第五章 曲线运动 章末总结 章末检测附有详细答案.docx

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第五章曲线运动章末总结章末检测附有详细答案

章末总结

要点一小船渡河和牵连速度问题的分析

1．小船渡河过程中，随水漂流和划行这两个分运动互不干扰，各自独立而且具有等时性．因此只要分运动时间最短，则合运动时间最短，即船头垂直指向对岸渡河时间最短，tmin＝.航程最短，则要求合位移最小．当v水v船时，船不能垂直到达河岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，xmin＝d.

2．跨过定滑轮拉绳（或绳拉物体）运动的速度分解

物体运动的速度为合速度v，物体速度v在沿绳方向的分速度v1就是使绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分速度v2就是使绳子摆动的速度，它一定和v1垂直．

要点二抛体运动的规律及应用

1．平抛运动的研究方法及其规律

（1）研究方法：

根据运动的合成与分解，可将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来进行研究．

（2）平抛运动规律

①

图5－1

位移：

若以初速度v0水平抛出，以抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图5－1所示，则经时间t的位移为

时间t内物体的位

移为

s＝＝

tanθ＝＝

②速度

某点的瞬时速度为v＝＝

tanα＝＝

③平抛运动轨迹是抛物线

由（a）（b）两式消去t得y＝x2

④飞行时间

由（b）式得t＝＝

物体做平抛运动的飞行时间t仅由抛出点的高度h决定，与抛出时的初速度v0无关．

⑤水平位移x＝v0t＝v0

物体做平抛运动的水平位移x由v0和高度h共同决定．在h一定时，x仅由v0决定．

⑥速度变化量：

Δv＝gΔt.

图5－2

平抛运动的物体在任意一段时间内的速度变化量方向竖直向下，其中v0、Δv、v三个矢量经过平移可构成直角三角形，如图5－2所示．[来源:

学科网ZXXK]

⑦平抛运动速度偏向角与位移偏向角的关系

位移偏

向角θ：

tanθ＝＝

速度偏向角α：

tanα＝＝

所以tanα＝2tanθ

2．抛体运动规律的比较

内容运动形式项目

平抛运动

斜抛运动

定义

将物体以一定的水平初速度抛出，物体只在重力作用下的运动

将物体以倾斜的初速度抛出，物体只在重力作用下的运动

分运动

及规律

（1）水平方向：

物体做匀速直线运动，vx＝v0，x＝v0t

（2）竖直方向：

初速度为零，物体做自由落体运动

vy＝gt，y＝

v合＝

t

anα＝＝

位移l＝

tanθ＝＝

（1）水平方向：

物体做匀速直线运动

vx＝v0cosα

x＝v0tcosα

（2）竖直方向：

初速度不为零，物体做匀变速直线运动

vy＝v0sinα±gt

y＝v0tsinα±

v合＝

运动轨迹

由x＝v0t，y＝

消去t得y＝，因g和v0为常数，所以轨迹为抛物线

轨迹也是抛物线

要点三圆周运动问题的分析

1．圆周运动的运动学分析

（1）正确理解描述圆周运动的快慢的物理量及其相互关系

线速度、角速度、周期和转速都可描述圆周运动的快慢，但意义不同．线速度描述做圆周运动的物体沿圆周运动的快慢．若比较两物体沿圆周运动的快慢，则只看线速度大小即可；而角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，由ω＝＝2πn可知，ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．三个物理量知其中一个，另两个也就成为已知量．

（2）对公式v＝rω及an＝＝rω2的理解

①由v＝rω知，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．

②由an＝＝rω2知，在v一

定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．

2．正交分解法处理圆周运动的受力

解决圆周运动问题的关键是正确地对物体进行受力分析，搞清向心力来源．

由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每一个瞬间建立坐标系．

（1）匀速圆周运动：

采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点），相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．

说明　若做匀速圆周运动的物体仅受两个力的作用，也可用直接合成法确定向心力，合力一定指向圆心．

（2）变速圆周运动：

采用正交分解法，有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量an（指向圆心）即为向心加速度，其大小为an＝＝rω2；加速度沿轨迹切线方向的分量at即为切向加速度．

合力沿半径方向的分量Fn（或所有外力沿半径方向分力的矢量和）提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为：

Fn＝m＝mω2r.合力沿切线方向的分力Ft（或所有外力沿切线方向的分力的矢量和）使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的大小，其大小为Ft＝mat.

3．处理匀速圆周运动问题的基本步骤

（1）确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象．

（2）确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径．

（3）对研究对象进行受力分析，作出受力示意图．

（4）运用平行四边形定则或正交分解法求出向心力Fn.

（5）根据向心力Fn＝m＝mω2r＝mr，选择其中一种公式列方程求解．

4．临界问题的分析

（1）当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．

（2）解决临界问题的常用方法

①极限法：

把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现

象显露，达到尽快求解的目的．

②假设法：

有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题．

（3）关于临界问题总是出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典

型的变速圆周运动．

在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力．

①

图5－3

用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动（如图5－3所示）

此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝，得临界速度v0＝.当物体的速度大于v0时，才能经过最高点．

②用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动

此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动.

