几何五大模型教师版doc.docx
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几何五大模型教师版doc
几何五大模型
一、五大模型简介
（1）等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：
S2=a:
b；
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：
S2=a:
b；
4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，
则可知直线AB平行于CD。
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例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
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（2）鸟头（共角）定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点
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则有：
S△ABC：
S△ADE=（AB×AC）：
（AD×AE）
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
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如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：
S△ABE=AD：
AB、S△ABE：
S△CBE=AE：
CE，所以S△ABE：
S△ABC=S△ABE：
（S△ABE+S△CBE）=AE：
AC
，因此S△ADE：
S△ABC=（S△ADE：
S△ABE）×（S△ABE：
S△ABC）=（AD：
AB）×（AE：
AC）。
例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：
AD=5:
2，AE：
EC=3:
2，
△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
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（3）蝴蝶模型
1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
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例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
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2、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：
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例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。
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蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
（4）相似模型
1、相似三角形：
形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：
平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相
交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！
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例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少？
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（5）燕尾模型
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由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：
S△ABG：
S△ACG=S△BGE：
S△CGE=BE：
CE
S△BGA：
S△BGC=S△GAF：
S△GCF=AF：
CF
S△AGC：
S△BGC=S△AGD：
S△BGD=AD：
BD
例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：
EC=2:
3，BD：
DC=1:
2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。
二、五大模型经典例题详解
（1）等积变换模型
例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
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例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。
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（2）鸟头（共角）定理模型
例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
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例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求△FGS的面积。
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（3）蝴蝶模型
例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？
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例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。
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例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。
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（4）相似模型
例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。
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例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。
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（5）燕尾模型
例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。
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例2、如图，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍？
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例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若△ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积。
“祖国在我心中”教师演讲稿
敬爱的老师、同学们：
大家上午好！
今天我怀着无比激动的心情站在这里为大家演讲，我演讲的题目是《祖国在我心中》。
滔滔的江水，滚滚的黄河，连绵不断的山岭，都属于我们伟大的祖国。
祖国的山川雄奇，祖国的河水秀逸，祖国的胸怀无比广阔。
在爬满甲骨文的钟鼎之上，读祖国童年的灵性；在布满烽火的长城之上，读祖国青春的豪放；在缀满诗歌与科学的大地之上，读祖国壮年的成熟，我也曾看到祖国的孱弱：
在圆明园烧焦的废墟之上，我看祖国是1摊血；在邓世昌勇猛的“致远舰”上，我看祖国是1团火。
但我的祖国没有沉没，她用宽厚的肩膀，挽起高山大海，将炎黄子孙龙的传人揽于怀中，用茅草和土砖修复残缺的岁月，用野菜和稀粥喂养饥饿的生命。
那1个个令我们刻骨铭心的事件，令我们悲愤！
清政府的腐败无能令我们走绝望的边缘，使人们陷入水深火热之中，但我们的祖国并未由此而倒下，新中国成立后，我们中国人终于可以昂首挺胸地向前走！
是啊，那1次次大规模的侵略令我们痛心疾首，但中国的日益强盛却让我们无比自豪与骄傲！
耻辱和不幸已经成为过去，中华民族迎来了新的辉煌，在北京奥运会上，我国共获得52枚金牌，当5星红旗1次次飘扬上“鸟巢”的上空，雄浑激昂的中华人民共和国国歌，让无数华夏儿女心潮澎湃，热泪盈眶，“祖国在我心中”简简单单的6个字，道尽了多少中华儿女的心声，正因为有这样1颗中国心，奥运健儿奋勇拼搏，屡创佳绩，而每1个炎黄子孙看到迎风飘扬的5星红旗都会热血沸腾，壮志激昂。
我们是祖国母亲的儿女，在党的关心和教导下，茁壮成长。
同学们，祖国在我们心中，我们就应该为之而付诸努力。
努力学习吧！
当我们反躬自问时，能问心无愧地说：
“祖国在我心中！
”
谢谢大家！
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