等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx
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等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习
（含答案）ﻫﻫ1、如图:
已知,点D、E在三角形ＡBC得边ＢC上,AB＝ＡC，AD=AＥ，求证:
BD=ＣＥ。
证明：
作AF⊥BC,垂足为F, 则ＡF⊥DE。
∵ＡB=AC，ＡD＝AＥﻫ又∵ＡF⊥BC,AF⊥DE,∴ＢF＝CF,DF=EF （等腰三角形底边上得高与底边上得中线互相重合）。
∴ＢD=CE、
２、如图,在三角形ABC中,AB=AC,AF平行BC于F, Ｄ就是ＡC边上任意一点,延长BA到E,使AE=AD,连接DE,试判断直线ＡＦ与DE得位置关系,并说明理由ﻫ解:
AF⊥DＥ.理由：
延长ＥD交BＣ于G,∵ＡB=AC,AE＝AＤ∴∠B=∠C,∠E=∠ADE ∴∠B+∠Ｅ=∠C+∠AＤE ∵∠ADE=∠ＣＤＧ ∴∠B+∠E=∠C+∠ＣDG∵∠Ｂ+∠E=∠DＧC,∠C+∠CDG=∠BＧE,∠BＧE＋∠CGＤ＝18０° ∴∠BGＥ=∠CGD=90°∴EG⊥BC.∵AF∥BC∴AF⊥ＤE.
ﻫ解法２:
ﻫ过Ａ点作△ＡBＣ底边上得高,ﻫ再用∠BAC=∠D+AEＤ=∠2∠ADＥ,即∠ＣAＧ=∠AED，证明AG∥ＤE利用AＦ∥BC证明AF⊥DE
ﻫ3、如图,△ＡBＣ中,BＡ=BC，点D就是AＢ延长线上一点,DF⊥AC交BC于E,求证:
△DBE就是等腰三角形。
证明:
在△AＢC中,∵BA=BC, ∴∠A=∠C, ∵DF⊥ＡＣ,∴∠C+∠FEＣ＝90°, ∠Ａ+∠Ｄ=90°，∴∠FEＣ=∠D∵∠FＥC＝∠BED,∴∠BED=∠D，∴ＢD＝BE,即△ＤＢＥ就是等腰三角形.
４、如图,△ABC中,AB=AC，E在AＣ上,且AD＝AＥ，DE得延长线与BＣ相交于Ｆ。
求证：
DF⊥BC、ﻫ证明:
∵AB=ＡC，∴∠B=∠C, 又∵AD=AＥ,∴∠D=∠AEＤ,
∴∠Ｂ+∠Ｄ=∠C+∠AED,∴∠B+∠D＝∠C+∠ＣＥF,ﻫ∴∠EFC=∠ＢFＥ=1８０°×1/2= 9０°,∴DF⊥BC;ﻫ若把“ＡＤ=AＥ”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。
ﻫ若把条件“AＢ=ＡC”与结论“ＤF⊥BC”互换,结论依然成立。
ﻫ5、如图，ＡB=AＥ,BＣ=ED，∠B=∠Ｅ，ＡM⊥CD, A求证：
CM=MD、
证明:
连接AC,ＡDﻫ∵AＢ=ＡE,∠Ｂ＝∠E,BＣ=ED ∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AＣ=ＡＤ
∵ＡM⊥CD ∴∠ＡＭC=∠AMD=９0°∵AM=ＡM（公共边） ∴RT△ACM≌ＲT△ADM （HL）
∴CM＝DM
ﻫﻫ6、如图,已知ＡD就是△ＡBC得中线,BE交AC于F,且AE=EF，求证:
BF=ＡC
证明:
过B点做AC得平行线,交AD得延长线于G点
∵AD为中线,∴BD=ＣD∵BG平行于AC,∴∠ＦGB＝∠ＣAF,∠DBＧ=∠ＡCD
在△ＡＦE与△GFB中,∵∠ＦGＢ=∠ＣＡＦ,∠ＧＦB=∠AＦE∴△AFE∽△GFＢ
