∴PQ=-m+3-（
）=-
=
，
当m=
时，PQ的长取最大值
，此时点P（
，
）．
（3）存在，∵对称轴为直线x=2，∴设G（2，n），
又∵B（1，0），C（0，3）
∴
，
=
，
=
，
①若要点C为直角顶点，只需：
=
+10，解得：
n=
，即G（2，
）；
②若要点B为直角顶点，只需：
=
-10，解得：
n=
，即G（2，
）；
③若要点G为直角顶点，只需：
+
=10，解得：
n=1或n=2，即G（2，1）或（2，2）；
综上所述，点G的坐标为：
（2，
）或（2，
）或（2，1）或（2，2）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数动点问题中线段最长的问题和直角三角形的存在性问题；此题把线段的最值问题转化为二次函数的最值问题，把直角三角形问题借助勾股定理的逆定理，转化为一元二次方程的解的问题，把几何问题转化为代数问题是解题的关键．
82．在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
这首诗的大意是：
在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．
【答案】湖水的深度3.75尺
【解析】
【分析】
根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可．
【详解】
若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，
得：
（x+0.5）2=x2+22，
解之得：
x=3.75，
答：
湖水的深度3.75尺．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．熟练运用勾股定理列方程求解．
83．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
（2）求△ABC的面积．
【答案】
（1）△ABC是直角三角形，理由详见解析；
（2）13.
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求出AB、BC及AC的长，再根据勾股定理的逆定理来进行判断即可．
（2）用直角三角形的面积，即可得出结果；
【详解】
（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
由勾股定理可得：
AC2=12+82=65，BC2=42+62=52，AB2=32+22=13，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵BC2=42+62=52，AB2=32+22=13，
∴BC=2
AB=
∴△ABC的面积=
×2
×
=13．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题
（1）的关键．
84．如图，
是等边三角形
内的一点，连结
、
、
，以
为边作
且
．连结
．
（1）观察并猜想
与
之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若
，
，
，连结
，试判断
的形状，并说明理由．
（3）在
（2）的条件下，求
的面积．
【答案】（
）
，证明见解析；（
）
为直角三角形，理由见解析；（
）
．
【解析】
试题分析：
（1）通过证明△ABP≌△CBQ得出；
（2）根据△BPQ是等边三角形求出PQ的长，再根据勾股定理逆定理可得△PQC是直角三角形；（3）过点B作BD垂直于CQ的延长线于点D，在△BDQ中求出DQ、BD的长，再求出CD，根据勾股定理求出BC的长，即可求出三角形ABC面积.
解：
（1）AP=CQ，
理由：
∵∠PBQ=60°，∠ABC=60°，
∴∠ABP+∠PBC=60°=∠CBQ+∠PBC，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，AB=CB,∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ．
（2）∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=4，
∵△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ=3，
∵PQ2+CQ2=42+32=25=PC2，
∴△PQC为直角三角形．
（3）∵∠PQC=90°，∠PQB=60°，
∴∠BQC=150°，
过点B作BD垂直于CQ的延长线于点D，
∴∠BQD=30°，
∵BQ=4，∴BD=2，DQ=2
，
∴CD=CQ+DQ=3+
，
在Rt△BCD中，BC=
，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△ABC=
．
85．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F（0,6）．
（1）当G（4，8）时，则∠FGE=°
（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：
写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．
【答案】
（1）90；
（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．
【解析】
试题分析：
（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90"°．
（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．
试题解析：
（1）连接FE，
∵E（8,0），F（0,6），G（4，8），
∴根据勾股定理，得FG=
，EG=
，FE=10．
∵
，即
．
∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90°．
（2）作图如下：
P（7，7），PH是分割线．
考点：
1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．
86．在
中，
．点
是平面内不与点
重合的任意一点，连接
，将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
（1）动手操作
如图1，当
时，我们通过用刻度尺和量角器度量发现：
的值是
；直线
与直线
相交所成的较小角的度数是
；
请证明以上结论正确．
（2）类比探究
如图2，当
时，请写出
的值及直线
与直线
相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
【答案】
（1）见解析；
（2）
，直线
与
相交所成的角度是
；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）假设直线
与
相交于点
，且直线
交
于点
，证明
即可解决问题；
（2）如图2假设
与
相交于点
与
交于点
，证明
即可解决问题．
【详解】
（1）证明：
是等边三角形
由旋转的性质知：
假设直线
与
相交于点
，且直线
交
于点
在三角形
与三角形
中，由三角形内角和定理知：
又
（2）
，直线
与
相交所成的角度是
理由如下：
如图2假设
与
相交于点
与
交于点
由题意可知，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即直线
与
相交所成的角度为
．
综上所述：
，直线
与
相交所成的角度是
【点睛】
本题考查旋转变换的问题，掌握等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
87．在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和A′B′C′，并把它们拼成如图所示的形状（点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直）．请利用拼得的图形证明勾股定理．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接
梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2，,用字母表示出来,化简后,即可得证.
【详解】
如图所示，
在Rt△ABC中，
∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°.
又∵∠ACC′＝90°，
∴∠2＋∠3＋∠ACC′＝180°，
∴B，C（A′），B′在同一条直线上．
又∵∠B＝90°，∠B′＝90°，
∴∠B＋∠B′＝180°，∴AB∥C′B′.
由面积相等得
（a＋b）（a＋b）＝
ab＋
ab＋
c2，
即a2＋b2＝c2.
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，掌握梯形的面积公式并能正确作出辅助线是解题的关键.
88．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：
小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪
正前方50米的
处，过了6秒后，测得小汽车的位置
与车速检测仪
之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？
请说明理由.
【答案】小汽车超速了,理由见解析
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得到BC=120米，再求出其速度即可得出答案.
【详解】
由题意可知：
米，
米.
在
中，
是斜边，由勾股定理可得：
，即
，
解得：
米
千米，
∵6秒
小时，
∴速度为：
（千米/时）.
∵72千米/时
千米/时，
∴该小汽车超速了.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键.本题要注意单位的统一.
89．已知等边三角形的三条边相等，三个角都等于
，如图，
与
都是边三角形，连接
.
（1）如果点
在同一条直线上，如图①所示，试说明：
；
（2）如果
绕
点转过一个角度，如图②所示，
（1）中的结论还能否成立？
请说明理由.
【答案】
（1）见解析；
（2）见解析.
【
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