卢清扬七年级数学维修定律.docx

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卢清扬七年级数学维修定律

卢清扬数学维修定律

错误

正确

1

A（B+C）=AB+C

基本乘法分配律A（B+C）=AB+AC

扩展一下，括号外的乘数应该分配给括号内的每一个项。

A（B+C+D+E+F+G）=AB+AC+AD+AE+AF+AG

2

-（B+C）=-B+C

-（B+C）

=（-1）

（B+C）

=（-1）

B+（-1）

C

=-B-C

单独的负号可以看做乘-1

3

A+B-C=D

A+B=D-C

A+B-C=D

A+B-C+C=D+C

A+B=D+C

方程里面挪动一个加减项，实质是等式左右同时加上或减去这个项。

4

（-2）

（-3）

=？

卢清扬：

！

@#￥%……&*（）

（-2）

（-3）

=

（2

3

）

=-720

连乘和连除，利用乘法交换律，可以把所有的-1都提取出来先行计算，奇数个-1则最终结果为负，偶数个-1则最终结果为正，先确定正负号后再计算。

5

一件售价100元的商品赚了25%，赚了多少元？

卢清扬：

100

赚是相对买入价，而不是卖出价的。

需要先算出来买入价是多少，再通过买入价和卖出价的差来计算赚了多少。

设买入价为X列方程

（1+25%）X=100

X=80

赚钱=买入价-卖出价

100-80=20

6

两个棱长为a的立方体，一个棱长增加了3，体积分别扩大多少？

卢清扬：

9？

27？

凭借印象写答案就是蒙，先算出棱长增加3后的立方体体积再说。

（a+3）

（a+3）

（a+3）

=[（a+3）

a+（a+3）

3]

（a+3）

=[

+3a+3a+9]

（a+3）

=[

+6a+9]

（a+3）

=

（a+3）+6a

（a+3）+9

（a+3）

=

+3

=

+27a+27

原来立方体的体积是

+27a+27

注意计算中连续两次使用了乘法分配律

卢清扬几何维修定律

错误

正确

1

一个等腰三角板，按图旋转一定角度后，已知∠AOD=80，求∠COB。

几何和代数不同的是，几何的线和角有位置关系，位置通常会传达几种隐含信息：

1.某几个角的单独一个的度数未知，但他们的和是已知的。

2.平角、直角是隐含的90和180，等边三角形是隐含的60.

3.等腰或等边三角形是隐含的某些角相等关系。

4.同在一个三角形内的角，其和是180.

5.平分、三等分之类比例关系是隐含的，某些角之间的度数相等。

如果某个角同时符合上述多个标准，围绕这个角的条件就更多，也越容易成为突破口。

线索1：

从∠AOD=80出发，从图可知，∠AOB=∠AOC+∠COB+∠BOD，虽然这三个角都不知道具体的角度，但是其和是确定的。

线索2：

等腰三角板这个词，传递给我们一个很重要的线索，也就是∠AOB=∠COD=45。

仔细观察图，先把∠COD看做上面的三角形的一部分，不难发现=∠AOC+∠COB=∠AOB=45。

再回到线索1：

∠AOB=∠AOC+∠COB+∠BOD

=∠AOB+∠BOD

=45+∠BOD

所以，∠BOD=80-45=35。

再把∠COB看做下面的三角形的一部分。

∠COB=∠COD-∠BOD

=45-35

=10

本题的关键，是将∠COB分别视为两个角的一部分，以及题目中没有直接给出的45这个数字。

七年级数学应用题类型总概

一. 和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率„„”来体现。

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余„”来体现。

1.1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的两倍，乙现在的年龄是多少岁？

二.行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

 路程=速度×时间

（2）基本类型有

①相遇问题；

②追击问题；一般情况下：

相背而行；相向而行；行船问题；环形跑道问题.

