步步高必修3高中数学复习资料第三章 章末复习.docx
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步步高必修3高中数学复习资料第三章章末复习
章末复习
学习目标
1.理解频率与概率的关系,会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质,能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率．
1．频率与概率
频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多数次的试验中频率的稳定值,是一个常数,不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．求较复杂概率的常用方法
（1）将所求事件转化为彼此互斥的事件的和;
（2）先求其对立事件的概率,然后再应用公式P（A）＝1－P（
）求解．
3．古典概型概率的计算
关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件
的个数m,再利用公式P（A）＝
求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来,在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
1．对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件．（ √ ）
2．“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽”与“不发芽”．（ × ）
类型一 频率与概率
例1 对一批U盘进行抽检,结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
（1）计算表中次品的频率;
（2）从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
（3）为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘？
解
（1）表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.
（2）当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
（3）设需要进货x个U盘,为保证其中有2000个正品U盘,则x（1－0.02）≥2000,因为x是正整数,
所以x≥2041,即至少需进货2041个U盘．
反思与感悟 概率是个常数．但除了几类概型,概率并不易知,故可用频率来估计．
跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
（1）该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少？
（2）假如该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗？
解
（1）由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
（3）由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化．后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶心．
（4）不一定．
类型二 互斥事件与对立事件
例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题．
（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解 把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有：
（x1,p1）,（x1,p2）,（x2,p1）,（x2,p2）,（x3,p1）,（x3,p2）,共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有：
（p1,x1）,（p1,x2）,（p1,x3）,（p2,x1）,（p2,x2）,（p2,x3）,共6种;
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：
（x1,x2）,（x1,x3）,（x2,x1）,（x2,x3）,（x3,x1）,（x3,x2）,共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有：
（p1,p2）,（p2,p1）,共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
（1）“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为
＝
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为
＝
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为
＋
＝
.
（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为
＝
故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－
＝
.
反思与感悟 在求有关事件的概率时,若从正面分析,包含的事件较多或较烦琐,而其反面却较容易入手,这时,可以利用对立事件求解．
跟踪训练2 猎人在距离100米处射击一野兔,命中的概率为
如果第一次没有命中,则猎人进行第二次射击,但距离已是150米,如果又没有击中,则猎人进行第三次射击,但距离已是200米．已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比,则三次内击中野兔的概率是多少？
解 三次内击中野兔,即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔,设第一、二、三次击中野兔分别为事件A,B,C.
设距离为d,命中的概率为P,则有P＝
将d＝100,P＝
代入上式,可得k＝5000,
所以P＝
所以P（B）＝
＝
P（C）＝
＝
.
又已知P（A）＝
所以P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝
＋
＋
＝
.
故三次内击中野兔的概率为
.
类型三 古典概型
例3 某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4,则该产品为一等品．现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标（x,y,z）
（1,1,2）
（2,1,1）
（2,2,2）
（1,1,1）
（1,2,1）
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标（x,y,z）
（1,2,2）
（2,1,1）
（2,2,1）
（1,1,1）
（2,1,2）
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
（2）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率．
解
（1）计算10件产品的综合指标S,如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为
＝0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
（2）①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种．
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种．
所以P（B）＝
＝
.
跟踪训练3 有4张面值相同的债券,其中有2张中奖债券．
（1）有放回地从债券中任取2张,每次取出1张,计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率;
（2）无放回地从债券中任取2张,每次取出1张,计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．
解
（1）把4张债券分别编号1,2,3,4,其中3,4是中奖债券,用（a,b）表示“第一次取出a号债券,第二次取出b号债券”,则所有可能的基本事件为（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,共16种．
用C表示“有放回地从债券中任取2次,取出的2张都不是中奖债券”,则
表示“有放回地从债券中任取2张,取出的2张中至少有1张是中奖债券”,
则C＝{（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）},
所以P（
）＝1－P（C）＝1－
＝
.