一、速度的分解

例1

如图5－4所示，

图5－4

在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

解析　绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，

所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按右图所示进行分解．

其中v＝v物

cosθ，使绳子收缩．

v⊥＝v物sinθ，使绳子绕定滑轮上的A点转动．

所以v物＝.

答案　

方法总结

分析绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度联系，关键是找准合运动与分运动.

二、平抛运动的规律应用

例2

小球从空中以某一初速度水平抛出，落地前1s时刻，速度方向与水平方向夹角为30°

，落地时速度方向与水平方向夹角为60°，g取10m/s2.求小球在空中的运动时间及抛出的初速度．

解析　如右图所示，

作出平抛运动轨迹上该两时刻的速度分解图，设小球初速度为v0，其在空中的运动时间为t，则由图示直角三角形关系得tan

30°＝，tan60°＝，将有关数字代入即可求得t＝1.5s，v0＝5m/s.

答案　1.5s　5m/s

方法总结

处理平抛运动的基本方法就是化曲为直，要画出运动的示意图，依据平行四边形定则和几何关系求解.

三、圆周运动的临界问题

例3

在光滑平面中，

图5－5

有一转动轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，绳的另一端固定一质量为m的小球B，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图5－5所示，要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是（　　）

A.　　B．π　　C.　　D．2π

解析　如右图所示，

以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面支持力FN、绳子拉力F.在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为，而R＝htanθ，得

Fcosθ＋FN＝mg

Fsinθ＝＝mω2R＝m4π2n2R＝m4π2n2htanθ

当球即将离开水平面时，FN＝0，转速n有最大值．

FN＝mg－m

4π2n2h＝0

n＝，故选A.

答案　A

方法总结

1．分析圆周运动的思路，即动力学思路，关键是受力分析，明确F向来源，应用F向＝m等公式求解．

2．分析临界问题一般是令某量达到极值，寻找临界条件，以临界条件作为突破口.

章末检测

（时间：

90分钟，满分：

100分）

一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分）

1．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（　　）

A．速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变

B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变

C．速度可以不变，加速度一定不断地改变

D．速度可以不变，加速度也可以不变[来源:

学+科+网]

答案　B

解析　曲线运动的速度方向一定发生改变，所以速度一定在不断改变，但是其加速度可以保持不变．

2．一条小船的静水速度为6m/s，要渡过宽度为60m，水流速度为10m/s的河流，现假设水面各点水的流速是相同的．则下列说法正确的是（　　）

A．小船渡河的最短时间为6s

B．小船

渡河的最短时间为10s

C．小船渡河的最短路程为60m

D．小船渡河的最短路程为100m

答案　BD

解析　

渡河的最短时间是船头垂直河岸渡河时的时间，即tmin＝＝10s，故A错而B对；水流速v2、船速v1和实际航行速度v组成闭合矢量三角形，如右图所示．当v1

3．火车在转弯时，受向心力的作用，对其所受向心力的分析，正确的是（　　）

A．由于火车本身作用而产生了向心力

B．主要是由于内、外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力

C．火车在转弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力

D．火车在转弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车转弯时向心力的一部分

答案　D

解析　火车正常转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B错；转弯速率大于（或小于）标准速率时，外轨（或内轨）有侧压力作用，此时火车受重力、支持力、侧压力的作用，三力合力提供向心力．

4．如图1所示，

图1

一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用力，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是（　　）

A．形变量越大，速度一定越大

B．形变量越大，速度一定越小

C．形变量为零，速度一定不为零

D．速度为零，可能无形变

答案　C

解析　在最高点杆对小球的弹力可能向上，可能向下，由FT＋mg＝m，分析得A、B不对．当FT＝0时，mg＝m，故v≠0，所以C项正确．当v＝0时，FT＝mg且FT向上，故D错误．

5．一个物体在多个力的作用下，处于平衡状态．现将其中一个力F1撤去，关于物体的运动状态的说法正确的是（　　）

A．物体将一定沿与F1相反的方向做初速度为零的匀加速直线运动

B．物体将一定沿与F1相反的方向做有一定初速度的匀加速直线运动

C．物体可能将沿与F1相反的方向做匀加速曲线运动

D．物体可能将沿与F1相反的方向做变加速曲线运动

答案　C

6.

图2

一圆盘可绕通过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做减速圆周运动，如图2所示，则关于木块A的受力，下列说法正确的是（　　）

A．木块A受重力、支持力和向心力

B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反

C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向不指向圆心

D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

答案　C

解析　由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所

以，它在竖直方向上受重力和支持力作用而平衡；而木块在水平面内做减速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，又由于速度大小在减小，故静摩擦力还要提供它做减速运动的阻力，因此静摩擦力的方向不指向圆心．

7．“嫦娥一号”探月卫星的发射成功，标志着我国探月工程迈上一个新的台阶．已知月球上的重力加速度为地球上的六分之一，若分别在地球和月球表面，以相同初速度、离地面相同高度，平抛相同质量的小球（不计空气阻力），则下列判断正确的是（　　）

