北师大小学六年级下比和比例的复习.docx
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北师大小学六年级下比和比例的复习
第五讲：
比和比例的复习
基本内容及知识点
1.比的意义和性质
2.按比分配
3.比例和比例的性质
4.比例尺
5.正比例的意义
6.反比例的意义
7.应用题
二.教学重点
知识要求：
1.理解正、反比例的意义，抽象概念并运用概念进行判断。
2.比的意义，比的写法和读法，比号，比的各部分名称，比与除法，分数的联系与区别，比值的意义，求比值；比的基本性质，化简比，求比的未知项。
3.理解按比分配的意义，会解答按比分配的应用题。
比例的意义，比例各部分的名称，比例的性质，解比例。
4.比例尺的意义，用途。
会求图上距离和实际距离。
5.正比例的意义，会判断两种相关联的量是否成正比例。
6.反比例的意义，会判断两种相关联的量是否成反比例。
7.用比例知识解答基本的应用题和较难应用题。
能力要求：
1.能正确、迅速地求比值和化简比，会求比的未知项。
2.会根据有关条件求图上距离、实际距离或比例尺。
3.能运用按比例分配的方法解决实际问题。
4.会解最基本的正比例应用题和反比例应用题。
5.使学生进一步受到事物是相互联系的教育，初步接触函数思想。
知识教学
（一）比的意义和性质
1.比的意义：
什么是比？
两个数相除又叫两个数的比。
（一种比是同类量的比，如：
长和宽的比是3比2，结果是长是宽的几分之几,是2分之3；另一种比是不同类量的比，如：
路程和时间的比是100：
2，结果可以得到一个新的量是速度50，50千米/小时）
2.比的读写法，各部分名称。
（1）3比2记作（3：
2）2比3记作（2:
3）100比2记作（100:
2）
（2）比的各部分名称
例题1：
足球比赛中比分“2：
0”是比吗？
（不是，它只是用了比的这种形式，它的意思是一个队进了两个球，得2分，另一个队没进球得0分，而比表示两个数相除。
）
小明今年12岁，是六
（1）班学生，该班共有42名学生；小明爸爸今年38岁，在保险公司上班，年薪150000元，小明妈妈每月工资1200元，她所在的单位有职工24人。
看谁能根据题目中提供的信息，寻找合适的量，提出多种多样的问题，并说说这些量之间的比（年龄比12：
38、年薪比150000：
（1200×12）、人数比42：
24、月薪比等）
3.什么是比值？
比的前项除以比的后项所得商叫做比值
比值是一个数，一般用整数或分数表示。
例题2：
求比值
105：
35＝
＝3
1.2：
＝12：
24＝
注意比值的读法：
二分之一。
4.比与除法、分数的关系
比
前项
比号
后项
比值
除法
被除数
除号
除数
商
分数
分子
分数线
分母
分数值
想一想：
比的后项能不能是零？
为什么？
小结：
因为除法中除数不能为0，分数中分母不能为0，所以比的后项也不能是零。
例题3：
求下面各比的未知项。
（1）120：
x＝24
（2）x：
＝30
x＝120÷24x＝
×30
x＝5x＝18
师：
根据什么可以求出比的未知项？
5.比的基本性质：
比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（零除外），比值不变。
为什么“零除外”。
6.化简比：
应用比的基本性质，可以把比化成和它相等的最简单的整数比。
把比化成最简单的整数比，叫做化简比。
例题4：
（1）24：
144＝
＝
（2）
＝（63÷9）：
（18÷9）＝7：
2
练一练：
（1）2.7：
18＝
＝
＝
（2）
：
＝（
×8）：
（
×8）＝6：
5“为什么要同乘8”
想一想：
把整数比、小数比或分数比化成最简单的整数比的一般方法是什么？
①整数比写成分数约分后得最简比。
②小数比先化成整数比，再化简。
③分数比先同乘分母的最小公倍数化成整数比，再化简。
（二）按比分配
同学们，老师买了奖品，准备奖给数学竞赛获一、二、三等奖的同学，怎样分配比较合适？
（平均分合适吗？
不合适。
也就是按一定的比进行分配）
师：
举出生活中你见过的实例。
现在，咱们就研究按比分配问题。
例题5：
学校有一块200平方米的卫生区，把卫生区分给六·三班和三·三班，他们负责的面积比是3：
2，两个班各分得多少平方米？
题里的哪句话告诉我们应该怎样分？
“他们负责的面积比是3：
2”，是什么意思？
六·三班负责的面积占3份，三·三班负责的面积占2份，200平方米的卫生区占5份，
3＋2＝5
200×
＝120（平方米）
200×
＝80（平方米）
答：
六·三班分得120平方米，三·三班分得80平方米。
一般的，我们把这样的应用题，叫“按比分配应用题”，按比分配应用题的解题步骤是什么？
（1）确定总份数。
（2）把比转化成分数。
（3）求一个数的几分之几是多少？
练习：
甲乙丙三个修路队，合修一条200千米的公路。
已知甲队修了50千米，乙丙两队修路千米数的比是2：
3，丙队修多少千米？
200－50＝150（千米）
2＋3＝5
150×
＝90（千米）