a、相背而行；总路程=甲路程+乙路程

甲----------------------

总路程

-------------------------乙

b、相向而行；总路程=甲路程+乙路程

-------------------------甲

总路程

乙----------------------

c、同向而行：

总路程=慢车路程+距离差=快车路程

距离差

慢车----------------------

总路程

快车-----------------------------------------------------

d、行船问题：

总路程=顺水速度×时间=逆水速度×时间

甲---------------------船速度+水速度---------------------

总路程

---------------------船速度-水速度---------------------乙

e、环形跑道的追击：

快车路程=慢车路程+一圈路程

一圈路程

慢车----------------------

总路程

快车-----------------------------------------------------

③行船中的顺逆水问题、飞行中的顺逆风问题。

a、顺水速度=静水速度+水流速度 。

b、逆水速度=静水速度-水流速度。

c、（顺水速度-逆水速度）÷2=水流速度。

（注：

顺逆风的情况和这一样的思路）

（3）速度在部分情况下，并不是用公里/小时这样的绝对数值来表示，而是2小时走完全程这样的方式，来隐晦表达速度为1/2。

2.1、甲、乙两人练习50米短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米。

（1）几秒后，甲在乙前面2米？

（2）如果甲让乙先跑4米，几秒可追上乙？

2.2、一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

2.3、甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来；7.2小时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。

已知甲轮船与自漂水流测试仪行2.5小时后相距31.25千米，甲、乙两船的航速相等。

A.B两站之间的距离是多少千米？

设船的航速为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A.B两站之间的距离是s千米。

三 劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变；

3.1、苹果单价是每筐60元，香蕉单价是每筐40元，初三某班要搞毕业联欢会，共买了12筐，合计付款620元，问苹果和香蕉各多少筐？

3.2、甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给两个车队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，应分配到甲乙两车队各多少辆车？

四 工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率在部分情况下，并不是用件/天这样的绝对数值来表示，而是20天做完总量这样的方式，来隐晦表达工作效率为1/20。

4.1、修一条路，A队单独修完要20天，B队单独修完要12天。

现在A队单独修4天后，A、B两队合修还需多少天才能完成？

4.2、某人看一本书，第一天看20页，第二天看整本书的1/4 ，第三天看整本书的1/3 ，第四天看了整本书的2/5 刚好看完。

问这本书一共有多少页？

五. 商品销售问题

商品销售问题中几个重要的关系式：

买入价

利润

卖出价

折后价

折扣

买入价

卖出价

亏损

（1）商品利润=商品售价-商品进价

（2）商品利润率=商品利润

商品进价

（3）商品折后售价=商品折前售价×折扣率=商品标价×折扣率

折扣率=折扣

商品折前售价

5.1、某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？

六. 数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

（3）按照某种规律连续的一组数字，比方说7的倍数，可以假定第一个数字为

，则后续的数字可以用

表示。

6.1、有一些分别标有5,10,15,20,25„„的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大5，小明拿到了相邻的3张卡片，且这些卡片上的数之和为240。

（1）小明拿到了哪3张卡片？

（2）你能拿到相邻的3张卡片，使得这些卡片上的数之和是63吗？

七. 储蓄问题  

（1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率，利息的20%付利息税。

（2）利息=本金×利率×期数

（3）本息和=本金+利息

（4）利息税=利息×税率（20%）

7.1、为了准备小颖6年后上大学的费用5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄。

下面有两种储蓄方式：

（1）直接存入一个6年期（4.9%）；

（2）先存一个3年期（4.75%）的，3年后将本息和自动转存一个3年期。

你认为那种储蓄方式开始存入的本金少？

八.按比例分配问题

甲：

乙：

丙=a:

b:

c,全部数量=各部分成分含量之和，一般设的的时候为：

ax,bx,cx。

例如：

甲、乙、丙的和为369，且甲：

乙：

丙=3:

5:

9,则设甲为3x,乙为5x,丙为9x,则：

3x+5x+9x=369。

甲1

乙2

甲2

乙4

甲3

乙6

8.1、甲、乙、丙三村集资140万元办学，经协商甲、乙、丙三村的投资之比是5：

2：

3。

问他们应各投资多少万元？

九.日历中的问题  

日历中的每一行上相邻两数，右边比左边大日历中每一列上相邻的两数下面的数比上面的大7，且日历中数字a的取值是在1~31之间。

9.1、日历上同一竖列上3日，日期之和为75，第一个日期是几号？

十.比赛得分规则

①总积分=胜场得分+平场得分+负场得分

②胜场得分=胜一场分数×胜场数

③平场得分=平一场分数×平场数

④负场得分=平一场分数×负场数

⑤总场数= 胜场数+平场数+负场数

注意，某些运动负场也是有得分的，不能认为负场就一定是0分。

10.1、在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学张老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：

每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分. 

