分式方程竞赛题.docx
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分式方程竞赛题
第一讲分式方程（组）的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方
法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大（或缩小）未知
数的取值范围，故必须验根．
例1解方程
111
++=0222
x11x8x2x8x13x8
2＋2x－8，那么原方程为
解令y＝x
111
++=0
y9yyy15x
去分母得
y（y－15x）＋（y＋9x）（y－15x）＋y（y＋9x）＝0，
22
y
－4xy－45x＝0，
（y＋5x）（y－9x）＝0，
所以y＝9x或y＝－5x．
22
由y＝9x得x＋2x－8＝9x，即x－7x－8＝0，所以x1＝－1，x2＝8；
22
由y＝－5x，得x＋2x－8＝－5x，即x＋7x－8＝0，所以x3＝－8，x4＝1．
经检验，它们都是原方程的根．
例2解方程
2
72x72
x4x72x72
＋－18＝0＋2
2
x1x4xx4x
－18＝0
解设y＝
24
xx
x1
，则原方程可化为y＋
72
y
－18＝0
2－18y＋72＝0，y
所以y1＝6或y2＝12．
当y＝6时，
2
x4x
x1
=6
22
，x＋4x＝6x－6，故x－2x＋6＝0，此方程无实数根．
当y＝12时，
24
xx
x1
=12
，x2＋4x＝12x－12，故x2－8x＋12＝0,故x2－8x＋12＝0，
2＋4x＝12x－12，故x2－8x＋12＝0,故x2－8x＋12＝0，
所以x1＝2或x2＝6．
经检验，x1＝2，x2＝6是原方程的实数根．
例3解方程
2
x63x10x42x1
2
x1x3x2x2
0
分析与解我们注意到：
各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分
式．原方程可变为
5x23
1+（3）20
2
x1x3x2x2
，
整理得
53x2
2
x1x2x3x2
0
，
去分母、整理得
x＋9＝0，x＝－9．
经检验知，x＝－9是原方程的根．
例4解方程
x1x6x2x5
+=＋．
x2x7x3x6
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，
这样原方程即可化简．原方程化为
1111
1111
x2x7x3x6
，
1111
x6x7x2x3
即
11
=
（x6）（x7）（x2）（x3）
，
所以
（x＋6）（x＋7）＝（x＋2）（x＋3）．
解得x＝－
9
2
．
经检验x＝－
9
2
是原方程的根．
例5解方程
11111
+＋＋=．
x（x1）x（x1）（x9）（x10）12
分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆
成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
11111111
x1xxx1x9x1012
，
整理得
1111
x1x1012
去分母得
2
x
＋9x－22＝0，
解得x1＝2，x2＝－11．
经检验知，x1＝2，x2＝－11是原方程的根．
例6解方程
22
2x3x22x5x3
=
22
2x3x22x5x3
分析与解分式方程如比利式
a
b
＝
c
d
，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用
合比定理化简．原方程变形为
2222
（2x3x2）（2x3x2）（2x5x3）（2x5x3）
=
22
2x3x22x5x3
，
22
4x4x
=
22
2x3x22x5x3
，
所以
22
－3x－2＝2x＋5x－3．
x＝0或2x
解得x＝0或x＝
1
8
．
经检验，x＝0或x＝
1
8
都是原方程的根．
例7解方程
22
3x4x1x4x1
=
22
3x4x1x4x1
分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化
简．原方程变形为
2222
（3x4x1）（3x4x1）（x4x1）（x4x1）
=
2222
（3x4x1）（3x4x1）（x4x1）（x4x1）
即
22
6x22x2
=
8x8x
．
当x≠0时，解得x＝±1．
经检验，x＝±1是原方程的根，且x＝0也是原方程的根．
说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．
像
11
xa
xa
这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根．显然a≠1时，x1＝a
与x2＝
1
a
就是所求的根．例如，方程
x
11
3
x3
，即
x
11
3
x3
，所以x1＝3，x2＝
1
3
．
例8解方程
22
xx12xx219
+=22
x1xx16
解将原方程变形为
22
xx1x123
+=+
22
x1xx132
，
设
y
2
xx
2
x
1
1
，则原方程变为
3
2
y
123
y32
．
23
解得y1，y2．
32
当
2
xx
2
x
12
=
13
时，
35
x；
2
当
2
xx
2
x
13
=
12
时，x＝1；
经检验x＝1及x＝
35
2
均是原方程的根．
例9解关于x的方程
axbx
+=2
bxax
1
2
．
解设y＝
ax
bx
，则原方程变为
y
11
2
y2
．
所以y1＝2或y2＝
1
2
．
ax
由=2
bx
，得x1＝a－2b；由
ax
bx
=
1
2
，得x2＝b－2a．
将x1＝a－2b或x2＝b－2a代入分母b＋x，得a－b或2（b－a），所以，当a≠b时，x1＝a－2b及x2＝b
－2a都是原方程的根．当a＝b时，原方程无解．
例10如果方程
xx22xa
++=0
x2xx（xa）
只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．
分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得
2
－2x＋（a＋4）＝0．①2x
原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：
（1）方程①有两个相等的实数根，即
△＝4－4·2（a＋4）＝0．
解得a＝－7
2
．此时方程①的两个相等的根是x1＝x2＝
1
2
．
（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．
（i）当x＝0时，代入①式得a＋4＝0，即a＝－4．这时方程①的另一个根是x＝1（因为2x
2－2x＝0，
x（x－1）＝0，x1＝0或x2＝1．而x1＝0是增根）．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
（ii）当x＝2时，代入①式，得
2×4－2×2＋（a＋4）＝0，
2
即a＝－8．这时方程①的另一个根是x＝－1（因为2x－2x－4＝0．（x－2）（x＋1）＝0，所以x1＝2（增根），
x2＝－1）．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是
－
7
2
，－4，－8，其对应的原方程的根一次为
1
2
，1，－1
练习一
1．填空：
（1）方程
x
x
11
10
82
的一个跟是10，则另一个跟是__________．
（2）如果方程
21
xbxm
=
axcm1
有等值异号的根，那么m＝____________．
（3）如果关于x的方程
1k5k1
+=
222
xxxxx1
有增根x＝1，则k＝____．
（4）方程
x1x110
+=
x1x13
的根是________．
2．解方程
4x5x3
+0
3232
x2xxx2x5x2
．
3．解方程
33
x2x2
+=2
22
xx1xx1
x
．
4．解方程
x2x332
+=+
32x2x3
．
5．解方程
2
x2x2x4
22
5（）20（）48（）
2
x1x1x1
．
6．解方程
xx9x1x8
+=+
x2x7x1x6
．
7．m是什么数值时，方程
36xm
+=
xx1x（x1）
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