∴∠FGB=∠FAE
∵ＡＥ=EF,∴∠FAＥ＝∠ＡＦＥ
∴∠BFG=∠G∴△GFB为等腰三角形,且ＢF=ＢG在△ＡＤC与△GＢＤ中 ∵∠ＤＢＧ=∠ACD，ＢD=CＤ，∠BＤG=∠CDA∴△ＡＤC≌△GBＤ ∴BG=ＡC
∴ＢＦ=ＡＣ
ﻫ
７、已知:
如图,△ＡBＣ（ＡB≠AC）中,D、E在ＢC上,且ＤE=EC,过Ｄ点作DF∥ＢA，交ＡE于点F,DF＝AＣ,求证:
AE平分∠BAＣﻫ证明：
延长AＥ,过D作DM‖ＡC交AE延长线于M∴∠Ｍ＝∠1，∠Ｃ=∠2在△DEM与△ＣEA中 ∠M=∠1，∠C＝∠2, DE＝ＣＥ∴△DEM≌△CEＡ∴DM=CＡ又∵DF=ＣA,∴DM=DF,∴∠M＝∠３ ∵AB‖FＤ,∴∠３=∠4,∴∠4＝∠1∴AE平分∠BＡC
8、已知:
如图,△AＢＣ中,AB=AＣ，在AB上取一点Ｄ，在延长线上取一点Ｅ,连接DＥ交BC于点F，若F就是ＤＥ中点。
求 证:
ＢD=CEﻫ证明:
过D作ＤＦ∥ＡC交BＣ于Ｆ,∵DF∥AC（已知）,∴∠ＤFC=∠FCE,∠DFＢ=∠AＣB（平行线得性质） ∵ＡB=AＣ（已知）, ∴∠Ｂ＝∠ACＢ（等边对等角）,∴∠B=∠DFB（等量代换）, ∴BD=DF（等角对等边），∵ＢD=ＣE（已知），∴DF=CE（等量代换），
∵∠DＦＣ=∠FCE,∠DGF=∠CGE（已证）,ﻫ∴△DFG≌△ECＧ（AAS），
∴DG＝GE（对应边相等）
ﻫﻫ9、已知:
如图,在△ABC中,AB＝AC=CE,B就是AD上一点,BE⊥ＣB交ＣD于E,AC⊥DC,求证:
BE＝１/２BＣ
证明:
过点A作ＡF⊥ＢC交BＣ于点F
∵△ＡBC就是等腰三角形,AB=AC,∠AＢF=∠AＣF…
（1）∴ＡF就是BC上得垂直平分线,ＡＦ⊥BC,ＢF＝CF=ＢC／2……
（2） ∵BE⊥ＢＣ,∴BE//AＦ∴∠DBＥ＝∠ＢAF………………………………（３） ∵∠CBE=90°∴∠ＤBE+∠ABＦ＝90°=∠ACF+∠ECＢ…………（4）由
（1）与（4）知道:
∠DBE＝∠ECB………………（５）由（3）与（5）知道:
∠BＡF=∠ECＢ又∵AB=CE,∠BFA=∠EBＣ=90° ∴RT△ＢFA≌RT△EBＣ（角角边）∴BＦ=EB…………………………（6）由（２）与（6）知道:
BＥ=BC/2
ﻫ10、如图,ＡD为△ＡBC得角平分线，Ｍ为BＣ得中点,ME∥DA交 BA延长线于E，求证:
BE=CF=1/2（ＡB+AC）ﻫ证明:
（1）延长EM,使EM=MG，连接CG
∵点M就是BC得中点,∴BM=ＣＭ∵∠BME＝∠ＣMG ∴△ＢME≌△CMG（SＡS）ﻫ∴BE=ＣＧ,∠Ｅ=∠G
∵AＤ平分∠BAC,∴∠BAD=∠CＡD ∵ME∥DA，∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠AＦE∴∠Ｅ=∠AFＥ,∴AE=AF∵∠AＦE＝∠CFG,∴∠G=∠ＣFG∴CＦ=CＧ ,∴ＢE=ＣG,∴BＥ=CF
ﻫ（２）∵BＥ=ＡB+AE，∴2BE=2AB+2AE
∵CF=ＢE,AC=CＦ＋ＡF，AＥ=AFﻫ∴2ＢE＝2CF＝AB+（ＡB+AＥ）+AE＝AB＋BE＋ＡE＝ＡＢ+（ＣF+AE）∵AC=AF+CＦ∴2BE=AB+AC∴BＥ＝CF＝1/2（AB+ＡC）
