高中数学必修224.docx
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高中数学必修224
第2课时 直观图与中心投影、平行投影
[学习目标]
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．
3．了解中心投影和平行投影．
[知识链接]
1．一般地，在一个几何体的三视图中，左视图与正视图高一样；俯视图与正视图长一样；左视图与俯视图宽一样．
2．梯形的面积S＝
（a＋b）h（其中a，b为两底长，h为高）．
[预习导引]
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）画轴：
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们分别画成对应的x′轴与y′轴，其交点为O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）画线：
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）取长度：
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度保持原长度不变，其他同平面图形的画法．
3．投影
（1）投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫作投影．其中，我们把光线叫作投影线，把留下物体影子的屏幕叫作投影面．
（2）投影的分类
①中心投影：
光由一点向外散射形成的投影．
②平行投影：
在一束平行光线照射下形成的投影．
当投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.
要点一 画水平放置的平面图形的直观图
例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
解 画法：
（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
（2）以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝
OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
（3）连结B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．
2．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成．
跟踪演练1 用斜二测画法画如
图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．
解
（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
（2）画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝
OA，连结A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
要点二 由直观图还原平面图形
例2 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A.
a2B．2
a2
C．a2D．2a2
答案 B
解析
由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2
a＝2
a2.
规律方法 由直观图还原平面图形关键有两点：
（1）平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；
（2）对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线变换确定其在xOy中的位置．
跟踪演练2 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为
，则原梯形的面积为（ ）
A．2B.
C．2
D．4
答案 D
解析 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，
原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的
倍，
由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2
倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的2
倍，梯形O′A′B′C′的面积为
，所以原梯形的面积是4.
要点三 空间几何体的直观图
例3 如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图．
解
（1）画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
（2）画底面．以O′为中心，在x′O′y′平面内画正五边形的直观图ABCDE.
（3）画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都等于正视图的高．
（4）成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，E′，A′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．
规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
2．直观图画法口诀可以总结为：
“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
跟踪演练3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
解 画法：
（1）画轴．
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°（或135°），∠xOz＝90°，如图
（1）．
（2）画底面．
以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
（3）画顶点：
在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
（4）成图：
顺次连结PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图
（2）．
要点四 中心投影与平行投影
例4 下列说法中：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案 B
解析 由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确．
规律方法 判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
跟踪演练4 下列命题中，正确的是（ ）
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点
答案 D
解析 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确．两条相交直线的投影不可能平行，即C错．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．故选D.
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（ ）
A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点
答案 B
解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．
2．关于用斜二测画法得到的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图可能不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
答案 B
3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形B．梯形
C．菱形D．矩形
答案 D
解析 因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
4．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
答案 ②⑤
解析 线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．
5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．
答案 6
解析 由直观图可知其对应的平面图形△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝
OA·OB＝6.
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
3．理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．
一、基础达标
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝（ ）
A．45°B．135°
C．45°或135°D．90°
答案 C
解析 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°，故选C.
2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
答案 B
解析 ∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．
3.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（ ）
答案 A
解析 直观图中正方形的对角线为
，故在平面图形中平行四边形的高为2
，只有A项满足条件，故A正确．
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．ABB．AD
C．BCD．AC
答案 D
解析 还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．
5．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有（ ）
A．L，KB．C
C．KD．L，K，C
答案 A
解析 N和L，K属中心投影，C属平行投影．
6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
答案
解析 将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为
.
7．画出水平放置的四边形OBCD（如图所示）的直观图．
解
（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图
（1）所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图
（2）所示．
（2）如图
（2）所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝
OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝
EC.
（3）连结B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图（3）所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
二、能力提升
8.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为（ ）
A．2B．4
C．2
D．4
答案 D
解析 由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2
S直观图，得
·OB·h＝2
×
×2·O′B′，
∵OB＝O′B′，∴h＝4
.
9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________．
答案 2＋
解析 过A作AE⊥BC，垂足为E，
又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝
，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋
，高为2，∴原平面图形的面积为
×
×2＝2＋
.
10．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是________．
答案 16或64
解析 在直观图中边长为4的边若与x′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64.
11．用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
解 画法：
（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
（3）画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
（4）成图．顺次连结A′，B′，C′，D′，A′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正方体的直观图，如图②.
三、探究与创新
12．用斜二测画法画出正六棱柱（底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱）的直观图（尺寸自定）．
解
（1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°（或135°），∠xOz＝90°，如图
（1）．
（2）画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
（3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点，分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它们都等于侧棱的长．
（4）成图．顺次连结A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，并擦去辅助线，遮挡住的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图
（2）．
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解
四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，
四边形A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC.
∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝
，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2
.
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