习题集含详解高中数学题库高考专点专练之96待定系数法求数列通项.docx
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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之96待定系数法求数列通项
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之96待定系数法求数列通项
一、选择题（共5小题；共25分）
1.已知数列中，，当时，，则
A.B.C.D.
2.已知数列满足，且，则数列的通项公式为
A.B.C.D.
3.在数列中，，，则的值为
A.B.C.D.
4.已知数列满足：
，，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
5.数列满足，（，且），则“”是“数列成等差数列”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题（共6小题；共30分）
6.已知数列中，，时，，则通项公式 ．
7.在数列中，若，，则该数列的通项公式 ．
8.已知数列，，，则 ， .
9.数列满足，，则 ；若有一个形如的通项公式，其中、、、均为实数，且，，，则此通项公式可以为 （写出一个即可）．
10.如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
将个金属片从号针移到号针最少需要移动的次数记为，则 ．
11.已知数列满足，，前项和为，则满足不等式的最小正整数为 ．
三、解答题（共17小题；共221分）
12.已知数列满足，且．
（1）设，求证是等比数列；
（2）求数列的前项和．
13.在数列中，，，求证是等差数列，并求通项．
14.已知数列的前项和满足．
（1）写出数列的前项；
（2）求数列的通项公式．
15.在数列中，，且．
（1）若，，成等比数列，求的值；
（2）求通项公式的通项公式．
16.已知数列满足，且，为的前项和．
（1）求证：
数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.数列的前项和满足（）.
（1）求数列的通项公式．
（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列?
若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.
18.某种细胞开始时有个，小时以后，分裂成个并死亡个，小时后，分裂成个并死亡个，小时后，分裂成个并死亡个按此规律，小时后存活的细胞有多少个?
19.已知数列中，，．求数列的通项公式及前项和．
20.已知数列满足，（），求．
21.已知数列中，，，求．
22.数列的前项和为，已知恒成立．
（1）求数列的通项公式；
（2），求的前项和．
23.数列中，，为其前项和，当时，有
（1）求证：
数列是等比数列；
（2）设数列的公比为，作数列，使，，求数列的前项和．
24.设数列的前项和为，，已知，，，且当时，．
（1）求的值；
（2）证明：
为等比数列；
（3）求数列的通项公式．
25.已知定义域为的二次函数的最小值为且有，直线被的图象截得的弦长为，数列满足，．
（1）求函数；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的最值及相应的．
26.设数列的前项和为，满足．
（1）当时，
（1）设，若，．求实数，的值，并判定数列是否为等比数列；
（2）若数列是等差数列，求的值；
（2）当时，若数列是等差数列，，且，，求实数的取值范围．
27.已知数列满足：
，，且．
（1）设，求证是等比数列；
（2）（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：
对于任意都有成立．
28.设，为实数，，是方程的两个实根，数列满足，，（）．
（1）证明：
，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．
答案
第一部分
1.C【解析】答案：
C
2.D【解析】提示：
．
3.B4.B【解析】因为，所以，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．所以，，因为数列是单调递增数列，所以，即，即，所以对均成立，所以．
5.A
【解析】当时，，显然数列是首项为，公差为的等差数列，充分性成立；
当数列是等差数列时，设公差为常数，则，若，整理得为常数，因此，数列是常数列，则，所以，解得，故不必要．
第二部分
6.
【解析】由，变形得，令，得，则为以为首项，为公比的等比数列，所以，故．
7.
【解析】在数列中，因为，，所以，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以该数列的通项公式为．
8.，
9.，，
10.
【解析】时，；
时，小盘→号针，大盘→号针，小盘从号针→号针，完成．即；
时，小盘→号针，中盘→号针，小盘从号针→号针（用种方法把中、小两盘移到号针），大盘移到号针；再用种方法把中、小两盘从号针移到号针，完成．则．同理可得，，依此类推，．
11.