１１、如图,已知△ABC中,AD⊥BC,∠ＡBＣ=2∠C、 试说明AB+BD=CD得理由。
证明：
在DＣ上截取DE＝BD,连接AE∵AD⊥BC,∴∠AＤB=∠AＤＥ＝9０°∵AD=AＤ ∴RT△ＡＤB≌RT△ＡＤE（SAS） ∴AB＝ＡE,∠ABC=∠AEB
∵∠ＡEB=∠Ｃ＋∠EAC∵∠ABＣ=2∠Ｃ（已知）∴∠EＡC=∠Cﻫ∴AE=ＣE，∴AB=CE∵CD=ＣE+DＥ,∴AB+BＤ=CD
ﻫ
12、已知:
如图,AD就是△ABＣ得角平分线，且AC=AB+BD、求证：
∠Ｂ＝2∠C、
证明:
在AC上作AＥ=AB,连结ＤE ∵AＣ=AB＋BD＝AE+CE,∴ＢD＝ＣE ∵AD就是角平分线,∴∠BAD=∠EAD又∵AＢ＝AE,AD=AＤ ∴△ＡBD≌△ＥAD∴∠B=∠AED，BD＝DE＝ＣEﻫ∴∠EDC=∠C，∠AＥＤ=２∠C
即：
∠B＝2∠Ｃ
ﻫ
1３、如图所示,已知在△AＢＣ中AD就是∠A得平分线,且∠B=２∠C、求证:
AC=AB+ＢD、
证明:
延长ＡＢ到E,使AC=AＥ，连接DEﻫ∵ＡＤ就是∠BAC得角平分线 ∴∠ＢＡD＝∠DＡＣ（角平分线得定义） ∵公共边AＤ＝ＡDAC＝AE ∠ＢＡD=∠ＤＡC ∴△ACD≌△ＡＥD（SAS）∴∠ＡCB=∠DＥＡ（全等三角形形得对角相等）ﻫ∵∠BDE+∠DＥＢ=∠CBA∠CＢA＝２∠AＣB∠ACB=∠ＤＥA∴∠BDE＝∠DEA∴BD=BＥ（等角对等边）
∵ＡB+BＥ＝AE,AC＝ＡE,BD=BEﻫ∴AB+BD＝AC
ﻫﻫ1４、如图,点Ｅ就是等边△ABC内一点,且EA＝EB,△ＡＢC外一点Ｄ满足BD=AC,且BE平分∠BDＥ。
求∠BDE得度数解:
连接CＥ, ∵AC=BC，AE=BE，CE为公共边,∴△ＢCE≌△ACE,∴∠ＢCE=∠ACE＝３0° 又∵BＤ=AC＝BC,∠DＢＥ＝∠CＢE,BE为公共边,∴△BＤE≌△ＢCE，∴∠BDE=∠BCＥ=3０°
ﻫ
15、如图，已知在△ABC中,AB＝BC=ＣA,E就是AD上一点,并且EB＝BD=ＤE、 求证:
BD+DC＝AD、Aﻫ提示:
证明△AＢE≌△ＢＣＤ即可EB C
ﻫ１6、已知:
如图,△ＡBＣ中,∠C=９０°,CM⊥AB于M，AＴ平分∠BAＣ交CM于D,交ＢC于Ｔ,过D作DE∥AB交BC于E,求证:
CT=ＢEﻫ证明1：
作DF∥BC交AＢ于F，则:
∵∠AＦＤ=∠Ｂ=∠ACD,AT为∠BAC得角平分线,AD为公共边∴△AFD≌△ＡCD,AF＝AC连接TF∵ＡＦ＝AC，AT为∠BAＣ得角平分线,AT为公共边 ∴△ACＴ≌△AFT, TＦ⊥AF，ＴF∥CM∵DF∥ＣT∥BE,ＴF∥ＣD,DＥ∥BF∴四边形CTFD与四边形BEDF都就是平行四边形 ∴CT=DF=BE
证明2:
作ＴＦ⊥AB于Ｆ,则：
∵∠ＣDT=∠ADM=９0°-∠DＡM＝90°-∠DAＣ＝∠CTD∴∠ＣＤT ＝∠CTＤ ，∴CT=CD∵AT为∠BAＣ得角平分线,TF⊥AB,AＣ⊥TC ∴ＣT=ＴF＝CD∵ＤE∥ＢF，ＴＦ∥CＤ,∴∠DEC=∠Ｂ,∠DCE=∠FTB又∵ＴF=CD∴△CDＥ≌△TＦＢ，∴CE=ＢT∴CE-TE=ＢT－ＴE，CT=BＥ
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