答：
丙队修90千米。
例题6：
一个容积是1064立方厘米的瓶子，瓶中饮料高度h1为15厘米，h2为6厘米，求瓶中饮料有多少立方厘米。
h1：
h2＝15：
6
15＋6＝21
1064×
＝1064×
＝760（立方厘米）
答：
瓶中饮料有760立方厘米。
（三）比例和比例的性质
1.比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
只要两个比的比值相等，就能组成比例。
2.比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫比例的基本性质
如：
1.5：
3＝1：
2
1×3＝1.5×2＝3
3.解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项就可以求出另外一个未知项，求比例的未知项，叫做解比例。
例题7：
27：
x＝4.5：
6
你能利用我们学过的知识解这个比例吗？
方法一：
解：
27：
x＝4.5：
6根据是什么？
x＝
x＝36
方法二：
解：
＝
＝0.75
x＝27÷0.75
x＝36
你喜欢哪种方法？
解比例的过程就是解方程的过程，解方程要验算，所以解比例也要验算。
验算：
方法1：
方法2：
36×4.5＝16227：
36＝27÷36＝0.75
27×6＝1624.5：
6＝4.5÷6＝0.75
∴x＝36正确。
∴x＝36正确。
（四）比例尺
图上距离与实际距离的比，叫这幅图的比例尺。
1.数字比例尺如：
1：
3000000图上1厘米表示实际3000000厘米。
注意统一单位。
2.线段比例尺如：
3.比例尺的应用
比例尺的关系式：
图上距离＝（实际距离）×（比例尺）公式变形
实际距离＝（图上距离）÷（比例尺）
例题8：
在一幅比例尺是1：
7000000的地图上，量出北京到井冈山的距离是21厘米，照这样计算，北京到井冈山的实际距离是多少千米？
分析：
①实际距离＝图上距离÷比例尺
②问题单位是千米，已知单位是厘米，注意结果中单位的处理
③21÷
＝147000000（厘米）＝1470（千米）
答：
北京到井冈山的距离是1470千米。
（五）正比例、反比例的意义
1.正比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），数量关系可以概括成
＝k（一定）y和x叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量
＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。
2.反比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），数量关系可以概括成
x·y＝k（一定）y和x叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量
3.判断成正比例还是反比例的方法:
（1）判断两种量是否是相关联的量，
（2）如果是，再看这两种量对应的数的比值或积是否一定，
（3）如果比值一定，这两种量成正比例；如果积一定，这两种量成反比例。
例题9：
判断下列各题的两种量是否成比例？
如果成，成什么比例？
（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。
（正比例）
（2）货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。
（反比例）
（3）路程一定，已走路程和剩下路程。
（不成比例）
（4）圆的半径和面积。
（不成比例）
（5）平行四边形的底和面积。
（不成比例）
（6）在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。
（正比例）
（7）煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。
（反比例）
（8）a·b＝c，c一定，a和b。
（反比例）
（9）分数值一定，分子和分母。
（正比例）
（10）路程一定，车轮的直径和转动的周数。
（正比例）
（六）正比例、反比例应用题
例题10：
（1）用一批纸装订练习本，如果每本30页，可以装订600本。
如果每本少用5页，可以装订多少本？
分析：
这批纸的总页数不变，也就是积不变，每本页数和装订本数成反比例，列成乘积式
解：
设：
可以装订x本？
30－5＝25（页）
25x＝30×600
25x＝18000
x＝720
答：
可以装订720本。
（2）用同样砖铺地，如果铺15平方米要用165块，如果铺50平方米要多用多少块砖？
分析：
同样砖铺地，每平方米用块数一定，商一定，平方米数和块数成正比例，列成比例式
解：
设：
如果铺50平方米要用x块砖。
15：
165＝50：
x
15x＝50×165
x＝550
550－165＝385（块）
答：
如果铺50平方米要多用385块砖。