【解析】，
设，对比系数，得．
，
是公比为的等比数列．
又，，
，即，
则，，
解得最小正整数的值为．
第三部分
12.
（1）由已知得，
则，
又，则是以为首项、为公比的等比数列
（2）由
（1）得，则
．
13.由
得
所以是以为公差的等差数列．
因为
所以
14.
（1）由，得，解得；
由，解得；
由，解得．
（2）当时，有，
，
，
，
．
所求通项公式为．
验证也满足，
所以．
15.
（1），，．
因为，，成等比数列，
所以，解得或．
（2）因为，
所以，
所以当时，得
设，得，，即
故时，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以当时，，所以
16.
（1）对任意，都有，
所以，
故成等比数列，首项为，公比为，
所以，
即．
（2）因为，
所以．
由不等式，化简得．
设，则．
当时，，为单调递减数列；
当时，，为单调递增数列．
所以在时，取得最大值．
因为对任意恒成立，
所以，即的取值范围是．
17.
（1）因为时，，所以.两式相减得，
所以，又，所以，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，所以.
（2）假设数列中存在三项，，，它们可以构成等差数列．
因为，所以，即，整理得，所以①．因为，均为正整数，所以①式左边为奇数右边为偶数，不可能成立，因此数列中不存在可以构成等差数列的三项．
18.设是经过小时后细胞的存活数，根据题意，，，，由此得，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，令，所以．
即小时以后存活的细胞的个数为.
19.由已知变形为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
故，
即的前项和．
20.对变形，可得．
以上个式子相加，得．
所以．
21.，得．
所以．
对以上式子赋值，得到，，，，．
对以上个式子左、右两边分别相乘，得
即
所以，
所以．
22.
（1）由得
时，，
所以
时，
所以
所以
所以，
所以
所以是以为首项，公比的等比数列
所以
所以．
（2），
.
23.
（1）因为
从而有
②①得
所以即
又因为，，，
所以，，所以
综上，数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由
（1）得，因为，
即，
所以，
所以
24.
（1）当时，，即，
解得．
（2）由，得，即．
，
，
．
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由
（2）知，，
即．
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
即，
数列的通项公式为．
25.
（1）设，则两图象交点为，，因为
所以，．
（2）因为
所以
因为，所以
所以
数列是首项为，公比为的等比数列，所以
所以．
（3）
令，，则
因为，所以的值分别为，，，，经比较距最近，所以当时，有最小值是，当时，有最大值是．
26.
（1）因为，所以，
令，可得，即，
令，可得，即，所以，
所以，
当时，所以，
，得，
所以，即，
又，，所以，
所以数列是等比数列；
因为数列是等差数列，设，，
因为，所以，
所以，所以．
（2）当时，，因为数列是等差数列，，
所以，，
所以，所以，所以，
因为，
所以，
所以，
即，所以，恒成立，
令，因为，
当时，，所以在上是增函数，而，所以，
所以．
27.
（1）由已知得，，
则，
又，则是以为首项、为公比的等比数列．
（2）（i）解法1：
由（I）得，即，
则，，
相减得，，
则，，，，
相加得，
则，
当时上式也成立
由得，
故．
解法2：
由
得，
则，，，
相加得．
解法3：
由得，
设，
则，
可得，
又，
故，
则．
（ii）证法1：
易证．
则
易证，
则
故．
证法2：
故
证法3：
易证.
则
故．
28.
（1）由求根公式，不妨设，得，．所以
（2）设，则，由，得消去，得
所以是方程的根，由题意可知，，．
①当时，此时方程组的解记为或所以
即、分别是公比为、的等比数列．由等比数列性质可得
两式相减，得
∵，，
∴，．
∴，．
∴，
∴，
∴．
②当时，即方程有重根，
∴，即，得，，不妨设，由①可知
∵，
∴．
∴，等式两边同时除以，得，即
∴数列是以为公差的等差数列，所以
∴．
综上所述，
（3）把，代入，得，解得．
∴．故
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