A．平抛运动时间t月>t地

B．水平射程x月>x地

C．落地瞬间的速度v月>v地

D．落地速度与水平面的夹角θ月>θ地

答案　AB

8．如图3所示，

图3

有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是（　　）

A．v的极小值为

B．v由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大

C．当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大

D．当v由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大

答案　CD

解析　因为轨道内壁下侧可以提供支持力，故最高点的最小速度可以为零．若在最高点v>0且较小时，球做圆周运动所需的向心力由球的重力跟轨道内壁下侧对球向上的力FN1的合力共同提供，即mg－FN1＝m，当FN1＝0时，v＝，此时只有重力提供向心力．由此知，速度在0时，球的向心力由重力跟轨道内壁上侧对球的向下的弹力FN2共同提供，即mg＋FN2＝m，当v由逐渐增大时，轨道内壁上侧对小球的弹力逐渐增大，故C项正确．

9．如图4所示，物体A和B质量均为m，分别与轻绳连接跨过定滑轮（不计绳与滑轮之间的摩擦），当用水平变力F拉物体B

沿水平方向向右做匀速直线运动时，下列判断正确的是（　　）

图4

A．物体A也做匀速直线运动

B．绳子拉力始终大于物体A所受的重力

C．物体A的速度小于物体B的速度

D．物体A的速度大于物体B的速度

答案　BC

10．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（　　）

A．小球过最高点时速度为零

B．小球开始运动时绳对小球的拉力为m

C．小球过最高点时绳对小球的拉力为mg

D．小球过最高点时速度大小为

答案　D

解析　在最高点mg＝m，v＝，A错D对；在最低点FT－mg＝m，FT＝mg＋m，B错；小球过最高点时绳拉力为零，C错．

二、实验题（10分）

11．如图5所示，某同学在研究平抛运动的实验中，在小方格纸上画出小球做平抛运动的轨迹以后，又在轨迹上取出a、b、c、d四个点（轨迹已擦去）．已知小方格纸的边长L＝2.5cm.g取10m/s2.请你根据小方格纸上的信息，通过分析计算完成下面几个问题：

图5

（1）根据水平位移，求出小球平抛运动的初速度v0＝________.

（2）从抛出点到b点所经历的时间是________．

答案　

（1）1m/s　

（2）0.075s

三、解答题（每小题10分，共30分）

12．如图6所示，

图6

离地面高h处有甲、乙两个物体，甲以初速度v0水平射出，同时乙以初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下．若甲、乙同时到达地面，求v0的大小．

答案　

解析　甲做平抛运动h＝gt2①

乙做初速为v0的匀加速直线运动

h＝v0t＋gt2sin45°②

联立①②两式得v0＝

13．有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥．（g取10m/s2）

（1）汽车到达桥顶时速度为5m/s，汽车对桥的压力是多大？

（2）汽车以多大速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空？

（3）汽车对地面的压力过小是不安全的．因此从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大．对于

同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？

（4）如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在地面上腾空，速度要多大？

（已知地球半径为6400km）[来源:

Z§xx§k.Com][来源:

学科网ZXXK]

答案　

（1）7600N　

（2）22.4m/s　（3）半径R大些比较安全　（4）8000m/s

解析　如右图所示，

汽车到达桥顶时，受到重力G和桥对它的支持力FN的作用．[来源:

学。

科。

网]

（1）汽车对桥顶的压力大小等于桥顶对汽车的支持力FN.汽车过桥时做圆周运动，重力和支持力的合力提供向心力，即F＝G－FN

根据向心力公式F＝有

FN＝G－F＝mg－＝7600N

（2）汽车以经过桥顶恰好对桥没有压力而腾空，则FN＝0，即汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，所以有F＝G＝，得v＝＝22.4m/s.

（3）由第

（2）问可知

，当FN＝0时，汽车会发生类似平抛的运动，这是不安全的，所以对于同样的车速，拱桥圆弧的半径R大些比较安全．

（4）参照第

（2）问可得，v＝＝m/s＝8000m/s.

14．如图7所示，在光滑水平桌面ABCD中央固定一边长为0.4m的光滑小方柱abcd.长为L＝1m的细线，一端拴在a上，另一端拴住一个质量为m＝0.5kg的小球．小球的初始位置在ad连线上a的一侧，且把细线拉直，并给小球以v0＝2m/s的垂直于细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于光滑小方柱abcd的存在，使线逐步缠在abcd上．若细线能承受的最大张力为7N（即线所受的拉力大于或等于7N时立即断开），那么从开始运动到细线断裂经过的时间为多少？

小球从桌面的哪一边飞离桌面？

图7

答案　1.256s　从AD边飞离桌面

解析　设当线长为L0时，线将断裂．根据向心力公式得FT＝mv/L0，所以L0＝0.29m.

绕a点转1/4周的时间t1＝×＝0.785s

绕b点转1/4周的时间t2＝×＝0.471s

线接触c点后，小球做圆周运动的半径为r＝0.2m，小于L0＝0.29m，所以线立即断裂．

所以从开始运动到线断裂经过t＝1.256s，小球从桌面的AD边飞离桌面．