人教版八年级下册数学 第十七章勾股定理全章教案.docx

人教版八年级下册数学 第十七章勾股定理全章教案.docx

《人教版八年级下册数学 第十七章勾股定理全章教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版八年级下册数学 第十七章勾股定理全章教案.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理全章教案

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理

【知识与技能】

了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.

【过程与方法】

在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性.

【情感态度】

1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情.

2.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神.

【教学重点】

探索和证明勾股定理.

【教学难点】

用拼图的方法证明勾股定理.

一、情境导入，初步认识

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）.

（1）你见过这个图案吗？

（2）你听说过“勾股定理”吗？

【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料.

二、思考探究，获取新知

毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请你也观察一下类似的图案（教材P22图形），你有什么发现？

【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征.

【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.问题等腰直角三角形三边的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？

请同学们继续观察P23图17.1-3，运用割补法分别计算正方形A、B、C和正方形A′、B′、C′的面积，看看它们之间有什么关系？

【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C′的面积，教师巡视，针对学生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积.一方面，正方形C的面积为：

52-4×

×2×3=25-12=13；另一方面也有正方形C的面积为：

4×

×2×3+1=13，而这两种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C′的面积为34.

通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a，b，斜边为c，则应有a2+b2=c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.上述结论我们都是通过特例而获得的，是否对所有的直角三角形都能成立呢？

有没有办法来证明呢？

做一做

将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图.

想一想

（1）中间小正方形边长是多少？

它的面积呢？

（2）你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗？

不妨试试看.

【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识.

最后师生共同探讨：

S大正方形=c2=4×

×a×b+（b-a）2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.

即a2+b2=c2.

有：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

教师简要阐述：

现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图”.

三、运用新知，深化理解

1.你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？

不妨试试看，并与同伴交流.

2.你能用勾股定理解决下面的问题吗？

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，试求斜边AB的长；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，试求直角边AC的长.

【教学说明】这两道题先由学生自主完成，然后由教师进行评讲.

【答案】1.解：

S梯形＝（a+b）·（a+b）·

＝（a2+b2+2ab）·

，

又S梯形＝

ab+

ab+

c2=

（2ab+c2），

综上a2+b2＝c2.

有：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.解：

（1）由勾股定理有：

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即AB＝25.

（2）由勾股定理有：

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，

即AC2＝AB2-BC2，∴AC＝8.

四、师生互动，课堂小结

这节课你有哪些收获？

你还能想到一些证明勾股定理的方法吗？

与同伴交流.

1.请查阅资料或上网，收集一些证明勾股定理的方法，并与同伴交流.

2.完成练习册中本课时练习.

新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲的要求不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:

体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题.勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2+b2=c2），堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位.另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌生.基于以上三点的原因，本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.

第2课时勾股定理的应用

【知识与技能】

能运用勾股定理进行简单的计算及解释生活中的实际问题.

【过程与方法】

通过从实际问题中抽象出直角三角形的过程，初步感受转化和数形结合的思想方法.

【情感态度】

通过对探究性问题的思考，培养学生与他人交流合作的意识和品质.

【教学重点】

勾股定理的应用.

【教学难点】

应用勾股定理解决实际生活中的问题.

一、情境导入，初步认识

问题1求出下列直角三角形中未知边的长：

①在解决上述问题时，每个直角三角形需要知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

问题2在长方形ABCD中，宽AB=1cm，长BC=2cm，求AC的长.

【教学说明】在问题1中，选派四名同学上黑板演示，其它同学在座位上独立思考，然后解决问题2，教师巡视指导，加深学生对勾股定理的理解和运用.

二、思考探究，获取新知

探究1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？

为什么？

【分析】显然，这块薄木板横着进，竖着进都不能从门框内通过，能否斜着通过门框呢？

由图可知，对角线AC是斜着通过时的最大长度，只要求出AC的长，再与木板的宽进行比较，就能知道木板能否通过门框.

解：

连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，由AC2=AB2+BC2，得AC2=12+22=5，∴AC=

≈2.236.

∵AC大于木板的宽2.2m，所以木板能斜着通过门框.