（2）无放回地从债券中任取2张,则所有可能的基本事件为（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,共12种．
用D表示“无放回地从债券中任取2张,取出的2张都不是中奖债券”,则
表示“无放回地从债券中任取2张,取出的2张至少有1张是中奖债券”,
则D＝{（1,2）,（2,1）}．
所以P（
）＝1－P（D）＝1－
＝
.
1．下列事件：
①任取三条线段,这三条线段恰好组成直角三角形;②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点;③实数a,b都不为0,但a2＋b2＝0;④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温,
其中为随机事件的是（ ）
A．①②③B．①②④
C．①③④D．②③④
答案 B
解析 任取三条线段,这三条线段可能组成直角三角形,也可能组不成直角三角形,故①为随机事件;
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,三条射线可能不相交,交于一点、交于两点、交于三点,故②为随机事件;若实数a,b都不为0,则a2＋b2一定不等于0,故③为不可能事件;由于明年12月28日还未到来,故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温,也可能低于今年12月28日的最高气温,还可能等于今年12月28日的最高气温．故④为随机事件．故选B.
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件B．互斥但不对立事件
C．不可能事件D．必然事件
答案 B
解析 根据题意,把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,故两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”,故两者不是对立事件,所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
3．不透明袋子中放有大小相同的5个球,球上分别标有号码1,2,3,4,5,若从袋中任取3个球,则这3个球号码之和为5的倍数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 基本事件有（1,2,3）,（1,2,4）,（1,2,5）,（1,3,4）,（1,3,5）,（1,4,5）,（2,3,4）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）,共10种,满足要求的基本事件有（1,4,5）,（2,3,5）,
共2种,故所求概率为
.故选B.
4．任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 三位正整数有100～999,共900个,而满足log2N为正整数的N有27,28,29,共3个,故所求事件的概率为
＝
.
1．两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥．若事件A1,A2,A3,…,An彼此互斥,则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．
2．关于古典概型,必须要解决好下面三个方面的问题
（1）本试验是不是等可能的？
（2）本试验的基本事件有多少个？
（3）事件A是什么,它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题,解题才不会出错．
一、选择题
1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：
“①两球都不是白球;②两球恰有一白球;③两球至少有一个白球”中的（ ）
A．①②B．①③
C．②③D．①②③
答案 A
解析 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,基本事件为：
白白,白红,白黑,红红,红黑,黑黑．除“两球都不是白球”外,还有其他事件如白红可能发生,故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合,理由同上．③两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球,故不互斥．
2．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品．现从这5件产品中任取2件,则恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4B．0.6
C．0.8D．1
答案 B
解析 用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6,则P＝
＝0.6.
3．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 从五个数中任意取出两个不同的数,有10个基本事件,若取出的两数之和等于5,则有（1,4）,（2,3）,共有2种,所以取出的两数之和等于5的概率
＝
.
4．已知口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是（ ）
A．0.42B．0.28
C．0.3D．0.7
答案 C
解析 因为“摸出黑球”的对立事件是“摸出红球或摸出白球”,所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
5．集合A＝{1,2,3,4,5},B＝{0,1,2,3,4},点P的坐标为（m,n）,m∈A,n∈B,则点P在直线x＋y＝6上方的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 基本事件总数为25,
点P在直线x＋y＝6上方的个数为6,
∴P＝
.
6．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一个点数的概率都是
记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P（A∪B）等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 事件A∪B为“向上的点数是奇数或向上的点数不超过3”,共包含点数为1,2,3,5四种情况,
所以P（A∪B）＝
＝
故选C.
7．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和．
∴P（B＋D＋E）＝P（B）＋P（D）＋P（E）＝
＋
＋
＝
.
8．四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括（1,3,5）,（1,3,7）,（1,5,7）,（3,5,7）,共四种,其中能构成三角形的有（3,5,7）一种,故概率P＝
.