（3）一项工程，10人做24天可以完成。
如果每人的工作效率不变，现在要提前4天完成，需要多少人？
分析：
一项工程不变，每人的工作效率不变，前后的总工时数是相等的，所以
解：
设：
需要x人。
（24－4）x＝10×24
20x＝240
x＝12
答：
现在要提前4天完成，需要12人。
【模拟试题】
一、填空：
1、有三种量，ABC，它们之间的关系可以用A×B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（）比例；
（2）如果B一定，AC成（）比例；
（3）如果C一定，AB成（）比例。
2、有三种量，ABC，它们之间的关系可以用A÷B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（）比例；
（2）如果B一定，AC成（）比例；
（3）如果C一定，AB成（）比例。
3、在一个比例式中，两个比的比值都是5，这个比例式的内项分别是3.5和2，这个比例式为或。
二、判断下面各题中两种量成不成比例，成什么比例？
（1）圆柱的侧面积一定，底面周长与高。
（）
（2）三角形面积一定，它的底和高。
（）
（3）天数一定，总产量和每天的产量。
（）
（4）圆柱体积一定，底面半径和高。
（）
（5）比的前项一定，后项和比值。
（）
（6）出粉率一定，原料和面粉。
（）
（7）一幅设计图，图上距离和实际距离。
（）
（8）每页书的字数一定，书的页数和这本书的总字数。
（）
（9）长方形长一定，周长和宽。
（ ）
（10）和一定，两个加数。
（）
（11）平形四边形面积一定，底和高。
（）
（12）装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数。
（）
（13）正方形的周长和边长。
（）
（14）水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间。
（）
（15）房间面积一定，每块砖的面积和砖的块数。
（）
（16）每块砖的面积一定，砖的块数和铺地面积。
（）
（17）在一定时间里，加工每个零件所用时间和加工零件数。
（）
三、判断，对的打√，错的打×。
1、比的后项不能是0。
（）
2、一个圆的半径和它周长的比为1:
2л（）
3、A与B的比是5:
3，A比B多40%（）
4、圆锥体体积一定，底面积和高成反比例（）
四、求比值
6.3：
1.8＝
五、化简比
＝
：
＝
：
0.75＝
六、用1.4、10、7和2这四个数组成比例。
你组成了多少个比例？
七、选择
长方形周长14米，长和宽的比是6：
1。
长与宽各多少米？
（）
（1）6＋1＝7
（2）6＋1＝7
14×
＝12（米）7×
＝6（米）
14×
＝2（米）7×
＝1（米）
八、应用题
1、人的血液与体重的比是1：
13。
小明体重52千克，他的血液有多少千克？
2、配制黑色火药的原料是火硝、硫磺和木炭，这三种原料的重量比是15：
2：
3，水利专业队要配制黑色火药80千克，需要这三种原料各多少千克？
3、一种药水中药和水的比是1：
300，现要配制药水1204千克，需要水多少千克？
加药多少千克？
4、长方形周长是56厘米，如果长方形长与宽的比是4：
3，这个长方形的面积是多少平方厘米？
5、甲、乙两地相距360千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时后相遇，客车和货车的速度比是5：
4，求客车和货车的速度？
6、甲、乙、丙三个修路队，合修一条长200千米的公路，已知甲队修路的千米数是50，乙、丙两队修路的千米数的比是2：
3，丙队修了多少千米？
7、甲与乙生产零件个数的比是5：
3，乙比甲少生产40个，甲、乙各生产多少？
8、装订练习本，装订200本要用6000张纸。
有15000张纸可以装订同样练习本多少本？
9、安装一条下水管道，计划每天安装120米，15天完成，实际只用了10天就完成了。
实际每天安装多少米？
10、运一堆煤，计划每天运150吨，20天运完。
实际2天就运了400吨，照这样计算，实际几天运完？
【试题答案】
一、填空：
1、有三种量，ABC，它们之间的关系可以用A×B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（正）比例；
（2）如果B一定，AC成（正）比例；
（3）如果C一定，AB成（反）比例。
2、有三种量，ABC，它们之间的关系可以用A÷B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（反）比例；
（2）如果B一定，AC成（正）比例；
（3）如果C一定，AB成（正）比例。
3、在一个比例式中，两个比的比值都是5，这个比例式的内项分别是3.5和2，这个比例式为17.5:
3.5＝2:
0.4或10:
2＝3.5:
0.7。
二、判断下面各题中两种量成不成比例，成什么比例？
（1）圆柱的侧面积一定，底面周长与高。
（反）
