高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案.docx

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高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案

高级宏观经济学—第四版—中文—罗默课后题答案

第2章无限期模型与世代交叠模型

2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数心F（K/厶），丫“（K,乩），或者采用紧凑形式心仙W。

假设/（*）>°，厂（・）<0。

假设所有厂商都能以工资刪雇用劳动，以成本2*租赁资本，并且所有厂商的力值都相同。

（a）考虑厂商生产F单位产出的成本最小化问题。

证明使成本最小化的&值唯一确定并独立于乙并由此证明所有厂商都选择相同的&值。

（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。

证明：

（a）题目的要厂商选择资本《和有效劳动皿以最小化成本⑷朮厶+厂心同时厂商受到生产函数y=ALf（k）的约束。

这是一个典型的最优化问题。

minwAL+rK

s.t.Y=ALf（k）

构造拉格朗日函数：

F（KtAL,X）=wAL+rK+X\Y-ALf（k）]

求一阶导数：

dFr..

—=r-\[ALf\K/AL）（1/AL）]=O

（）K

將=w_X[KK/AL）-ALf\K/AL）^ALy）]=0

得到：

r=A[ALf\K/AL'）il/AL）]=A/'（Ar）

w=X[f（K/AL）-A"'（K/血）（“（血）弓]=X[/（k）-kf\k）]

r_f'W

Wfg-kf（k）

上式潜在地决定了最佳资本公的选择。

很明显，&的选择独立于人

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。

（b）因为每个厂商拥有同样的&和儿则/V个成本最小化厂商的总产量为:

L=AfwYL,=ALfW

NNN

2?

f=1

0为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的力并且选择相同数量的乩

斤的决定独立于卩的选择。

因此，如果单一厂商拥有丫的劳动人数，则它也会生产Y=ALfW的产量。

这恰好是川个厂商成本最小化的总产量。

2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。

设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。

令P】和只2分别表示消费品在这两期中的价格，肘表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：

P15+P2C2=“

（a）巳知P】和®和伊，则此人效用最大化的5和5是多少？

（b）两期消费之间的替代弹性为"［帥2）/（昵）］卩（5/勺）/3帥2）］,或-矶叫（：

］疋2）/兀兀（卩1阳2）。

证明，若效用函数为（2.43）式，長则5与5之间的替代弹性为1/°。

答：

（a）这是一个效用最大化的优化问题。

maxU=

厂1-£z*l-9

C11C2

1

1-01+P1-0

stP&]+P2C2-W

（1）

（2）

求解约束条件:

c2=w/p2^cip1/p2

（3）

将方程（3）代入

（1）中，可得：

r】性52广（4）

1-91+“1-o

这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。

在方程（4）两

边对5求一阶条件可得：

°ug=CT+暑C（-畅2）=0

解得：

（5）

G=（1+Q严帥J%

将方程（5）代入（3）,则有：

c2=W/P2~a+p）1/0（P2/P1）1/（）C2P1/P2

解得：

（6）

C

2_1+（1+Q严（％]）（-M

将方程（6）代入（5）中，则有：

（7）

（i+。

）"（呦）"（％2）

仃=i+（i+小”吓訂尹m

（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：

（8）

5©=（l+Q）"（P2/Pi）l〃

对方程（8）两边取对数可得：

（9）

加（G/G）=（1/“）饥（1+Q）+（1/〃）加（P2/PJ

则消费的跨期替代弹性为：

_c（G/G）P2/Pi_0饥（G/q）_1

o（P2/P]）G/q伽（卩2//\）0

因此，°越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3（a）假设事先知道在某一时刻"，政府会没收每个家庭当时所拥有财

富的一半。

那么，消费是否会在时刻5发生突然变化？

为什么？

（如果会的话，请说明时刻5前后消费之间的关系。

）

（b）假设事先知道，在某一时刻"，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。

那么，消费是否会在时刻5发生突然变化？

为什么？

（如果会，请说明时刻S前后消费之间的关系。

）

答：

（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期△t,从£）到

（5+£）。

考虑家庭在（5一£）时期减少每单位有效劳动的消费为Ac。

然后他在（5+£）投资并消费这一部分财富。

如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本前）△',在（"+£）会有一收益尹（―6△，△c,财富的回报率为r（t）,不过，此刻有一半的财富会被没收。

此时的效用收益为（l/2）“（c后）訐（'）7・""△C。

总乙对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：

讥C前）△C二%（C后）dm△r△c

在△cH°时，有下式：

.1.