【教学说明】教师提出问题后，可设置以下几个问题帮助学生分析：

①木板能横着通过门框吗？

竖着呢？

为什么？

②如果将木板斜着拿，是否有可能通过门框？

此时，要使木板能通过，则需比较哪些数据的大小？

你是怎样想的？

让学生在相互交流过程中获得解题思路，初步感受利用勾股定理解决生活实际问题的思想方法.

探究2如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO的距离为2.5m.如果梯子的顶端A沿墙壁下滑0.5m，那么梯子底端B也向外滑行了0.5m吗？

说说你的理由.

【分析】由于梯子沿墙壁滑动过程中有两个不变量，一是梯子的长AB=A′B′=3m，另一个则是∠AOB=∠A′OB′=90°.要想判断梯子底端向外滑行的距离是否是0.5m，即是通过勾股定理求出OB和OB′的长即可.由题意得OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.75，OB′2＝A′B′2-OA′2＝32-22＝5，所以OB′＝

≈2.236，OB=

≈1.658，故BB′=OB′-OB=2.236-1.658=0.578≈0.58，即梯子顶端下滑0.5m时，底端外移0.58m.

【教学说明】本例在教师分析后，可由学生自主完成，让学生感受将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识.教师巡视，关注学生能否准确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生的语言表达能力，对有困难学生给予帮助.

探究3

（1）如图，在RtΔACB中，∠C=90°，AC=2，BC=3，求斜边AB的长.

（2）我们知道，数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在图中的数轴上画出表示

的点吗？

与同伴交流.

【教学说明】通过

（1）的思考，让学生感受到两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为

，故可在数轴上截取长为3的线段OA，O为原点，A对应数3，过A作l垂直于数轴，在l上截取AB=2，连接OB，则OB=

，再以O为圆心，OB为半径画圆交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数即为

，类似地还可让学生在数轴上画出表示

的点，加以巩固.

结合教材P27中图17.1-11，图17.1-12，让学生感受在数轴上画出表示

…的点的方法.

三、运用新知，深化理解

1.有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖住这个洞口，圆的直径至少是多长？

（结果保留整数）

2.如图，池塘边有两点A，B，点C是与AB成直角的AC方向上一点，测得CA=20m，CB=60m，试求出A、B两点间的距离.

3.在数轴上作出表示-

的点.

【教学说明】让学生相互交流，共同探讨，获得结果.第1题建议用图形来帮助解决问题.教师巡视，适时点拨，肯定他们的成绩，指出存在的问题，让学生真正领会和掌握本节知识.

【答案】1.解：

d=

=70.7≈71（dm）.

2.解：

∵AB2+AC2=BC2，∴AB=

=

＝40

m.

3.解：

∵

＝

=

.

∴

是以3，1为直角边的直角三角形斜边的长.如下图：

四、师生互动，课堂小结

运用勾股定理解决实际应用问题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，谈谈你的体会.

1.布置作业：

从教材“习题17.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题.就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成.所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此外，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.

17.2勾股定理的逆定理

【知识与技能】

1.理解勾股定理的逆定理的证明方法，能证明勾股定理的逆定理.

2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形，并能用它解决实际问题.

【过程与方法】

在探索勾股定理的逆定理及其证明方法和运用勾股定理逆定理解决具体问题的过程中，进一步体验数形结合的思想，增强分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

1.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；

2.进一步增强与他人交流合作的意识和探究精神.

【教学重点】

勾股定理的逆定理及其应用.

【教学难点】

勾股定理的逆定理的证明.

一、情境导入，初步认识

问题

（1）勾股定理的内容是怎样的？

（2）求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：

①a=3，b=4；②a=2.5,b=6；③a=4,b=7.5.

（3）想一想：

分别以

（2）中a、b、c为三边的三角形的形状会是怎样的？

【教学说明】教师提出问题后，学生自主探究，相互交流获得结论，最后教师针对问题

（2）、（3）提醒学生注意它们各自特征，其中

（2）是由形获得数量关系，而（3）是由数量关系得到形的特征，为勾股定理的逆定理的引入作铺垫.

