
486443.6516
214
920852.339
48
417869.2126
242
507258.1152
222
925127.3278
49
402594.4323
234
530099.1694
230
932693.6017
50
388442.0633
227
555293.9403
240
943736.0036
51
375288.3526
220
583264.2187
250
958552.5714
52
363025.8342
214
614527.7556
261
977553.5898
53
351569.624
207
649767.1478
274
1001336.772
54
340838.7677
202
689867.6446
288
1030706.412
经比较可知：
当x=49%时，还款期限最多，最短只要234个月。
其中，公积金还款年限为234个月，还款总利息为402594.4323元，商业贷款还款年限为230个月，还款利息为530099.1694元，还款总利息为932693.6017元；
当x=46%时，中还款利息最少，最少利息为919768.2697元。
其中，公积金还款年限为260个月，还款利息为452387.5274元，商业贷款还款年限为206个月，还款利息为467380.7423元，此时还款期限为260个月。
结果分析：
如果小叶夫妇想要尽快还完贷款，那么就应该选择将可用收支的49%用来还公积金，剩余款项用于还商贷，这样只需234个月就能全部还完贷款；
如果小叶夫妇想要控制还款所花的总利息，那么就应该选择将可用支出的46%用于还公积金，剩余款项用于还商贷，这样总利息最小，且不影响生活质量。
模型3拓展：
时间序列模型的引入
图1所示为通过对1989-2012年的利率变动情况进而推算出从2012年起25年内的利率变动大致情况。
图1银行利率变动预测
年限较长，因而考虑到利率的变动。
引入时间序列模型，通过对1989-2012年的利率变动情况进而推算出从2012年起25年内的利率变动大致情况。
并将此估算结果所得各期利率代入模型3中，从而完善了结果，使其更符合实际。
（考虑利率变动后的还款具体数据如表5
表5利率变动后的还款具体数据
比例x
公积金还款总利息z3
公积金还款期限n3
商贷还款总利息z4
商贷还款期限n4
总利息z’
43
517220.8988
292
350778.4981
176
867999.3969
44
493516.7112
280
361949.9589
181
855466.6701
45
472007.5642
270
373877.2144
186
845884.7787
46
452387.5274
260
386650.926
192
839038.4534
47
434408.6873
251
400346.8214
198
834755.5087
48
417869.2126
242
415065.9224
205
832935.135
49
402594.4323
234
430930.6527
212
833525.085
50
388442.0633
227
448087.5094
219
836529.5727
51
375288.3526
220
466707.8491
227
841996.2017
52
363025.8342
214
486999.8714
236
850025.7056
53
351569.624
207
509202.0761
246
860771.7001
54
340838.7677
202
533609.6369
256
874448.4046
55
330763.3665
196
560574.0927
267
891337.4593
56
321285.3205
191
590574.1863
280
911859.5068
57
312349.7546
186
624190.4429
294
936540.1974
模型4：
等额本息还款与提前还款的组合方式
此模型考虑到不同的还款期限，且公积金贷款与商业贷款还款期限相同条件下，采用等额本息还款方式和提前还款方式相结合的还款方案。
根据问题一，可以等额本息还款方式下，每月还款额的计算公式为：
所以：
公积金贷款每月还款额
商业贷款每月还款额
由于采用组合贷款方式，所以商贷和公积金贷款的贷款年限一样，及n一样。
所以，问题就转化为寻找一个或者多个n值，使得每个月总还款额不超过可支配剩余工资，即求解n，满足条件b1+b2<=15000*（1-30%）即可。
利用matlab计算得到在现有收入满足还款支出前提下不同还款年限下的公积金与商业贷款还款利息总和。
（如表6所示）
表6额本息还款与提前还款的组合方式下的还款具体数据
还款期限
公积金还款额
商贷还款总额
还款期限
公积金还款额
商贷还款总额
232
5169.15
5328.51
267
4747.65
4987.39
233
5155.22
5317.13
268
4737.34
4979.15
234
5141.42
5305.86
269
4727.11
4970.98
235
5127.75
5294.70
270
4716.97
4962.87
236
5114.20
5283.64
271
4706.90
4954.84
237
5100.77
5272.69
272
4696.92
4946.88
238
5087.46
5261.85
273
4687.01
4938.99
239
5074.27
5251.10
274
4677.19
4931.16
240
5061.20
5240.46
275
4667.44
4923.40
241
5048.24
5229.92
276
4657.77
4915.71
242
5035.39
5219.48
277
4648.17
4908.08
243
5022.66
5209.14
278
4638.65
4900.52
244
5010.04
5198.89
279
4629.20
4893.02
245
4997.53
5188.74
280
4619.83
4885.59
246
4985.13
5178.69
281
4610.53
4878.22
247
4972.84
5168.72
282
4601.30
4870.91
248
4960.65
5158.85
283
4592.14
4863.66
249
4948.57
5149.07
284
4583.06
4856.47
250
4936.59
5139.38
285
4574.04
4849.34
251
4924.71
5129.78
286
4565.09
4842.28
252
4912.94
5120.27
287
4556.21
4835.27
253
4901.26
5110.84
288
4547.40
4828.31
254
4889.68
5101.50
289
4538.65
4821.42
255
4878.20
5092.24
290
4529.97
4814.58
256
4866.82
5083.06
291
4521.36
4807.80
257
4855.53
5073.97
292
4512.81
4801.08
258
4844.34
5064.96
293
4504.32
4794.41
259
4833.24
5056.03
294
4495.90
4787.80
260
4822.23
5047.19
295
4487.54
4781.23
261
4811.31
5038.41
296
4479.24
4774.73
262
4800.48
5029.72
297
4471.01
4768.27
263
4789.74
5021.11
298
4462.83
4761.87
264
4779.09
5012.57
299
4454.72
4755.52
265
4768.52
5004.10
300
4446.66
4749.22
266
4758.05
4995.71
由表中数据可知，
当n=232时，b1=5169.15,b2=5328.51,b1+b2=10497.66<10500,满足条件。
即借款232个月即可以还清所有贷款，时间最短，但前期还款压力较大，容易影响生活质量。
当n=300时，b1=4446.66，b2=4749.22，b1
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