求极限的方法及例题总结.docx
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求极限的方法及例题总结
1．定义：
说明：
（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得
到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：
；
（2）在后面求极限时，
（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限
这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则
定理1已知，都存在，极限值分别为A,B,则下面极限都存在,
且有
（1）
（2）
（3）
说明：
极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常
情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
解：
原式=。
注：
本题也可以用xx比达法则。
例2
解：
原式=。
例3
解：
原式。
3．两个重要极限
还应能够熟练运用
说明：
不仅要能够运用这两个重要极限本身，
它们的变形形式，
例如：
，，；等等。
利用两个重要极限求极限
例5
解：
原式=。
注：
本题也可以用xx比达法则。
例6
解：
原式=。
例7
解：
原式=。
4．等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）
定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
说明：
当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价
关系成立，例如：
当时，~;~。
定理4如果函数都是时的无穷小，且〜，〜，则当存在时，也
存在且等于，即=。
利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9
解：
~，~，
原式=。
例10
解：
原式=。
注：
下面的解法是错误的：
原式=。
正如下面例题解法错误一样：
例11
解：
，
所以，原式=。
（最后一步用到定理2）
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例1.2.
5．xx比达法则
定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：
（1）和的极限都是0或都是无穷大；
（2）和都可导，且的导数不为0；
（3）存在（或是无穷大）；
说明：
定理5称为xx比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，xx比达法则就不能应用。
特别要注意条件
（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件
（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，xx比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
利用xx比达法则求极限说明：
当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要
极限、等价无穷小代换等方法。
同时，xx比达法则还可以连续使用。
例12（例4）
解：
原式=。
（最后一步用到了重要极限）
例13
解：
原式=。
例14
解：
原式==。
（连续用xx比达法则，最后用重要极限）
例15
解：
sinx-xcosxcosx-（cosx-xsinx）原式二lim2lim厂
J°xx73x
xsinx1
=lim
x>03x3
例18
解：
错误解法：
原式二
正确解法:
应该注意，xx比达法则并不是总可以用，如下例
例19
解：
易见：
该极限是“”型，但用xx比达法则后得到：
，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：
原式二（分子、分母同时除以x）
（利用定理1和定理2）
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6．连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。
利用函数的连续性（定理6）求极限
例4
解：
因为是函数的一个连续点，
所以原式=。
7．极限存在准则
定理7（准则1）单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学xx讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1.设，求极限。
定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：
（1）
（2），
则极限一定存在，且极限值也是a，即。
10.夹逼定理
利用极限存在准则求极限
例20已知，求
解：
易证：
数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设。
对已知的递推公式两边求极限，得：
，解得：
或（不合题意，舍去）
所以。
例21
解：
易见：
因为，
9.xx法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，xx法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。
11.xx展开法
12.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。
8.利用复合函数求极限
十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是：
若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。
例
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常
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为幂级数，有时为Fourier级数）。
使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例求
7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小
于1）
8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时
一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化
11还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！
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x的x次方快于x！
快于指数函数快于幂
数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!
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当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了
12换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，
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但是换元会夹杂其中16直接使用求导数的定义来求极限，
（一般都是x趋近于0时候，在分子xxf（x加减麽个值）加减
f（x）的形式，看见了有特别注意）
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