"（C前）二产C后）

因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。

征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。

（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。

家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。

2.4设方程（2.1）中的瞬时效用函数班G为加瓯C）。

考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。

请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、厂（上）以及效用函数各参数的函数。

答:

2.1

人；0广叫©帥W竽+人；0广®。

罟必2.6

本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。

页脚

（1）

max〃=J二-"llnC（t）^dt

S・t・麗0广盹）C（t）牌t=竽+J二0宀（5（0吩）裁t

（2）令“竽+J二小认M（磅細

建立拉格朗日方程:

oo

e

•=o

L（t）

+XW/

求一阶条件：

dC（t）i7

皿）

抵消百项得:

厂“叱⑴"=氏"°）

（3）

（4）

可以推出:

C（t）=e-pt

将其代入预算约束方程，得:

（5）

将L（t）=enrL（O）代入上式，得:

厂1罟j二0厂3_必必=“

（6）

只要P-n>0,则积分项收敛，为l/（P-n）,则:

（7）

将方程（7）代入（4）：

C（t）=pt

為（P■n）]

（8）

因此，初始消费为:

（9）

个人的初始财富为厶（。

）加，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。

（P-n）为个人的财富边际消费倾向。

可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡

增长路径上是独立于利率的。

对于折现率P而言，P越大，家庭越厌恶风险，越

会选择多消费。

2.5设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。

假设实际利率不变，令伊表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值［（2.6）的右端］。

已知二罗和效用函数中的各参数，求C的效用最大化路径。

〃=J二°盯叫（C（£））罟dt2.1

u（C（Q）=需2.2

答：

本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：

max〃=『二0广"S（C（t））營r

（1）

（2）

伊代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率/是常数。

建立拉格朗日方程如下：

求一阶条件，可得:

0L

dC（i）~

o£（0

=0

e~ptC（t）~°=Ae-rt（3）

两边对时间t求导，可得：

e~pt[-oC（t）-°pe-ptC（t）_0+rXe_rt=0

得到下面的方程：

-ptC（ty6-pe~ptc^~0+rAe~rt=O（4）

将方程（3）代入（4）,可得：

-9-Xe~rt・pXe~rt+rXe_rt=0

C（t）

rr£（0

抵消入£然后求消费的增长率丽，可得：

（5）

C（巧_r-°

由于利率/是常数，所以消费的增长率为常数。

如果r>P,则市场利率超

过贴现率，则消费会增加；反之，如果厂VP,则市场利率小于贴现率，则消费

会减少。

如果r>P,则°决定了消费增长的幅度。

°值越低，也就是替代弹性

越高，越髙，即消费增长的越快。

重写方程（5）,得:

（6）

dlnC（t）r-p

~~dt~=8

对方程（6）积分，积分区间是从时间了二0到时间r=t,可得:

加C（%C（0）=宁r|\

上式可以简化为:

/nC（t）/C（O）=（r-p）/Ot

（7）

对方程（7）两边取指数，可得：

C（t）/C（0）=£[（r「P）/°K,整理得:

C（t）=C（0）e[（r-P）/""

（8）

下面求解初始消费，将方程（8）代入

（2）,可得:

将L（t）=emL（O）代入上式，可得:

“0廿（0）『二詳-[Q7+〃必="

（9）

只要[P

_厂+O（r-n）]/O>0,从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得:

f8-[p-r+心7加％=

JC=0p-r+W-n）

（10）

将方程

（10）代入（9）中，求解"0）：

W、”W）c（°）

将方程（id代入（8）,求解ca）:

C（f）爲[字+（—）]（12）

上式便是C的效用最大化路径。

2.6生产力增长减速与储蓄。

设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞一卡斯一库普曼期模型，假设g永久性下降。

（a）"=°曲线会如何变化（如果有形响）？

（b）c=°曲线会如何变化（如果有影响）？

（c）当g下降时，c如何变化？

（d）用一个式子表示g的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。

能否判断此表达式的正负？

（e）设生产函数長柯布一道格拉斯函数=请用P、从&、0和a重新表示（d）中的结果。

（提示：

利用等式fd=p+°9。

）

答：

（a）关于资本的欧拉方程为：

k（t）=«/c（t））-c（t）-（n+

（1）

该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

在平衡增长路径上，“二0,由此可以推出：

c"（k）-（n+g）k。

在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费c上升以保持方程的均衡。

因而在图形上k=0曲线向上移动。

同时，保持斤不变，g永久性地下降会导致持平投资下降,这样就会有更多的资源用于消费。

由于持平投资⑺+0）下降的幅度更大，因而在更高的斤水平上，〃二°向上移动得更大。

图2-1是该模型的图示。

（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：

-p-^9⑵

该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

在平衡增长路径上，要求c二0,即f'W=P+00,在g永久性地下降时，为保持E二0,才住）必须下降。

由于/'（/<）<0,因而下降必然导致R上升。

因此，°二°必须上升，在图形上表现为c二°向右移动，如图2-1所示。

（O在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。

它仍然保持在平衡增长路径以处。

与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。

为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费C必将发生变化。

不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费C是上升还是下降。

存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费C甚至可能保持不变。

因此，c和&逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。

（C1）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：

[fw—c*]〃伙

因为斤保持不变，即〃二°,位于一条均衡的增长路径上，则由方程

（1）可知：

fg-c*=O+9）/r

由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：

s=[（n+g）k•]/f（k*）

对方程（3）两边关于g求导数，可得：

ds__f（k*）[（n+g）dk伽+L]-（n+g）k，f（k*）d/c*/dg

乔[砒）]2

可以再简化为：

ds_5+丁0“）]（就"/0g）+fX）T

爾_imp

由于疋由f（k）=p+切决定，对该式两边关于g求导数，f'（k"）（b/g）=0,从而求出上*/g为:

—"/厂理）<0

将方程（5）代入（4）中，可得：

ds_（n+g）[fX）-k・f©）]0+f理片广X）

（3）

（4）

可得:

（5）

（6）

在方程（6）中，分母[r（^4）]2/'（^3为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。

因此，无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使S上升还是下降。

（e）将柯布一道格拉斯生产函数f（k）=k“,f（k）=ak"7和f"（k）=a（a-l）ka~2代入方程（6）中，可得：

ds（n+^）[/c*Q-/c+ak*Q_1]0+/<*Q/c+a（a-l）/c*a_2

乔k*ak*ua（a-l）/c*u~2

简化为：

_（n+^）/c4Q（1-a）e-（1-a）/c*aa/c*G_1

矿[-（1-u）/

从上式可以推出：

竺__匕（n+9）0-（P+09）

（p+etg）2

最终有下面的结果：

ds（n0-p）（p-n0）

呃一（p+etg）2_（p+访

2.7说明下列变化如何影响图2・5中的c二°线和〃二°线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和&值。

（a）。

上升

（b）生产函数向下移动。

（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。

图2-2鞍点路径

答：

（a）关于c与斤的欧拉方程为：

血）_fgt））-p-ffg了］、

而孑

/c（t）=/（/c（t））-c（t）-（n+g）k（t）

（2）

6的上升即消费的跨期替代弹性下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。

这种情况使家庭更偏好于即期消费。

由于°没有出现在资本积累方程

（2）中，因而资本积累方程不受°的上升的影响。

在消费的动态方程中，在平衡增长路径上&二0,从而f'W=P-由于°的上升，因而必须上升，又因为所以为使C二0,斤必须下降。

此时［二°向左移动，消费移动到新的鞍点路径/点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点此时和“心低于原先的值。

如图2-3所示。

图2-3°上升的影响

（b）由于生产函数的向下移动，因而/'（◎和都变小了，如图2-4所示。

图2-4生产函数向下移动

根据资本的欧拉方程：

-c（t）-（n+g）k（t）,在平衡增长路径上k=0,因而有c=（n+g）k。

由于f（k）变小，因此R=°这条曲线会向下移动，如图2-5所示。

孙）_f（仪））-p-

根据消费的欧拉方程：

而召,在平衡增长路径上&二°,从而

f'w=P+吒，由于变小，为保持2二0,必须使&下降，从而使保持不变。

因此&二°向左移动，如图2-5所示。

经济最终将收敛到新的均衡点点，此刻和低于原先的值。

图2・5生产函数向下移动的影响

（C）由于折旧率5由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：

k（t）=/'（*（◎）-c（t）-⑺+9+^）k（t）（3）

由于折旧率/由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动,如图2-6所示。

这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。

由于持平投资变大，因此"二°会向下移动，如图2-7所示。

图2-7折旧率由0变为正数的影响

I

资本的回报也下降为：

fw■6,从而消费的欧拉方程变为：

在平衡增长路径上，L二o要求f（k）=8+P+00。

与折旧率§由o变为正数之前相比较，f（k）必须变大,从而&必须变小。

由于斤必须变小，这便要求。

二°曲线向左移动，如图2-7所示。

经济最终将收敛到新的均衡点点，此刻％w和匕i曲低于原先的值。

2.8请在折旧率为正的情形下推导类似于（2.39）的表达式。

答：

教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为:

2：

1「（。

+°9）[p+0g-a（n+^）]j1;2

当考虑到折旧率§>0的情况时，消费和资本的欧拉方程变为:

c（t）-i>-p-OQ

（1）

k{t）=/（/c（t））-c（t）-（n+“+

（2）

对方程

（1）和

（2）分别在c=和上二L处进行一阶泰勒展开，可得:

（4）

定^c=c-c4和k=,因为C*和L为常数，所以c=c且〃将（3）

和（4）重写为:

对方程

（1）和

（2）计算偏导数:

de

dkbgp=T~

^\bgp

6_p_ffg

（5）

（6）

（7）

（8）

專仏=f（b）-®+9+6（9）

^\bgp=~1（10）

将方程（7）和（8）代入（5）,将方程（9）和（10）代入（6）,可得：

C=^-k（11）

k=[f\k"）_@+g+一C

=[（〃+Q+Og）一（"+9+S）]k-c

=^k-c（12）

方程（12）的第二步用到了/（fet）=（6+P+°9）,第三步用到了定义

0=P0）9。

对方程（11）除以2以求$的增长率，对方程（12）除以&以求&的增长率:

（13）

（14）

可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存

在对增长率没有影响。

因此，经济在向平衡增长路径移动时的％和*的不变增长率

〃与教材中的结果应该一致。

C

（15）

_dr

=—,求解可

令卩=；方程（13）可以推出：

由方程（15）,令（13）和（14）相等，可得:

得：

B±[32-4＜（/c*）c70]1/2

M二2

如果卩为正，则经济会偏离稳定点，所以》必为负:

P-[p2-4/'（k*）c7e]1/2

现在考虑柯布一道格拉斯生产函数代k）=k“，分别求其一阶导和二阶导:

f（/

（16）

（17）

/（Ar*）=a/T一1=a（a_]）L一2

/♦°、221♦2□—2

将方程（16）两边同时平方：

（r+5）=a/c,将其代入（17）式:

茁）少+从"）（°-1）（r，+8）2

♦（1ak

G心）

定义平衡增长路径上的储蓄率为"，则平衡增长路径上的消费为:

（18）

将方程（17）和（18）代入（15）：

9（a-1）（厂*+5）2

P2—4——（1一s（/T）

化简为:

—护+岁磐（厂+<）2（17・）

=2

（19）

在平衡增长路径上，°=°意味着厂=P+即:

厂°+/=q+8g+（5

（20）

可以推出:

（21）

（22）

另外，实际投资等于持平投资：

sJ（L）=（n+g+

4（n+g+ff）k*a（n+g+

_f（/r）_k…'

上步用到了八+5=^k4a~\由（21）可以推岀:

r*+6・a（n+g+/）]_S=

r-+

将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：

fi一++"0+§“（n+0+6）］

U=2

上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将

a=1/3,p=4%n=2%=1%,0=1,=3%代入上式，得到

1="8-8%）要快于不存在折旧时的调整速度。

2.9拉姆塞模型的解析解［来自于史密斯（Smith,2006）。

］考虑生产函数柯布-道格拉斯函数的拉姆塞模型，y（o=1的情形，假设相对风险规避系数°与资本份额a相等。

（a）平衡增长路径上的£值（即住*）为多少？

（b）平衡增长路径上的c值（即&*）为多少？

（c）令呗）表示资本产出比班£）表示消费资本比请用z、X和模型参数表示z（t）和兀（£）/兀0）。

（d）暂且猜測才在鞍点路径上是常数，根据这一猜想：

（i）给定初始值％。

），求Z的路径。

（ii）给定初始值做。

）,求y的路径。

经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度是否是常数？

（e）上述猜测的解是否满足c与k的运动方程（2.24）与（2.25）?

答：

（a）已知

从正文可知，在c=0时，存在f（k）=P+00。

利用方程

（1）计算得到

（b）与⑹题类似，根据正文可知，在k=0时，存在c*+利用方程

（1）计算得到：

（C）设Z（t）=和XO=c（t）/fc（Oo将方程（!

）代入z（t）的定义得

将方程（4）代入只£）的定义，得到:

（5）

ck-a=xz

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

使用方程（4）,考虑z（t）=的时间导数，得到：

z=（1-a*ak（6）

从正文.的方程（2.25）知道，k=ka-c-（n^-方程（6）可表示成：

z=（1-[ka-c-（n+g）k]

为简化上式，将方程（4）和方程（5）代入上式，得到：

Z=（1-）[1-XZ-（71+9）z]

现在，对数化XO=c（tWO,考虑其时间导数，得到：

•••

xck

—=——

xck

根据正文的方程（2.24）和方程（2.25）,上式可表示成：

xQk——P_Og-k+c+（?

i+g）k

X=L—+k

将方程（4）和方程（5）代入上式，再利用a=〃得到：

一=兀+72—pja

X

（d）（i）根据％为常量的假设，方程（8）可表示成z=（1-a）[l-（n+g+x*）z]

为确定z的变化路径，考虑方程（12）方程（12）为线性非齐次常微分方程。

该方程的