二、思考探究，获取新知

探究1画出三边长分别为3cm、4cm和5cm，2.5cm、6cm和6.5cm，4cm、7.5cm和8.5cm的三个三角形，用量角器测出较大角的度数，你有什么发现？

你能解释其原因吗？

【教学说明】将全班同学分成三个小组，分别画出上述三个三角形，然后相互交流，教师巡视，指导并帮助有困难同学画出尽可能准确的图形，从而形成对勾股定理的逆定理的感性认识.

猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

探究2

（1）三边长分别为3，4，5的三角形与以3，4为直角边的直角三角形的三边关系如何？

你是怎样得到的？

简要说明理由.

（2）你能否受

（1）启发，说明分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边长的三角形也是直角三角形呢？

（3）如图，若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.

【教学说明】教师应引导学生利用问题

（1）、

（2）的思路完成问题（3）的证明，得出勾股定理的逆定理，在这期间，教师顺势给出原命题、逆命题、逆定理的概念，最后师生共同给出逆定理的证明过程，在黑板上展示（也可通过多媒体展示），从而帮助学生获得正确认知.

证明：

如图，画Rt△A′C′B′，使A′C′=b，B′C′=a，∠A′C′B′=90°.

∴在Rt△A′C′B′中，有A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.

又a2+b2=c2，∴A′B′2=c2，∴A′B′=c.∴△ABC≌△A′B′C′，

∴∠ACB=∠A′C′B′=90°，即△ABC是直角三角形.

三、典例精析，掌握新知

例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=15，b=8，c=17；

（2）a=13，b=14，c=15.

【教学说明】本例可由学生自己独立完成，教师巡视指导，应关注学生是否是利用两短边的平方和与最长边的平方进行比较.

例2某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【分析】由题意，可画出示意图如图所示，

易知PQ=16×

=24，PR=12×

=18，

又RQ=30.∵242+182=576+324=900，RQ2=900，

∴PR2+PQ2=RQ2，故以P、Q、R为顶点的三角形是直角三角形，由“远航”号沿东北方向航行，故易知“海天”号沿西北方向航行.

例3说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

（1）两条直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.

【分析】如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题是互逆命题，从而可得

（1）、

（2）的逆命题分别为“内错角相等，两直线平行”，“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等”，且

（1）中的逆命题是真命题，

（2）中的逆命题是假命题.

四、运用新知，深化理解

1.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？

为什么？

2.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

（1）全等三角形的对应角相等；

（2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

【教学说明】学生自主探究，寻求结论，教师巡视，及时指导，让学生在练习过程中加深对知识的领悟.

【答案】1.是直角三角形，由勾股定理的逆定理可得.

2.

（1）逆命题为对应角相等的三角形全等，该逆命题不成立.

（2）逆命题为角平分线上的点到角的两边距离相等.该逆命题成立.

五、师生互动，课堂小结

谈谈这节课你的收获有哪些？

还有哪些疑问？

与同伴交流.

1.布置作业：

从教材“习题17.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上,让学生如何从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.由于学生对此在理解上可能有些困难，因此教学时可以实行分层教学，让不同水平的学生在同一课堂都能学好，为此，可设计三个层次的问题，以达到分层教学目标：

第一层次是让学生直接运用定理判断三角形是否是直角三角形，掌握定理的基本运用；第二层次是强调已知三角形三边长或三边关系，再判断三角形是否是直角三角形，这样既巩固了勾股定理的逆定理的应用，又为下一个层次做好了铺垫；第三层次是灵活运用勾股定理及其逆定理解决图形面积的计算问题.根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想.教案中设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生的理解和掌握，让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.

第十七章勾股定理专题整合训练

【知识与技能】

进一步感受勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.

【过程与方法】

在经历“知识回顾——问题与思考——问题探究”过程中，进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，体验数形结合的思想，锻炼解题技能.

【情感态度】

进一步培养学生的合作交流意识和探究精神，激发学习数学的兴趣.

【教学重点】

勾股定理及其逆定理解决问题.

【教学难点】

用勾股定理的逆命题证明几何问题.

一、知识回顾，整体把握

1.勾股定理：

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数.

3.勾股定理的逆定理：

在一个三角形中，如果满足两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

4.互逆命题、互逆定理.

【教学说明】师生共同回顾本章知识，教师扼要板书，加深学生理解.