（1）如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？

（2）㈠班代表队的最后得分能为145分吗？

请简要说明理由

十一.等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，有时候也会出现周长或面积不变，常用等量关系为：

（1）绳子周长：

形状变了，周长没变；

（2）水箱体积：

从一个形状的水箱将谁转移到另一个水箱，形状变了，体积没变。

（3）原料体积：

钢锭融化为铁水，再铸成其他形状，形状变了，体积没变。

（4）包装纸面积：

圆柱形侧面，或者长方体表面，包装纸展开后形状变了，面积没变。

11.1、将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，

≈3.14）．

十二.分阶段问题

这种问题一般情况下分两个阶段：

（1）在某一范围内收费标准。

（2）超出范围的收费标准的计算方法，有时候还会有多个范围和多个计算方法。

（3）总费用=范围内的费用+超出范围的费用

12.1、某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：

（A）记时制：

2.8元／小时。

（B）包月制：

16元／月。

此外还加收通讯费1.2元／小时。

（1）某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？

（2）当上网时间在什么小时时，两种上网费用一样多？

12.2、为鼓励节约用水，某地按以下规定收取每月水费，如果每月每户用水不超过20吨，那么每吨水费按1.2元收费，如果每月每户用水超过20吨，那么超过部分按每吨2元收费，若某用户五月份的水费平均每吨1.5元，问该用户应交水费多少元？

卢清扬七年级上考前突击

E

题目：

直线BA和CD相较于点O，OE评分∠AOD，∠FOC=102°，∠1=32°，求∠2和∠3的度数。

D

2

B

A

3

1

O

F

C

提示：

1、画图，将已知条件全部标注在图上；

2、通过已知条件，推导出中间结果，并标注在图上，逐渐增加已知条件；

3、中间结果可以直接标注具体数字，也可以标注已知还是未知；

4、从结果出发，反推需要知道哪些条件才能计算出结果；

题目：

一个等腰三角板，按图旋转一定角度后，已知∠AOD=70，求∠COB。

A

C

B

O

D

提示：

1、平角、直角、等腰、等边……这些语言中包含隐藏的已知条件；

题目：

某景点门票为：

成年100元，学生80元，在此基础上，淡季优惠成人8折，学生6折。

某旅行团在淡季前往，打折后门票节约了1228元，已知该旅行团成人比学生多12人，求成人和学生各多少人？

提示：

1、根据结果设定未知数x；

2、从基本的等量关系出发，建立基本的方程关系，不要带入任何具体的数字；

3、检查等量关系的两边，是否都可以用已知条件和x进行替换；

4、确定等量关系和方程逻辑正确后，进行计算；

5、计算过程警惕维修定律中典型错误；

6、验算，如果不对，从第4步开始检查，注意正负号和括号；

题目：

有线段MN，有AB两个动点从M出发，到达N点后立即折返。

已知MN=100米，A速度为3米/秒，B速度为2米/秒。

AB同时从M出发，经过多少秒第一次相遇？

MN

A---

B--

提示：

1、画图，根据题目条件画出答案发生时刻的场景；

2、分析答案发生时刻，每个动点经过的路径，必要的话应在图上画出；

3、寻找题目已知条件中直接给出，以及通过画图得出条件中的等量关系；

4、确定等量关系和方程逻辑正确后，进行计算；

5、验算，将答案视为已知条件，计算每个动点的路径，并检查结果是否符合答案发生时刻的条件；

题目：

某工厂承接一个订单，如每天生产30件产品则在规定时间内，只能提供订单要求产品数量的80%。

如果将生产速度提高到每天50件，则提前1天完成，还能多生产25件。

求规定时间的天数和订单产品的数量？

提示：

1、多个问题通常可以被各个击破，首先需要确定一个相对简单的作为突破口；

2、将突破口设为x，寻找题目中的等量关系，如果不能找到等量关系，要考虑是否找错了突破口；

3、确定等量关系和方程逻辑正确后，进行计算；

4、验算，将答案视为已知条件，计算题目中不同场景是否成立，如果不成立说明方程可能有误；

5、确定突破口是正确的结果后，再进行其他提问的解答；