9．有一种竞猜游戏,游戏规则为：
在20个商标牌中,有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额,其余商标牌的背面是一张笑脸,若翻到笑脸,则不得奖,参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金,如果翻过的牌不能再翻,那么此人第三次翻牌获奖的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意知,第三次翻牌时,还有18个商标牌,其中有奖的商标牌还有3个,故所求概率P＝
＝
.
二、填空题
10．从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________．
答案
解析 基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10个．其中有a的事件的个数为4个,故所求概率为P＝
＝
.
11．某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则他们淋雨的概率为________．
答案
解析 用A,B分别表示下雨和不下雨,用a,b表示帐篷运到和运不到,则所有可能情形为（A,a）,（A,b）,（B,a）,（B,b）,则当（A,b）发生时就会被雨淋到,∴淋雨的概率为P＝
.
三、解答题
12．5件产品中有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,求至多有一件是一等品的概率．
解 将3件一等品编号为1,2,3,将2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法：
（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）．恰有2件一等品的取法有（1,2）,（1,3）,（2,3）,共3种,故恰有2件一等品的概率P2＝
其对立事件是“至多有1件一等品”,所以对立事件的概率P3＝1－P2＝1－
＝
.
13．一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率;
（2）求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率．
解
（1）由题意,得（a,b,c）所有的可能为（1,1,1）,（1,1,2）,（1,1,3）,（1,2,1）,（1,2,2）,（1,2,3）,（1,3,1）,（1,3,2）,（1,3,3）,（2,1,1）,（2,1,2）,（2,1,3）,（2,2,1）,（2,2,2）,（2,2,3）,（2,3,1）,（2,3,2）,（2,3,3）,（3,1,1）,（3,1,2）,（3,1,3）,（3,2,1）,（3,2,2）,（3,2,3）,（3,3,1）,（3,3,2）,（3,3,3）,共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A,
则事件A包括（1,1,2）,（1,2,3）,（2,1,3）,共3种．
所以P（A）＝
＝
.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为
.
（2）设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件
包括（1,1,1）,（2,2,2）,（3,3,3）,共3种．
所以P（B）＝1－P（
）＝1－
＝
.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为
.
四、探究与拓展
14．设集合A＝{0,1,2},B＝{0,1,2},从集合A和B中各随机取一个数,分别记为a,b,从而确定平面上的一个点P（a,b）,设“点P（a,b）落在直线x＋y＝n上”为事件Cn（0≤n≤4,n∈N）．若事件Cn的概率最大,则n的值为________．
答案 2
解析 基本事件为：
（0,0）,（0,1）,（0,2）,（1,0）,（1,1）,（1,2）,（2,0）,（2,1）,（2,2）,共9个．
当n＝0时,落在直线x＋y＝0上的点只有（0,0）;
当n＝1时,落在直线x＋y＝1上的点有（0,1）,（1,0）,
共2个;
当n＝2时,落在直线x＋y＝2上的点只有（1,1）,（2,0）,（0,2）,共3个;
当n＝3时,落在直线x＋y＝3上的点只有（1,2）,（2,1）,共2个;
当n＝4时,落在直线x＋y＝4上的点只有（2,2）．
因此,当事件Cn的概率最大时,n＝2.
15．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张．
（1）写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况;
（2）若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,否则乙胜,你认为此游戏是否公平？
说明你的理由．
解
（1）设（i,j）表示（甲抽到的牌的数字,乙抽到的牌的数字）,则甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2,3）,（2,4）,（2,4′）,（3,2）,（3,4）,（3,4′）,（4,2）,（4,3）,（4,4′）,（4′,2）,（4′,3）,（4′,4）,共12种．
（2）甲抽到红挑3,乙抽到的牌只能是红桃2,红桃4,方片4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
.
（3）由
（1）可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有（3,2）,（4,2）,（4,3）,（4′,2）,（4′,3）,共5种情况,∴甲胜的概率P1＝
乙胜的概率P2＝
.∵
<
∴此游戏不公平．
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