二、释疑解惑，加深理解

1.勾股定理及其逆定理的证明方法是怎样的，它们各是怎样体现数形结合的思想的，谈谈你的理解.

2.已知一个三角形三边长，就能判断它是不是直角三角形，你能举个例子吗？

3.如果一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？

请举例说明.

【教学说明】教师展示问题，师生共同回顾，加深认识.

三、典例精析，复习新知

例1

（1）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形三边长，不能构成直角三角形的是（）

A.3，4，5B.6，8，10C.

，2，

D.5，12，13

（2）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【分析】

（1）中可直接将选项中三个数据的两个较小数的平方和与最大数的平方进行比较，易知以C选项中三个数据

，2，

为三边的三角形不是直角三角形，故选C；

（2）中，由于给出了小正方形的边长为1，因而可利用勾股定理分别求出线段AB、BC和AC（应连接AC）的长，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状后可得到结论.∵AB2=12+32=10，CB2=12+22=5，CA2=12+22=5，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，故∠ABC=45°，应选C.

例2如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是.

【分析】如图2，过点A作AE∥BC交CD于点E，连接AC，则∠EAC=∠ACB.

由AB∥CD知∠BAC=∠ACE,AC=AC,∴△ABC≌△AEC,∴AB=CE,AE=BC.

由CD=2AB=CE+DE知DE=CE=AB.

由AE∥BC知∠AED=∠BCD,而∠ADC+∠BCD=90°,∴∠ADC+∠AED=90°,

∴∠DAE=90°,即△ADE为直角三角形，

∴DE2=AD2+AE2,即AB2=AD2+BC2,即S2=S1+S3.

例3如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E为CD的中点，则AE的长为.

【分析】可过E作EM⊥AD于M，交BC于N，

∵E为CD中点，从而易得Rt△DME≌Rt△CNE，

而DM=NC=

（AD+BC）=

，∴AM=

-5=

.

又EM=EN=

AB=6，

故在Rt△AEM中，有AE2=AM2+EM2=（

）2+62=

+36=

，∴AE=

.

例4已知，如图，在四边形ABCD中.∠ABC=90°，CD⊥AD于点D，且CD2+AD2=2AB2.

（1）求证AB=BC；

（2）当BE⊥AD于点E时，试证明：

BE=AE+CD.

【分析】

（1）由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2＝AB2+BC2（连接AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；

（2）过C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，故BE=BF+FE=AE+CD.

例5如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

解：

将△APB绕点B顺时针旋转90°，至△BP′C位置，连PP′（如图所示），

易知BP′=BP＝2，∠PBP′=90°，且∠BPA=∠BP′C，P′C=PA=1.

在Rt△BPP′中，有BP2+BP′2=PP′2，即PP′2=22+22=8.又P′C=1.

∴PP′2+P′C2=8+1=9，而PC=3，

∴PC2=9.故△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°.

又BP=BP′，∠PBP′=90°，

∴∠BP′P=45°，故∠BP′C=45°+90°=135°，从而∠APB=135°.

【教学说明】例1、例2可由学生独立完成，例3、4、5由师生共同探究获得结论，通过问题解决加深对勾股定理及其逆定理的理解和运用.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你对勾股定理及其逆定理是否有更深的认识？

你还有哪些疑问？

与同伴交流.

1.布置作业：

从教材“复习题17”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

本章的复习应紧紧围绕“勾股定理”这个中心，师生一起共同回顾本章知识，并安排学生进行交流.教师及时发现问题并予以解答.此外，教案中安排的五个例题应先让学生试着解答，教师再予以点拨，以达到复习的效果.

第十七章勾股定理章末复习

【知识与技能】

进一步感受勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.

【过程与方法】

在经历“知识回顾——问题与思考——问题探究”过程中，进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，体验数形结合的思想，锻炼解题技能.

【情感态度】

进一步培养学生的合作交流意识和探究精神，激发学习数学的兴趣.

【教学重点】

勾股定理及其逆定理解决问题.

【教学难点】

用勾股定理的逆命题证明几何问题.

一、知识回顾，整体把握

1.勾股定理：

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股数：

满足a2+b2=c2