初二辅助线专题1.docx

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初二辅助线专题1

辅助线专题

一、找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

二、三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

精解名题

一、截长补短法

截长补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

1、如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：

AC=AE+CD．

方法提炼：

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

截长：

在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：

将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

二、中线倍长法

若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

2、已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）．

3、如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

方法提炼：

题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

三、作平行线法

1）当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．

4、如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：

DF=EF．

2）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB+BP=BQ+AQ。

解题后的思考：

（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。

（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：

①如图

（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

②如图（3），过O作DE//BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO从而得以解决。

③如图（4）,过P作PD//BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC从而得以解决。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

方法提炼：

通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。

而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。

从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

四、补全图形法

在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

6、如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：

BD=2CE。

方法提炼：

等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

7、如图4，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．

五、利用角的平分线对称构造全等

角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．该方法利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

8、如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：

AD=CD．

9、已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。

求证：

∠B+∠ADC=180°。

方法提炼：

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

方法指导

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角形。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

巩固练习

1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。

求证：

∠BAD+∠BCD=180°。

2、已知，如图2，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD。

求证：

∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知，如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：

AB=AC+CD。

4、已知，如图4，D、E为△ABC内两点，求证：

AB+AC>BD+DE+CE

5、如图5，AD为△ABC的中线，求证：

AB+AC>2AD

6、如图6所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.

求证：

AC=BF