（2）三角形面积一定，它的底和高。
（反）
（3）天数一定，总产量和每天的产量。
（正）
（4）圆柱体积一定，底面半径和高。
（不成）
（5）比的前项一定，后项和比值。
（反）
（6）出粉率一定，原料和面粉。
（正）
（7）一幅设计图，图上距离和实际距离。
（正）
（8）每页书的字数一定，书的页数和这本书的总字数。
（正）
（9）长方形长一定，周长和宽。
（不成）
（10）和一定，两个加数。
（不成）
（11）平形四边形面积一定，底和高。
（反）
（12）装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数。
（反）
（13）正方形的周长和边长。
（正）
（14）水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间。
（反）
（15）房间面积一定，每块砖的面积和砖的块数。
（反）
（16）每块砖的面积一定，砖的块数和铺地面积。
（正）
（17）在一定时间里，加工每个零件所用时间和加工零件数。
（反）
三、判断，对的打√，错的打×。
1、比的后项不能是0。
（√）
2、一个圆的半径和它周长的比为1:
2л（√）
3、A与B的比是5:
3，A比B多40%（×）
4、圆锥体体积一定，底面积和高成反比例（√）
四、求比值
6.3：
1.8＝
＝3.5
÷0.25＝5
五、化简比
＝
：
＝（
×24）：
（
×24）＝15：
7
：
0.75＝125：
75＝
＝
六、用1.4、10、7和2这四个数组成比例。
你组成了多少个比例？
（1）1.4：
2＝7：
10
（2）1.4：
7＝2：
10
（3）2:
1.4＝10:
7（4）7：
1.4＝10：
2
（5）2：
10＝1.4：
7（6）10：
2＝7：
1.4
（7）7：
10＝1.4：
2（8）10:
7＝2:
1.4
七、选择
长方形周长14米，长和宽的比是6：
1。
长与宽各多少米？
（2）
（1）6＋1＝7
（2）6＋1＝7
14×
＝12（米）7×
＝6（米）
14×
＝2（米）7×
＝1（米）
八、应用题
1、人的血液与体重的比是1：
13。
小明体重52千克，他的血液有多少千克？
52×
＝4（千克）
答：
他的血液有4千克。
2、配制黑色火药的原料是火硝、硫磺和木炭，这三种原料的重量比是15：
2：
3，水利专业队要配制黑色火药80千克，需要这三种原料各多少千克？
15＋2＋3＝20
火硝：
80×
＝60（千克）
硫磺：
80×
＝8（千克）
木炭：
80×
＝12（千克）
验算：
①60＋8＋12＝80（千克）
②60：
8：
12＝15：
2：
3
答：
需要火硝60千克，硫磺8千克，木炭12千克。
3、一种药水中药和水的比是1：
300，现要配制药水1204千克，需要水多少千克？
加药多少千克？
300＋1＝301
水：
1204×
＝4（千克）
药：
1204×
＝1200（千克）
答：
需要水4千克。
加药1200千克。
4、长方形周长是56厘米，如果长方形长与宽的比是4：
3，这个长方形的面积是多少平方厘米？
56÷2＝28（厘米）
4＋3＝7
长：
28×
＝16（厘米）
宽：
28×
＝12（厘米）
面积：
16×12＝192（平方厘米）
答：
这个长方形的面积是192平方厘米。
5、甲、乙两地相距360千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时后相遇，客车和货车的速度比是5：
4，求客车和货车的速度？
360÷4＝90（千米）
5＋4＝9
客车：
90×
＝50（千米）
货车：
90×
＝40（千米）
答：
客车和货车的速度分别是50千米，40千米。
6、甲、乙、丙三个修路队，合修一条长200千米的公路，已知甲队修路的千米数是50，乙、丙两队修路的千米数的比是2：
3，丙队修了多少千米？
（200－50）×
＝150×
＝90（千米）
答：
丙队修了90千米。
7、甲与乙生产零件个数的比是5：
3，乙比甲少生产40个，甲、乙各生产多少？
5＋3＝8
40÷（
－
）＝40÷
＝160（个）
160×
＝100（个）
160×
＝60（个）
答：
甲、乙各生产100个，60个。
8、装订练习本，装订200本要用6000张纸。
有15000张纸可以装订同样练习本多少本？
15000÷（6000÷200）
＝15000÷30
＝500（本）
答：
有15000张纸可以装订同样练习本500本。
9、安装一条下水管道，计划每天安装120米，15天完成，实际只用了10天就完成了。
实际每天安装多少米？
120×15÷10
＝1800÷10
＝180（米）
答：
实际每天安装180米。
10、运一堆煤，计划每天运150吨，20天运完。
实际2天就运了400吨，照这样计算，实际几天运完？
解：
设：
实际x天运完。
150×20＝400÷2×x
3000＝200x
x＝15
答：
实际15天运完。
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